实变函数-张如丰分析

实变函数-张如丰分析1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）Riemann积分的局限性：例：Dirichlet函数不Riemann可积。上积分下积分1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出新见解，由此推进了积分理论的发展。（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(ε-N,ε-δ语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分继续发展的三个方向外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）§1集合概念

§2集合运算

§3对等与基数

§4可数集合

§5不可数集合

§6半序集和Zorn引理第一章集合§1集合概念一、描述定义：具有某种特定性质的事物（具体或抽象）的全体称为集合。记为A,B,…等等。集合的成员称为它的元素，记为a,b,c…等等。二、表示法：1.列举法：A=｛a，b，c，…｝例1

A=｛4，7，8，3｝.2.描述法：A=｛x|x满足性质p｝例2A=｛x|x为自然数｝=IN；例3

A=｛x|x为0与1之间的实数｝=[0，1];例4

A=｛x|x为平面上的向量｝=IR2;例5

A=｛f|f为[0,1]上的实函数｝={f:[0，1]→IR};三、简单概念1.事物x与集合A的关系：x在A中或不在A中，两者居且必居其一。x在A中记为x∈A，x不在A中记为x∈A.2.集合A、B间的关系：A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记为A

B为方便起见，引进不含任何元素的集合，称之为空集，记为

.四、包含关系具有如下性质定理1对任意的集合A、B、C均有§2集合的运算二、和或并1.两个集合的和或并：对任意的集合A、B一、集簇：特别当时，称集簇为集列，记为2.集簇的和或并：对任意的集簇三、交1.两个集合的交：对任意的集合A、B2.集簇的交：对任意的集簇B并：两椭圆内部所有点；交：两椭圆重叠部分的点。注：当时，如何？A四、减法如右图：ABBA(

(

])-2-1-1/n

-101-1/n1五、实例注：在本书中我们未把0包含在N内,+∞不在Ｎ中([a-1/n

a（1）（2）([a

a+1/n思考：如何定义任意多个集合的笛卡尔乘积？六、笛卡尔乘积七、集合的运算性质定理1⑴A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.交换律⑵(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C).结合律⑶A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).分配律1.交与并⑷A∪A=A, A∩A=A. 幂等律定理2定理3(1)A∪

=A,A∩E=

A; 同一律(2)Ec=

,

c=E;(3)A∪E=E, A∩

=

. 零律(4)A∪Ac=E, A∩Ac

=

. 补余律(5)A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)

=A.吸收律(6)(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc.德摩根律

(Ac)c=A. 双补律

A\B=A∩Bc2.差和余：设E为全集证：只证DeMorgan公式的一般形式注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换3.上极限与下极限（1）上限集或上极限集（2）下限集或下极限例4设A2n=[0,1]，A2n+1=[1,2];注：（3）极限集：如果则上极限集为[0,2],下极限集为{1}例5

图示分析：-101234证明：（第一个式子）这是最后趋势的公共部分(0,1][

[

]

]-101234(

(

(

）

)

)-n-1012n定理4

单调集列是收敛的(4)单调增集列极限当An