18.2.3 第1课时 正方形 教学设计

人教版八下18.2.3正方形（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用在研究了矩形和菱形的概念、性质与判定的基础上，用直观的方法将矩形和菱形特殊化为正方形，所以正方形既是矩形也是菱形，这为研究正方形性质和判定提供方法.正方形是最特殊的平行四边形，教材从学生已有的经验出发，先得到正方形的部分性质，通过“思考”让学生调用已有的研究矩形和菱形的方法研究正方形.因为正方形为本章的末端知识，性质更加丰富，应用更加广泛.本节课的学习将为进一步理解几何对象的性质和判定之间的互逆关系提供依据.概念解析本节课的主要概念是正方形，有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，包含两层意思：①一组邻边相等的平行四边形（菱形）；②有一个角是直角的平行四边形（矩形）.正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和特殊的菱形；正方形性质为矩形和菱形性质的交集，“是矩形又是菱形”或者“是菱形又是矩形”是正方形的判定方法，两者为互逆关系.因此正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴.当然研究正方形也可用几何研究的一般思路：从边、角、对角线、对称性等基本要素来研究正方形的性质和判定.思想方法教材借助几何直观，从矩形出发研究正方形和从菱形出发研究正方形，均体现从一般到特殊的思想；正方形和矩形，菱形的关系可以用集合语言韦恩（Venn）图直观表示.从集合的视角初步体会一般和特殊之间的关系.知识类型正方形的概念是概念性知识；性质和判定是原理与规则性知识.教学重点正方形的概念、性质和判定.教学目标解析教学目标1.能说出正方形的定义，知道正方形具有矩形和菱形的所有性质.2.能从正方形的定义出发，利用平行四边形的性质定理，推出正方形的性质.3.能用正方形的性质解决问题.4.能利用性质与判定的关系，猜想并证明正方形的判定定理.5.能运用正方形的判定定理解决问题.目标解析达成目标1和2的标志是：知道正方形的四条边相等，四个角相等，有4条对称轴.能用Venn图画出正方形和矩形，菱形的关系图.知道正方形是菱形（矩形），所以所有菱形（矩形）的性质都适用于正方形，并能分门别类的列举这些性质；达成目标3和5的标志是：会解答教材例题和练习；达成目标4的标志是：能从性质和判定的互逆性，得到正方形的判定；用取“交集”的办法得到“既是矩形又是菱形即是正方形”.教学问题诊断分析具备的基础小学初步接触过正方形的概念，前面刚刚学习了矩形和菱形.知道研究一个几何对象的一般路径：从概念、性质和判定三个视角研究；一般的研究方法：一般到特殊或者从构成图形的几何要素出发研究，这些都是进一步学习正方形的基础.与本课目标的差距分析能准确说出正方形的性质和判定，需要学生通过从一般到特殊的方法获得研究对象，从两个对象的性质的并集得出正方形的性质，从两个对象的判定的交集获得正方形的判定，也可类比矩形或菱形的研究方法分别研究性质和判定，或通过性质举例、判定举例后归纳出性质和判定等研究方法.存在的问题1.正方形与矩形、菱形之间关系密切又复杂，在从属关系和共同性质方面容易引起混淆，在判定方法的使用上也容易混淆，这是可能存在的问题.2.矩形、菱形和正方形都是具有良好对称性的几何体图形，正方形具有更好的对称性，能不能在对称性的统领下研究性质和判定在认识上有困难.应对策略正方形的这种特殊性需要教学时结合图形来具体说明.分清这些平行四边形以及特殊平行四边形的从属关系，从基本研究要素出发，梳理它们的性质定理和判定定理，克服难点.教师需要引导学生从正方形的对称性统领整个课时教学.教学难点正方形判定和性质的归纳和应用.教学支持条件分析在学习正方形概念时，可以通过几何画板动态显示变化过程，帮助学生理解正方形和矩形、菱形的关系.教学过程设计课前检测1.下列说法错误的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角C.矩形的对角线相等D.矩形的对角线互相平分2.四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC.这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种3.菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm24.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等设计意图：本组课前检测主要检查对于菱形概念和性质与判定的掌握情况，最后一题检查学生对于正方形概念理解的程度，可为本节课作铺垫.教学探究11.教学目标1：能说出正方形的定义，知道正方形具有矩形和菱形的所有性质.教学过程1.小学里我们就已经认识了正方形，正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.中学正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.问题1：通过前两节课的学习已经知道，将平行四边形特殊化可以得到矩形或菱形，请回顾已有知识.师生互动设计：教师分析：如果平行四边形有一个角是直角，这时的平行四边形是矩形；如果平行四边形有一组邻边相等，这时的平行四边形是菱形.追问：接下来我们研究正方形是如何通过将平行四边形特殊化所得到的.引导学生推测：有一个角是直角，有一组邻边相等，这时的平行四边形是正方形.实验验证：用度量、实验等方式推测图形的形状.结论：1.正方形既是矩形又是菱形；2.将矩形特殊化得正方形：有一组邻边相等的矩形是正方形；3.将菱形特殊化得正方形：有一个角是直角的菱形是正方形；4.正方形和矩形、菱形的关系可以用下图直观表示.设计意图：了解正方形的概念，知道正方形既是矩形又是菱形，从集合的视角初步体会一般和特殊之间的关系.【测评1】1.下列说法正确的是（）A.菱形是正方形B.矩形是正方形C.平行四边形是正方形D.正方形既是矩形也是菱形设计意图：概念辨析，通过此题检验学生对概念内涵与外延的理解，为下一步的教学决策提供依据，大多数学生已经学会，才能进入下一段的学习.一旦发现没有学会的学生较多，就必须对原来的设计作出调整，生成新的教学流程，帮助学生达成学习目标.教学探究2教学探究32.教学目标2：能从正方形的定义出发，利用平行四边形的性质定理，推出正方形的性质.教学目标3.能用正方形的性质解决问题.教学过程2.正方形的轴对称性问题2：观察正方形，它是轴对称图形吗？如果是对称轴在哪里？你能找到吗？师生互动设计：正方形既是矩形又是菱形，因此矩形和菱形所具有的轴对称性正方形仍旧具有.矩形两组对边中点所在的直线是对称轴，正方形仍然具有.菱形两条对角线所在的直线是对称轴，正方形仍然具有.因此，正方形是轴对称图形，有4条对称轴.正方形的轴对称性：正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.设计意图：通过正方形对称轴的研究，为了解正方形的几何性质提供了直观的依据.教学探究33.教学过程3：正方形的性质问题3：通过以上实验可以发现正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，你能总结其中蕴含了正方形的哪些性质吗？（给学生提供思考、探究的时间）.分析：正方形性质为矩形和菱形性质的总和.①正方形具有平行四边形的所有性质.②与边有关的性质：正方形的四条边都相等.③与角有关的性质：正方形的四个角都是直角.④与对角线有关的性质：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.设计意图：知道正方形是菱形（矩形），所以所有菱形（矩形）的性质都适用于正方形，并能分门别类的列举这些性质.追问：将正方形的性质归纳梳理，用几何语言描述：设计意图：1.通过度量、实验操作、几何画板演示等方式，通过合情推理，发现结论，形成猜想，运用演绎推理证明猜想.把合情推理和演绎推理有机结合起来.2.用几何语言规范表述正方形的性质.【测评2】1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，∵△CDE是等边三角形，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，∴∠DEA=∠CEB=×（180°﹣150°）=15°，∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；故∠AEB的度数为30°.设计意图：检验对正方形性质的理解，大多数学生已经学会，才能进入下一段的学习.一旦发现没有学会的学生较多，就必须对原来的设计作出调整，生成新的教学流程，帮助学生达成学习目标.教学探究44.教学目标4：能利用性质与判定的关系，猜想并证明正方形的判定定理.教学过程4.正方形的判定问题4：通过前面的实验已经发现，将矩形和菱形特殊化可以得到正方形，由此得到正方形的判定定理.师生互动设计：教师指出，有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.追问：还有没有其它判定方法呢？与其它特殊平行四边形的研究方法类似，我们研究正方形性质定理的逆命题，看看他们是否成立.

