18.2.3 第2课时 正方形 教学设计

人教版八下18.2.3正方形（第2课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用在学习了正方形的概念、性质与判定的基础上，正方形性质和判定的掌握需要通过一定量的练习.正方形的性质和判定具有丰富的内涵，是学习几何的重要内容与方法.通过用正方形的概念、性质以及判定方法进行计算和证明，进一步发展学生的合情推理和演绎推理能力.概念解析本节课的主要内容是正方形的性质与判定，主要概念是正方形.构造正方形解决有关问题是问题解决的一种重要方法.基本图形始终是几何研究的重要内容，将较复杂的几何图形分解成几个基本图形，然后利用基本图形的性质支获得较复杂图形的图形关系和数量关系是研究基本图形性质的意义.本节课的学习就具有这样的意义.思想方法根据本节课的特点，学习过程体现从一般到特殊的思想和转化与化归的思想.依据数学思想方法，运用已有知识解决问题.知识类型性质和判定是原理与规则性知识.而运用性质和判定解决问题是属于数学思想方法的知识.由知识类型决定，要通过系统的练习才能使方法上升为思想.教学重点正方形的概念、性质和判定的应用.教学目标解析教学目标1.能用正方形的性质定理解决问题.2.能运用正方形的判定定理解决问题.目标解析达成目标1的标志是：能够从正方形中找出定量和定性关系，进行计算和证明.达成目标2的标志是：能够根据条件证明一个四边形是正方形.教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习过正方形的概念、性质定理和判定定理，知道从定性和定量的角度研究正方形.知道正方形既是平行四边形，又是矩形和菱形；还知道正方形的判定方法.与本课目标的差距分析学生已经具备了正方形的概念、性质和判定等知识.正方形的知识框架已经搭建完成，但是解决问题的能力训练还没有到位，本节课需要通过具体的解决问题来发展学生的能力，这是本节需要.存在的问题通过连结辅助线将正方形转化成三角形问题，或者通过添加辅助线将三角形问题转化化归成正方形问题，都需要理解图形的本质，这是可能存在的问题.应对策略针对问题，可以遵循几何问题的一般研究思路，紧紧抓住轴对称性和基本研究要素，在变化与不变、特殊与一般等方面对学生加以引导，克服难点.教学难点在具体问题中找出正方形，利用正方形的性质解决问题.教学支持条件分析由于本节课的特点，可以通过几何画板动态显示变化过程，直观演示图形的变化过程，帮助发现问题中的正方形模型..利用同屏技术即时反馈有代表性的解题范例，起到示范或纠错的作用，代替黑板板演，提高效率.教学过程设计课前检测1.四边形ABCD的两条对角线将这个四边形分为四个全等的等腰直角三角形，那么此四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形2.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A.B.C.D.4.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的是哪几个？设计意图：本组课前检测主要检查对于正方形性质和判定的掌握情况.教学探究1教学目标1：能用正方形的性质定理解决问题.教学过程1.思考：正方形、矩形、菱形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或用框图表示这些关系.分析：正方形既是平行四边形，又是矩形和菱形.因此，正方形是矩形和菱形概念内涵的共同部分.追问：平行四边形与正方形、矩形、菱形之间有什么从属关系？师生互动设计：从概念的内涵来看，平行四边形的两组对边分别平行；矩形的内涵是平行四边形的内涵加上一个直角；菱形的内涵是平行四边形的内涵+一组邻边相等；而正方形的内涵最丰富，具备了矩形和菱形的全部本质属性，因此这几个概念之间的关系可以用下图表示：设计意图：正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形，正方形概念是本节课重点，正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系是本节课教学的重点，这些内容集中出现在第一部分，正方形和矩形，菱形的关系可以用集合语言韦恩（Venn）图直观表示.因此采用简单的集合关系帮助学生理解概念之间的关联，从集合的视角初步体会一般和特殊之间的关系.教学探究2教学探究3教学过程2：利用正方形的性质定理解决问题【例题2】已知：如图，四边ABCD是正方形，点O是对角线的交点.过点O作两条互相垂直的直线，与正方形各边的交点为点E，F，G，H（不与正方形的四个顶点重合）.请探索：这两条直线将正方形分割所得的四个四边形面积是否相等？分析：由于点O是对角线的交点.因此考虑将隐藏的对角线还原，即：连结BO与CO，由于正方形的对角线相等且互相平分，并且每一条对角线平分一组对角，因此BO=CO，BO⊥CO，且有∠EBO=∠HCO=45º.发现全等三角形，从而解决问题.此题解决的关键是根据题意将隐藏的对角线还原.解：连结BO与CO，∵点O是对角线的交点，∴BO=CO，BO⊥CO，∠EBO=∠HCO=45º，∵BO⊥CO，∴∠EOB=∠HOC，∴△EOB≌△HOC，∴S四边形EBHO=S△BOC，又∵S△BOC=S正方形ABCD，因此这两条直线将正方形分割所得的四个四边形面积相等.追问：对于这个结论的论证还有没有其它思考途径呢？师生互动设计：根据提示通过小组合作解决问题.可以考虑利用正方形的另外两条对称轴，即：过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N.设计意图：以正方形的不同的性质为视角，为学生提供不同的解题思路，以利于构建完整的知识网络.教学探究3教学过程3：利用图形的性质、图形的变化、图形与坐标的关系解决问题.【例题3】已知：正方形ABCO在平面直角坐标系中，OA与x轴重合，OC与y轴重合，E，F，G，D分别是它的四条边上的点，且AE=BF=CG=OD=，且∠ODG=∠AED=∠GCF=∠ODG=30º.请写出正方形ABCO四个顶点的坐标.师生互动设计：例题教学可由学生自主探索解决，然后利用同屏技术展示学生学习情况，及时评估学生解决这个问题中存在的问题，进行学生相互评价，教师归纳小结，然后板书完整的解题过程.解：由已知可知，△ODG≌△AED≌△GCF≌△BFE

