高数第一章函数课件

高数第一章函数课件微积分概况微积分教程一般按如下方式安排：历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：

集合极限连续函数微分积分阿基米德开普勒1615费马1638牛顿1665莱布尼兹1675柯西1821威尔斯特拉斯康拓1875戴德金第2页,共60页，2024年2月25日，星期天积分思想溯源—穷竭法▓不规则几何图形面积体积的计算：穷竭法：用规则几何图形“穷竭”不规则几何图形。欧多克斯原理：从任一量中减去不小它的一半的部分，再从余量中减去不小于的一半的部分，如此继续下去，则最后留一个小于任何给定的同类量。▓欧多克斯(Eudoxus，400–350BC)提出。阿基米德(Archimedes,283-212BC)熟练运用。正四边形…正十六边正八边形第3页,共60页，2024年2月25日，星期天阿基米德（Archimedes,283-212BC）抛物线围成的某些图形的面积

积分思想溯源—阿基米德球面积、球体积、椭圆面积

第4页,共60页，2024年2月25日，星期天开普勒(Kepler1571-1563)第一个试图阐明阿基米德方法，并给予推广。第二行星定律中椭圆面积的计算。1615年出版《酒桶的新立体几何》，书中包含用无穷小量求面积和体积的许多问题。卡瓦列里(Cavalieri1598～1647)开普勒工作的直接继承者。不可分量原理。（y=xn下的面积）不可分量专著：《不可分量几何学》（1635）。积分思想溯源第5页,共60页，2024年2月25日，星期天帕斯卡(Pascal1623—1662)更接近积分的现代解法。计算了种种面积、体积、弧长，并解决了求重心位置等问题。积分思想溯源中国古代数学家的贡献刘辉(约250-?),祖冲之(429-500)的割圆术给出了计算圆面积和圆周率的方法。祖恒沿着刘徽祖冲之的思路完成了球体积公式的推导（祖恒原理）。沃利斯(Wallis,1616-1703)在其著作《无穷数量的算术》中，获得了一系列重要的结果。第6页,共60页，2024年2月25日，星期天积分思想的根本问题：无限分割求和问题。积分的根本思想第7页,共60页，2024年2月25日，星期天微分学的起源

۞曲线的切线；

۞

函数的最大(小)值;

۞

运动量的变化率。罗贝瓦尔（Roberval，1602-1675）从一般意义上研究曲线的切线问题。笛卡尔(1596-1650)用“圆法”来求曲线的切线，本质上是一种代数方法。费马求极小、极大值的方法巴罗的微分三角形，把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限。第8页,共60页，2024年2月25日，星期天微分思想的根本问题微分思想的根本问题：量的变化率问题。PQS第9页,共60页，2024年2月25日，星期天以无穷小方法研究变化率问题产生了微分学；以无穷小方法研究分割求和问题产生了积分学；牛顿—莱布尼茨公式揭示了两者的内在联系（微积分基本定理），建立了统一的微积分学。微积分的诞生17世纪上半叶一系列前驱性工作沿不同方向朝着微积分的大门踏近，但它们还不足以标示微积分作为一门独立科学的诞生，这是因为它们在方法上还缺乏一般性。第10页,共60页，2024年2月25日，星期天牛顿从1665年到1695年，对微积分成果为：

★1665，“正流数术”—

微分学；

（当时未公开发表，在科学家之间小范围传播）★1666，“反流数术”—积分学；

（当时未公开发表，在科学家之间小范围传播）★1666，“流数简论”—标志微积分的诞生；★1669，“分析学”—由此后人称以微积分为主00000要内容的学科为数学分析★1671，“流数法”★1687，“自然哲学的数学原理”—简称“原理”★1691，“求积术”

牛顿在微积分方面的主要成果：第11页,共60页，2024年2月25日，星期天莱布尼茨在微积分方面的主要成果：★1675年给出积分号“”，同年引入微分号“d”★1676年给出公式，★1677年，表述微积分基本定理：★1684，“求极大与极小值和求切线的新方法”

