15线性空间的同构

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(8学时)1234第一章线性空间与线性映射线性空间

线性子空间

线性映射与线性变换线性变换的不变子空间

5线性空间的同构教学内容和基本要求2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；3,理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变换的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念.重点:

线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射及线性变换;不变子空间难点:

基变换与坐标变换;不变子空间4,理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质

1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；

线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的抽象化。本章将给出线性映射和线性变换的概念与性质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间的一种关系

线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的回顾和延伸。线性空间的同构§1.5我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量有唯一确定的坐标:则与对应，就得到V到对于V中每一个向量,令在这组基下的坐标为

的一个映射向量的坐标是F上的n元数组，因此属于,这样一来，取定了V的一组基反过来，对于中的任一元素是V中唯一确定的元素，并且:

即也是满射.因此，是V到的一一对应.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设都是数域F上的线性空间，如果映射

具有以下性质：

则称的一个同构映射，并称线性空间

同构，记作

ii)iii)i)为双射定义为V的一组基，则前面V到的一一对应例1.

V为数域F上的n维线性空间，

这里为在基下的坐标就是一个V到的同构映射，所以定理1

数域F上任一n维线性空间都与Fn同构.同构映射，则有：设是数域F上的线性空间，的同构映射的性质中分别取证：在同构映射定义的条件iii)即得线性相关（线性无关）.

V中向量组

线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象

证

因为由可得反过来，由可得而是一一对应，只有所以可得因此，线性相关（线性无关）线性相关（线性无关）.

的逆映射为的同构映射.证

设为V中任意一组基.由2，3知，为的一组基.所以任取

I为恒等变换.证

首先是1－1对应，并且由于是同构映射，有

同理，有所以，为的同构映射.

再由是单射，有

是的子空间，且若W是V的子空间，则W在下的象集证

首先，其次，对

有W中的向量使

于是有

由于W为子空间，所以

从而有所以是的子空间.显然，也为W到的同构映射，即

两个同构映射的乘积还是同构映射.证：设为线性空间的同构任取有映射，则乘积是的1－1对应.

所以，乘积是的同构映射.

数域F上的两个有限维线性空间同构同构关系具有：反身性：对称性：传递性：

定理2

证：若由性质2之4）即得若

有例2、把复数域看成实数域R上的线性空间，

证法一：证维数相等证明：首先，可表成

其次，若则

所以，1，i

为C的一组基，又，所以，故，证法二：构造同构映射则为C到R2的一个同构映射.作对应作成实数域R上的线性空间.

把实数域R看成是自身上的线性空间.例3、全体正实数R+

关于加法⊕与数量乘法：

证明：并写出一个同构映射.