，∵AE=BF=CG=OD=，又∵∠ODG=∠AED=∠CGF=∠BFE=30º，∴AD=BE=CF=OG=1，∴正方形ABCO四个顶点的坐标分别为：A（+1，0），B（+1，+1），C（0，+1），O（0，0）.设计意图：重视“图形的性质”和“图形的变化”“图形与坐标”等之间的联系，这些内容是一个统一的整体，只不过关注的角度不同，此题很好的体现了这些想法.【测评1】1.如图，已知四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=________度.解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，AC=BD，∵BE=AC，∴BD=BE，∴∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质，∠ABD=∠BDE+∠BED，∴∠BED=∠ABD=×45°=22.5°.故答案为：22.5.2.将五个边长相等的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，已知图中四块阴影部分面积的和为4cm2

，则每一个正方形的边长为（）A.2

cmB.4

cmC.6

cmD.8cm答案：B3.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A.（，1）B.（-1，）C.（-，1）D.（-，-1）答案：C解：作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵点A的坐标为（1，），∴OD=1，AD=，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，∠OEC＝∠ADO；∠3＝∠2；OC＝AO，∴△OCE≌△AOD（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点C的坐标为（-，1）；故选C.设计意图：这一组问题主要考查对正方形性质的掌握水平，添加辅助线，能利用性质解决问题.为下一步的教学决策提供依据，大多数学生已经学会，才能进入下一段的学习.一旦发现没有学会的学生较多，就必须对原来的设计作出调整，生成新的教学流程，帮助学生达成学习目标.教学探究4教学目标2：能运用正方形的判定定理解决问题.教学过程4.利用正方形的判定定理和性质定理解决问题【例题4】已知：正方形ABCD中，E，F，G，H分别是它的四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.师生互动设计：正方形的判定有两条途径：在四边形的基础上，先证明这个四边形是矩形，再证明它是菱形，从而说明它是正方形；或者先证明这个四边形是菱形，再证明它是矩形，从而说明它是正方形.此题应该先证明四边形EFGH是菱形，再证明它是正方形.证明：由已知可得HA=EB=FC=GD，由此可得△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴HE=EF=FG=GH，∴四边形EFGH是菱形，∵∠FEB=∠EHA，∴∠FEB+∠HEA=90º，∴∠HEF=90º，∴四边形EFGH是正方形.设计意图：此图的含义非常丰富，此题的目的在于综合运用正方形的性质定理以及判定定理，提高学生的演绎推理能力.【测评2】1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A.①②B.②③C.①③D.②④答案：B设计意图：这一组问题主要考查对正方形判定方法的掌握水平，为下一步的教学决策提供依据，大多数学生已经学会，才能进入下一段的学习.一旦发现没有学会的学生较多，就必须对原来的设计作出调整，生成新的教学流程，帮助学生达成学习目标.教学探究5教学目标3：能运用正方形的轴对称性解决问题.教学过程5.利用正方形的轴对称性解决问题【例题5】已知：边长为3的正方形ABCD中，AC是对角线，点E是AD边上的定点，点P是对角线AC上的动点，AE=1.求PE+PD的最小值.师生互动设计：引导学生分析，由于对角线AC是正方形的对称轴，因此点D的对称点为点B，连结EB，与AC的交点即为所求的点P

的位置，此时PE+PD最小.理由：PE+PD=PE+PB=BE，由于两点之间线段最短，因此PE+PD最小.解答过程请小组合作完成.设计意图：利用正方形的轴对称性解决问题，注意辨识题目背后的模型背景.归纳总结1.本节课所解决的几个问题的知识本质是什么？用到了哪些思想方法？遇到“新的”问题该考虑从哪些角度进行思考？2.知识结构图目标检测设计一、选择题1.下列命题中错误的是（）A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2.四边形ABCD的两条对角线将这个四边形分为四个全等的等腰直角三角形，那么此四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形3.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④四边形ABCD为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四边形ABCD为正方形，则下列推理成立的是（）A.①④⇒⑤B.①③⇒⑥C.