(微积分学的第一篇公开发表论文)★1686，“深奥的几何与不可分量的无限的分析”（积分学论文）第12页,共60页，2024年2月25日，星期天牛顿VS莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨各自独立的发明了微积分。

⌨莱布尼茨的大部分结果先于牛顿发表；

⌨牛顿的大部分结果先于莱布尼茨发现。莱布尼兹的记号比牛顿的更容易理解，一直沿用至今.这个时期的微积分：

■极限的概念还没有引进微积分，主要应用“不可分量”和“无穷小量”的概念。

■逻辑基础不严密，一些结论不能严格证明。第13页,共60页，2024年2月25日，星期天微积分的极限理论基础牛顿-莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小概念上的混乱，引起一部分人的批评。

英国哲学家、牧师G.Berkeley（1685-1753）：《分析学家，或致一位不信神的数学家》矛头直指牛顿的流数法。———

Berkeley悖论微积分牢固基础的建立Cauchy:将微积分的基础建立在极限基础上。Weirstrass:建立了分析基础的逻辑顺序：实数系--极限论--微积分。

第14页,共60页，2024年2月25日，星期天微积分的集合论基础

由于实数的严格理论尚未建立，所以柯西的极限理论还不完善。柯西，威尔斯特拉斯之后，康托，戴德金将分析基础归结为实数理论，并建立起完整的实数体系。19世纪下半叶，康拓尔建立著名的集合论，成为现代数学的基石。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞卡莱兴高采烈的宣称：“借助于集合的概念，我们可以建造整个数学的大厦……今天我们可以说绝对严格性已经达到……”第15页,共60页，2024年2月25日，星期天微积分逻辑基础的最后完成罗素悖论：集合论是有漏洞的.

----罗素《数学的原理》1903S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”

第16页,共60页，2024年2月25日，星期天微积分逻辑基础的最后完成♚1908年，策梅罗(Zermelo1871－1953)提出第一个公理化集合论体系，后经弗兰克尔(Fraenkel1891_1965)改进，称为ZF系统。♚这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。至此，分析学（数学）大厦的整个基础完全建立

第17页,共60页，2024年2月25日，星期天微积分概况微积分教程一般按如下方式安排：历史上，这些问题是按相反的顺序进展的：

集合极限连续函数微分积分阿基米德开普勒1615费马1638牛顿1665莱布尼兹1675柯西1821威尔斯特拉斯康拓1875戴德金第18页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.1集合1.集合的概念.2.集合的元素.3.有限集、无限集.4.集合的表示法.☞数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:NZ,ZQ,QR第19页,共60页，2024年2月25日，星期天规定①

空集为任何集合的子集,

A.

②集合A是其自己的子集，AA.5.全集与空集.第20页,共60页，2024年2月25日，星期天6.集合的运算设A.B是两个集合①并集：由A和B的所有元素组成的集合，称为A和B的并，记为A∪B.A∪B={x|xA或xB}.②交集：由A和B的公共元素组成的集合，称为A和B的交，记为A∩B.A∩B={x|xA且xB}.第21页,共60页，2024年2月25日，星期天④补集：全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为Ā.③差集：属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A和B的差，记为A－B.A－B={x|xA且x

B}.

例,若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A－B={1,2}.

例,若在本教室中的学生为全集，且A为带了《微积分》的学生，则Ā为未带《微积分》的学生。ABAUĀ第22页,共60页，2024年2月25日，星期天设A、B、C为任意三个集合，则下列法则成立：7.集合的运算律⑴交换律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A⑵结合律(A∪B)∪C

=

A∪(B∪C)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)⑶分配律(A∪B)∩

C

=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪

C)⑷摩根律第23页,共60页，2024年2月25日，星期天♀将两个元素x和y按先后顺序排列成一个元素组(x,y),称为二元有序组。

(x,y)和(y,x)是两个不同的二元有序数组.

