高中数学-【课堂实录】圆的一般方程教学设计学情分析教材分析课后反思

1圆的一般方程教学设计【一】教学背景分析1.教材结构分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作2.学情分析圆的一般方程是学生在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：3.教学目标1.通过实例，掌握圆的一般方程及其特点；2.探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程；4.通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.根据以上对教材、学情及教学目标的分析，我确定如下的教学重点和难点：教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“诱思探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设问题情境，直观的诱导了学生的思维过程.2.学法分析众所周知，高中数学教学不但要传授给学生基本的数学知识与技能，更要注重过程与方法，态度情感与价值观，因此我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。因此我的教学贯穿“疑问”—“思考”—“探究与发现”—“问题解决”四个环节。教学中，我很关注学生已有的2认知结构，学生数学思维的形成，以期提高学生的数学素养，实现素质教育的目标。下面我就对具体的教学过程和设计意图加以说明：【三】教学过程与设计意图我的整个教学过程是由问题链驱动的，共分为六个环节，分别为：问题引入、问题探究、成果展示、变式训练、拓展引申、课堂小结教学过程及方法教学内容教学环节与活动设计问题引入：问题1:圆的标准方程是什么?问题2:在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，圆心坐标和半径分别为什么?问题3:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形?圆也可以用二元二次方程表示，并认识到圆与二元二次带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。自主探索：请同学们写出圆的标准方程：(x—a)²+(y-b)²=r²,圆心(a,b),半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0.取D=-2a,E=-2b,F=a²+b²-r²得x²+y²+Dx+Ey+F=0①这个方程是圆的方程.②反过来给出一个形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?教师提出三个问题，由学生回答,通过实例发现圆的另外一种表达形式。教师通过导引：把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，是否是二元二次方程的形式?引入圆都可以写成二元二次方程3教学过程及方法②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?为半径的圆：,,即只表示一个点;(3)当D²+E²-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆只有当D²+E²-4F>0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为员的一般方程设计意图：让学生自主探究x²+y²+Dx+Ey+F=0与圆的我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x²和y²的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆设计意图：以问题形式让学生观察圆的一般方程，深x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆?,让学生拿出练习本自主探究，教师选择一名补充不足后对黑板同学做法般方程教师让学生总结圆的一般方程的特点(1分钟思考时间)4圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于(1)4x²+4y²-4x+12y+9=0来说，这里的-4,12,11并练习突出半径为r的绝对值。二.求圆方程例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程，解：设所求的圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0∵A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，解此方程组，可得：D=-8,E=6,F=0∴所求圆的方程为：x²+y²-8x+6y=0选择两名基础一般的学生上黑板展示做题过程，让学生们去点评做题过程正误，不足进行补充，教师在最后要加以总结法的使用前两道题目口答，第三个学生上黑板展示，学生很容易不讨论a的值半径不加绝对值，在这;.5教学过程及方法变式训练2:已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为圆H.H的方程设计意图：解决方法有三种，最好的方法是利用垂直平分线的方法，让学习对各种方法对比，体会数形结合方法对于解题的帮助三、与圆有关的轨迹问题例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上(x+1)²+y²=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)²+y²=4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。