（给学生提供思考、探究的时间）.归纳梳理：1.

有一组邻边相等的矩形是正方形.2.

对角线互相垂直的矩形是正方形.3.

有一个角是直角的菱形是正方形.4.

对角线相等的菱形是正方形.判定方法整理设计意图：1.在四边形的基础上，先证明这个四边形是矩形，再证明它是菱形，从而说明它是正方形；或者先证明这个四边形是菱形，再证明它是矩形，从而说明它是正方形.2.从数学本身提出问题，通过正方形性质定理的逆命题，提出问题，通过运用演绎推理证明这些命题的真伪，得出正方形的判定定理，进一步说明正方形的性质定理与判定定理之间的关系.【测评3】1.关于正方形的判定，下列说法错误的是（）A.一组邻边相等的矩形B.一个角是直角的菱形C.对角线互相垂直的矩形D.有一组对边平行并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形设计意图：通过此题检验学生对概念内涵与外延的理解，为下一步的教学决策提供依据，大多数学生已经学会，才能进入下一段的学习.一旦发现没有学会的学生较多，就必须对原来的设计作出调整，生成新的教学流程，帮助学生达成学习目标.典例精析5.教学目标5：能运用正方形的判定定理解决问题.教学过程5.例题分析【例题5】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.师生互动设计：先由学生自主进行问题解决方案的讨论，利用师生交互平台，请学生展示解题思路，然后定出具体的解题过程，教师点评后板书解题过程.证明：∵四边ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.追问：图中共有多少个等腰直角三角形？结论：8个.设计意图：1.利用正方形的性质解决问题.2.通过此题进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.【测评4】1.已知，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD设计意图：此题主要考查对正方形判定定理的掌握情况，为下一步的教学决策提供依据，大多数学生已经学会，才能进入下一段的学习.一旦发现没有学会的学生较多，就必须对原来的设计作出调整，生成新的教学流程，帮助学生达成学习目标.归纳总结1.正方形与矩形和菱形有什么关系？2.正方形的性质有哪些？3.怎样证明一个四边形是正方形？目标检测设计一、选择题1.下列说法错误的是（）A.正方形是平行四边形B.正方形是菱形C.正方形是矩形D.菱形和矩形都是正方形2.圆，正方形，长方形，等腰梯形中有唯一条对称轴的是（）A.圆B.正方形C.长方形D.等腰梯形3.在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边