(x1,y1)=(x2,y2)当且仅当x1=x2,y1=y2.9.集合的笛卡尔乘积♀由三个元素x,y,z按先后顺序排列成一个元素组(x,y,z),称为三元有序组。♀由n个元素x1,x2,···,xn按先后顺序排列成一个元素组(x1,x2,···,xn)称为n元有序组。第24页,共60页，2024年2月25日，星期天定义：设A,B为给定的两集合，集合A,B的笛卡尔积

A×B定义为

A×B={(x,y)|xA,yB}

例1：设A={1,2,3,4},B={2,3},则

A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}

例2：设A={a,b},则

A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}第25页,共60页，2024年2月25日，星期天

例3：设R为实数集,则笛卡尔直角坐标平面可记为R×R,即

R×R={(x,y)|xR,yR}.

例4：设A={x|0x2},B={y|0y1},则

A×B={(x,y)|0x2,0y1}

表示坐标平面中如图所示区域。

yxoA×B第26页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.2

实数集（一）实数与数轴（二）绝对值（三）区间（四）邻域第27页,共60页，2024年2月25日，星期天设a与是两实数，且>0.▓集合U(a,

)={x|a-<x<a+}称为点a的邻域。点a称为这个邻域的中心，称为邻域的半径。▓集合{x|0<|x-a|<

}称为点a的以为半径的空心邻域。○第28页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.3

关系①父子关系:(x,y),x,y是地球人，且x是y的父亲②夫妻关系:(x,y),x,y是地球人，且x是y的丈夫③实数间的大于关系:(x,y),x,y是实数，且x大于y④集合的包含关系:(x,y),x,y是全空间中两集合，且xy⑤元素与集合的从属关系:(x,y),x是一元素，y是一集合，且xy关系：关系是二元有序组的集合

例，定义本班同学间的同姓关系：

R={(x,y)|x,y为本班同学，且x,y姓相同}第29页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.3

关系⌨令R是一关系（即二元有序组的集合），且(x,y)R.⌨以上表面x,y存在关系R,在这种情况下通常写作xRy.此时字母R代表一种关系，也可以用其余的字母来代替，特别的可以用一些特殊的符号来代替，如<,=,

等。

例1:R是所有二元有序整数组(x,y),其中xZ,yZ,且x小于y.于是xRy表示整数x小于整数y的关系，此时一般用符号<代替字母R.

例2:R是所有二元有序组(x,y),其中x,y为地球人,且x是y的妻子.于是xRy表示x是y的妻子，此时可用其余符号代替字母R，比如x♥y第30页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.3

函数的概念定义域:D或D(f).值域：W={y|y=f(x),xD}或R(f).函数的图形：{(x,y)|y=f(x),xD(f)}定义：设DR为非空数集.如果xD,按照确定的规则f,

唯一实数y与之对应，记住

y=f(x),则称f为定义在D上的一个函数。或记为

f:DR.自变量因变量第31页,共60页，2024年2月25日，星期天函数的两要素:定义域与对应法则.自变量对应法则f因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.自然定义域§1.3

函数的两要素第32页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.3

“多值函数”根据函数的定义，它不是函数。但为了方便起见，课本上称它为多值函数。在本教程中，我们只讨论单值函数。○第33页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.4

分段函数由两个或多个解析式表示的一个函数，交分段函数。oxy第34页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.4

分段函数1-1xyo|x|=x·sgn(x)第35页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.4

分段函数y12345-2-4-4-3-2-1-1-3xo[-3.6]=-4[-0.2]=-1[0.3]=0[2.4]=2第36页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.4

分段函数第37页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.4

分段函数第38页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.4

分段函数第39页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

函数的奇偶性yxox-x第40页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

函数的奇偶性yxox-x第41页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

函数的周期性■通常说周期函数的周期是指其最小正周期.■周期函数的定义域为R.

例：y=sinx,y=cosx都以2

为周期；

y=tanx,y=cotx都以为周期.第42页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

函数的周期性第43页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

函数的单调性xyoxyo第44页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

有界函数M-Myxoy=f(x)X

例第45页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.6

无界函数

例

例

第46页,共60页，2024年2月25日，星期天§1.2～1.6

小结➊区间的概念➋邻域的概念➌关系的概念，函数的概念，定义域，值域➍常见的分段函数➎函数的奇偶性❻函数的周期性➐函数的单调性➑函数的有界性第