设计意图：通过探究与小组讨论方式解决求轨迹方法发现一动点的产生是由另外一个动点变化引起的，而这个动点在圆上，领会代入法的特征及步骤。解：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x,vo)由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB中重点，所以①于是有xo=2x-4,yo=2y-3因为点A在圆(x+1)²+y²=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)²+y²=4,即(xo+1)²+yo²=4②把①代入②,得所以，点M的轨迹是以为圆心，半径长为1的圆.现由学生自行解决并选择一方法的运用，让有不同做法的深刻的认识，并学会利用。答思路在给出时间整理过程黑板把过程完整。教师要进一步规范代入法的步骤书写。6教学小结给出一分钟时间结合所学、所思、所做让学生谈这节课的收获并在大屏幕上展示教学目标1.圆的一般方程的特征2.与标准方程的互化3.用待定系数法求圆的方程4.求与圆有关的点的轨迹。教学反思可取之处：内容准备充分，环环相扣。我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。教学贯穿“疑问”—“思考”—“探究与发现”—“问题解决”四个环节。例题选取符合学生的认知规律难易得当。努力做到学生能做学生做，学生能回答老师不代替、学生有疑问其他同学解决。让学生做课堂的主人，教师只是起引导、适时归纳的作用。不足之处：时间安排略显紧张，拓展题目没有很好完成，有点前松后紧之感。学情分析圆的一般方程是学生在学习过圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强.根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，所以通过实例，让学生掌握圆的一般方程及其特点；探究出将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；更有利于提高探索发现及分析问题的实际能力；体验数形结合、化归与转化等数学思想方法效果分析7圆的一般方程这部分知识在学完圆的标准方程之后，学生对于圆有了一定的认识，内容相对来说比较易于接受，大胆的让学生去思考、去探究，把时间交给学生。使学生在主动获取知识的过程中完成重点、难点知识的学习、提高思维能力，形成相应的观点。通过一个个问题创设探究情境，激发学生兴的求知欲。课堂充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，引导学生进行科学思维，启发学生用已知去探究未知，并对自己的探究结果加以归纳总结，最终促进学生透彻理解圆的一般方程判断、方程的求法技巧的归纳。通过对课堂反馈、课后练习分析来看，这节课，在教师的引导下主动探究，学生能够积教材结构分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.就学生实际学习情况与能力把第一节中内容安排较为简单，易于学生知识的掌握、消化、巩教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F..教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.评测练习1下列各方程表示什么图形?若表示圆，求出圆心和半径.(2)x²+y²+2ac+a=0(a≠0);(3)2x²+2y²+2ax-2ay=0(a≠0).设计意图与方法：(1)因为D=1,E=0,F=1,(1)不表示任何图形；(2)因为D=2a,E=0,F=a,所以D+E-4F<0方程所以D+E-4F=4a-4a=0,所以方程(2)表示点(-a,0);8(3)两边同时除以2,得x²+y²+ax-ay=0,所以D=a,E=-a,F=0.所以D+E-4F>0,所以方程(3)表示圆，圆心为点评：也可以先将方程配方再判断.的方程.设计意图与方法：涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0①③②③令x=0,由①,得y²+Ey+F=0④∴(yi-y₂)²=(n+y₂)-4y₁y₂=E-4F=48⑤解②③⑤联立成的方程组，得故所求方程为：x²+y²-2x-12=0或x²+y²-10x-8y+4=0.法二：求得PQ的中垂线方程为x-y-1=0①∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a,a-1),代入②并将两端平方，得a²-5a+解得a=1,a₂=5.9故所求的圆的方程为：(x-1)²+y²=13或(x-5)²+(y-4)²=37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.(2)涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.3已知方程x²+y²-2(t+3)x+2(1-t)y+16t+9(2)该圆半径r的取值范围.=0表示一个圆，求设计意图与方法：原方程表示一个圆的条件是D+E-4F=4(t+3)²+4(1-t²)²-4(16t⁴+9)>0课后反思设计思路：首先以3个问题形式引入新课，让学生通过例子认识到圆与二元二次方程之间存在一定关系，给学生以直观感受。其次在问题探究环节通过具体问题让学生自主探究圆与二元二次方程之间的关系，贴近学生的认知水平，并大胆把课堂交给学生，让学生去发现、去总结。教师只是适当引导。在成果展示环节上分成三个方面判断圆、求圆、每一方面都配有变式利于学生对知识的巩固，采取学生黑板展示，讲解，发现问题解决问题。充分调动每一位学生积极性。拓展环节上选取两个有一定难度的题目提升学生的学习能力，挖掘学生学习的潜力。充分体会学无止境、学习技巧方法灵活使用。.学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极的学习中解决问题。教学贯穿“疑问”—“思考”—“探究与发现”—“问题解决”四个环节。例题选取符合学生的认知规律难易得当。努力做