湖南省永州市潇湘学园高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省永州市潇湘学园高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的一条对称轴为，且则的最小值为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：D2.在二项式的展开式中，项的系数为(

)

A．8

B．4

C．6

D．12参考答案：A略3.已知，，，则的大小关系是（

）。A、

B、

C、

D、参考答案：D4.已知向量，且，则的值为 A． B． C．5 D．13参考答案：B5.已知非空集合、、都是全集的子集,且,则(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D6.已知，，，若与共线，则等于A．5

B．1

C．

D．参考答案：B7.已知函数，数列的通项公式是，那么“函数

在上单调递增”是“数列是递增数列”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略8.已知复数z满足（1﹣i）z=i2015（其中i为虚数单位），则的虚部为（）A． B．﹣ C．i D．﹣i参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2015=（i4）503?i3=﹣i，∴（1﹣i）z=i2015=﹣i，∴==，∴=，则的虚部为．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数、虚部的定义，属于基础题．9.已知则（

）A．

B．C．

D．参考答案：C10.已知i为虚数单位，若复数z=a2﹣1+（1+a）i（其中a∈R）为纯虚数，则=（）A． B．

C．

D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求得a值，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=a2﹣1+（1+a）i为纯虚数，∴，解得：a=1．∴z=2i，则==．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲）如图，是圆O的内接三角形，圆O的半径，，，是圆的切线，则_______．参考答案：12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，C，分别以△ABC的边向外作正方形与，则直线的一般式方程为

．参考答案：试题分析：分别作轴，轴，为垂足.因为是正方形，所以又因为所以所以同理可得所以直线的斜率为，由直线方程的点斜式得，化简得.考点：1.直线方程；2.直线的斜率.13.在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于

．参考答案：60°【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，再由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=60°．故答案为：60°．14.已知函数是定义域为的偶函数.当时，

若关于的方程有且只有7个不同实数根，则的值是

．参考答案：.15.已知定义在R上的奇函数满足＝(x≥0)，若，则实数的取值范围是________．参考答案：(-3,1)16.在xoy平面上有一系列点（，）、（，）┉（，），对于每个自然数n，点（，）位于函数（x≥０）图象上，以点为圆心的⊙与x轴相切，又与⊙外切，若＝１，<（n∈），则数列的通项公式＝参考答案：略17.设复数（为虚数单位），则.参考答案：由得。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆锥曲线C：（α是参数）和定点A（0，），F1，F2分别是曲线C的左、右焦点．（1）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求直线AF2的极坐标系方程．（2）若P是曲线C上的动点，求||?||的取值范围．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】对应思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）求出直线AF2的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；（2）根据椭圆的性质得||=4﹣||，将利||?||转化为二次函数求出最值．【解答】解：（1）曲线C的普通方程为，∴F2（1，0），∴直线AF2的斜率k=﹣，∴直线AF2的直角坐标方程为y=﹣+．∴直线AF2的极坐标方程为ρsinθ=﹣cosθ+．（2）P是曲线C：上的动点，∴1≤||≤3．∵||+||=4，∴||=4﹣||，∴||?||=||×（4﹣||）=﹣||2+4||=﹣（﹣2）2+4．∴当||=2时，||?||取得最大值4，当||=1或3时，||?||取得最小值3．∴||?||的取值范围是[3，4]．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，椭圆的几何性质，属于基础题．19.已知矩阵，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．参考答案：【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．【解答】解：矩阵M的特征多项式为，令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2，将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为20.已知四边形为平行四边形，，，，四边形为正方形，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若为中点，证明：在线段上存在点，使得∥平面，并求出此时三棱锥的体积．参考答案：(1)证明见解析；(Ⅱ)当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF，.试题分析：第一问根据正方形的特点和面面垂直的性质，可以得出AF⊥BD，根据已知条件，结合线面垂直的判定定理，可证线面垂直，第二问根据平行四边形的性质，可以得出当N为线段EF中点时满足MN∥DF，根据线面平行的判定定理证得线面平行，利用等级法求得三棱锥的体积.试题解析：(1)证明：正方形ABEF中，AF⊥AB，

∵平面ABEF⊥平面ABCD，又AF平面ABEF，平面ABEF平面ABCD=AB，

………………1分∴AF⊥平面ABCD．

………………2分又∵BD平面ABCD，∴AF⊥BD．

………………3分又，AFAD=A，AF、AD平面ADF,………………4分∴平面ADF．

………………5分(Ⅱ)解：当N为线段EF中点时，MN∥平面ADF．………………6分证明如下：正方形ABEF中，NFBA，平行四边形形ABCD中，MDBA，NFMD，四边形NFDM为平行四边形，MN//DF．

………………7分又DF平面ADF，MN平面ADF，∴MN//平面ADF，

………………8分过D作DHAB于H，∵平面ABEF⊥平面ABCD，又DH平面ABCD，平面ABEF平面ABCD=AB，∴DH⊥平面ABEF．

………………9分在Rt?ABD中，AB=2，BD=AD，∴DH=1，

………………10分所以．………………12分考点：线面垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积.21.已知函数在处取得极值．（1）求与满足的关系式；（2）若，求函数的单调区间；（3）若，函数，若存在，，使得成立，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），

由得．……

2分（Ⅱ）函数的定义域为， 由（Ⅰ）可得．令，则，．……………

4分1.

单调递减区间为，单调递增区间为．

【全,品…中&高*考*网】2.单调递减区间为，;单调递增区间为3.…

无减区间；单调递增区间为4.单调递减区间为;单调递增区间为

…

8分（Ⅲ）当时，在上为增函数，在为减函数，所以的最大值为．

……………

10分因为函数在上是单调递增函数，所以的最小值为．

………

12分所以在上恒成立．

要使存在，，使得成立，只需要，即，所以．又因为，

所以的取值范围是．…14分【全,品…略22.如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点，直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．参考答案：解：（1）当与轴重合时，，即，

………2分∴垂直