【2020中考数学提分卷】北京市-第13讲-几何压轴题+答案

【2020年中考数学——精品提分卷】第页/共18页第13讲几何压轴题第13讲几何压轴题【2020·怀柔一模】1.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC.(1)依题意补全图形；(2)求∠ECD的度数；(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．【答案】如图(2)∵线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE.∴∠DAE=90°，AD=AE.∴∠DAC+∠CAE=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°.∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,∴△ABD≌△ACE.∴∠B=∠ACE.∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.Ⅰ.连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求DE=；Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC的度数和∠CDF的度数，从而可知DF的长；Ⅲ.过点A作AH⊥DF于点H，在Rt△ADH中,由∠ADF=60°，AD=1可求AH、DH的长；Ⅳ.由DF、DH的长可求HF的长；Ⅴ.在Rt△AHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长．【2020·平谷一模】2．在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．（1）补全图1；（2）如图1，当∠BAC=90°时，=1\*GB3①求证：BE=DE；=2\*GB3②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；图2（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE图2图图1【答案】解：（1）补全图1；（2）=1\*GB3①延长AE，交BC于点H．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AH⊥BC于H，BH=HC．∵CD⊥BC于点C，∴EH∥CD．∴BE=DE．=2\*GB3②延长FE，交AB于点G．由AB=AC，得∠ABC=∠ACB．由EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．得AG=AF．由等腰三角形三线合一得GE=EF．由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF．可得∠ABE=∠FDE．从而可证得DF∥AB．（3）．【2020·顺义一模】3.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠FAC=∠APF；（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．【答案】（1）补全图如图所示．（2）证明∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，∴∠PAH=45°-∠BAE．∵FH⊥AE．∴∠APF=45°+∠BAE．∵BF=BE，∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．∴∠FAC=45°+∠BAF．∴∠FAC=∠APF．（3）判断：FM=PN．证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，∴MN=BQ，BQ⊥AE．∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠BAE=∠CBQ．∴△ABE≌△BCQ．∴AE=BQ．∴AE=MN．∵∠FAC=∠APF，∴AF=FP．∵AF=AE，∴AE=FP．∴FP=MN．∴FM=PN．【2020·大兴一模】4．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．（1）求证：∠ABG=∠ACF；（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间的等量关系，并证明． 【答案】（1）证明

:∵∠CAB=90°.∵BG⊥CF于点G，∴∠BGF=∠CAB=90°.∵∠GFB=∠CFA.∴∠ABG=∠ACF.（2）CG=AG+BG.证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=90°，AB=AC.∵∠ABG=∠ACH.∴△ABG≌△ACH.∴AG=AH,∠GAB=∠HAC.∴∠GAH=90°.∴.∴GH=AG.∴CG=CH+GH=AG+BG.【2020·石景山一模】5．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）依题意补全图1；图1备用图（2）①连接，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：；

②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．图1备用图【答案】补全图形如图1.图1图1图1图2（2）①图2连接，如图2，∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，∴，．∵四边形是正方形，∴，．∴．∴△≌△．∴，．∵在中，，∴．∵在中，，又∵，，∴．②．图图1【2020·门头沟一模】6.如图，在△ABC中，AB=AC，，点D是BC的中点，，.（1）_________°；（用含的式子表示）（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转，与AC边交于点N．①根据条件补全图形；②写出DM与DN的数量关系并证明；③用等式表示线段与之间的数量关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路.【答案】（1）（2）①补全图形正确②数量关系：∵∴DA平分∵，∴，∵∴∵∴∴∴③数量关系：证明思路：a.由可得b.由可得,进而通过,可得进而得到c.过可得,最终得到【2020·房山一模】7.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG.（1）依题意补全图形；（2）求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由.【答案】解（1）（2）由轴对称性可知，AB为ED的垂直平分线，AC为EG的垂直平分线.∴AE=AG=AD.∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α∴∠AGE=eq\f(1,2)(180°－∠EAG)=60°－α或：∠AGE=∠AEG=90°－∠EAC=90°－（∠BAC+∠EAB）=90°－（30°+α）=60°－α（3）EG=2EF+AFH法1：设AC交EG于点HH∵∠BAC=30°，∠AHF=90°∴FH=eq\f(1,2)AF∴EH=EF+FH=EF+eq\f(1,2)AF又∵点E，G关于AC对称∴EG=2EH∴EG=2(EF+eq\f(1,2)AF)=2EF+AF法2：在FG上截取NG=EF，连接AN.又∵AE=AG，∴∠AEG=∠AGE∴△AEF≌△AGN∴AF=AN∵∠EAF=α，∠AEG=60°－α∴∠AFN=60°∴△AFN为等边三角形 ∴AF=FN∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF【2020·朝阳一模】8.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α.∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°.∴∠AGC=30°.∴∠AFC=α+30°.（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为QUOTE3.证明：作CH⊥AG于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG.∴HG=AG.∵∠ACE=∠GCF，∠CAE=∠CGF，∴△ACE≌△GCF.∴AE=FG.在Rt△HCG中，∴AG=QUOTE3CG.即AF+AE=QUOTE3CG.【2020·东城一模】9.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．（1）如图1，若=1\*GB3①直接写出和的度数；=2\*GB3②若AB=2，求AC和AH的长；（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．【答案】（1）=1\*GB3①，；=2\*GB3②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.Rt△CDE中，由，DE=1，可得EC=1.∴AC.Rt△ACH中，由，可得AH；（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.易证△ACH≌△AFH.∴,.∴.∵，∴.∴.∴.∴.【2020·西城一模】10．正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．（1）如图，当时，①依题意补全图．②用等式表示与之间的数量关系：__________．（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．【答案】（1）=1\*GB3①补全的图形如图7所示．=2\*GB3②∠NCE=2∠BAM．（2）当45°<α<90°时，．证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称．∵射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α．∴∠1=∠2=．∵CE⊥AM，∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠1=∠3．∴∠3=∠2=．∵点N与点M关于直线CE对称，∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=．（3）．图图7图8【2020·海淀一模】11．如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，.（1）当时，求的长；（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断.【答案】解：（1）作⊥交于.∵⊥，，∴.∴.∴.∵,,∴,.∴.∴.（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如下：当点与点不重合时，延长到使得.∵,∴.∴.∵,是公共边,∴≌.∴.作⊥于,⊥于.∵，∴.∵⊥,⊥,⊥，∴四边形为矩形.∴.∵,∴.∵⊥,∴.∴,即.当点与点重合时，由上过程可知结论成立.【2020·丰台一模】1