【课时讲义】6.2.4-向量的数量积-第1课时导学案及课时讲义必修第二册第六章平面向量及其应用

6．2.4向量的数量积导学案及课时讲义第1课时向量数量积的定义及性质知识点一向量夹角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up9(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up9(→))与eq\o(CB,\s\up9(→))的夹角θ＝________.知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．24．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上两点，且AB＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))等于()A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．2D.eq\f(5\r(3),2)知识点三投影向量5.已知等边三角形ABC的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(CA,\s\up9(→))方向上的投影向量为()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→))C．2eq\o(AC,\s\up9(→)) D．2eq\o(CA,\s\up9(→))6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝()A．4B．3C．2D．17．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为eq\f(2π,3)，则e在a方向上的投影向量的模为________．知识点四平面向量数量积的性质8.给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．49．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是()A．0B.eq\f(1,2)C．2D．310．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))，求eq\o(PA,\s\up9(→))·(eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→)))的值．知识点五平面向量数量积的应用11.已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)12．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)13．已知a，b是两个非零向量，若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角．14．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________．易错分析本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B即为向量b与c的夹角．一、选择题1．已知|a|＝4，|b|＝2，当a，b的夹角为eq\f(π,3)时，a·b＝()A．4eq\r(3)B．4C．8eq\r(3)D．82．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为()A．－5eq\r(3)B．5C．－5D．5eq\r(3)3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，且eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＝0，则四边形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))5．(多选)已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论正确的是()A.eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0B.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝2C.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝2D．|eq\o(AB,\s\up9(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|二、填空题6．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝________.7．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量的模长为2，则|a|＝________.8.如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝________.三、解答题9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→)).10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则eq\o(OP,\s\up9(→))＝xeq\o(OA,\s\up9(→))＋yeq\o(OB,\s\up9(→)).(1)若eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\o(PB,\s\up9(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(AP,\s\up9(→))＝3eq\o(PB,\s\up9(→))，|eq\o(OA,\s\up9(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up9(→))与eq\o(OB,\s\up9(→))的夹角为60°，求eq\o(OP,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))的值．6．2.4向量的数量积第1课时向量数量积的定义及性质解析版知识点一向量夹角的概念1.已知|a|＝|b|＝3，且a与b的夹角为80°，则a＋b与a－b的夹角是________．答案90°解析如图，作向量eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形，则四边形OACB为菱形．∵eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→))＝a－b，eq\o(OC,\s\up9(→))⊥eq\o(BA,\s\up9(→))，∴a＋b与a－b的夹角为90°.2．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(CB,\s\up9(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up9(→))与eq\o(CB,\s\up9(→))的夹角θ＝________.答案120°解析在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，CB＝1，所以tan∠ACB＝eq\f(AB,CB)＝eq\r(3)，所以∠ACB＝60°，即eq\o(CB,\s\up9(→))与eq\o(CA,\s\up9(→))的夹角为60°，所以eq\o(AC,\s\up9(→))与eq\o(CB,\s\up9(→))的夹角为120°.知识点二平面向量数量积的定义3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1＋eq\f(\r(3),2)D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上两点，且AB＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))等于()A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．2D.eq\f(5\r(3),2)答案A解析因为AB＝eq\r(5)，所以三角形ABC为等边三角形，所以eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))＝|eq\o(AC,\s\up9(→))||eq\o(CB,\s\up9(→))|cos120°＝eq\r(5)×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(5,2).知识点三投影向量5.已知等边三角形ABC的边长为2，则向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(CA,\s\up9(→))方向上的投影向量为()A．－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→))C．2eq\o(AC,\s\up9(→)) D．2eq\o(CA,\s\up9(→))答案A解析在等边三角形ABC中，∵∠A＝60°，∴向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(AC,\s\up9(→))方向上的投影向量为eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴向量eq\o(AB,\s\up9(→))在向量eq\o(CA,\s\up9(→))方向上的投影向量为－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up9(→)).故选A.6．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝()A．4B．3C．2D．1答案D解析设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cosθ·e，则|γ|＝||a|cosθ|＝|2×cos120°|＝1，故选D.7．已知|a|＝4，e为单位向量，a与e的夹角为eq\f(2π,3)，则e在a方向上的投影向量的模为________．答案eq\f(1,2)解析∵a与e的夹角θ＝eq\f(2π,3)，∴e在a方向上的投影向量的模为||e|cosθ|＝eq\f(1,2).知识点四平面向量数量积的性质8.给出以下结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤|a·b|≤a·b.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③显然正确；(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，故④错误；|a·b|＝|a||b||cosθ|，a·b＝|a||b|cosθ，有|a·b|≥a·b，故⑤错误．9．若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的值不可能是()A．0B.eq\f(1,2)C．2D．3答案D解析由向量内积性质知|a·b|≤|a||b|＝2.故选D.10．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))，求eq\o(PA,\s\up9(→))·(eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→)))的值．解如图，由AM＝3，且eq\o(AP,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))，可知|eq\o(AP,\s\up9(→))|＝2.∵M为BC的中点，∴eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→))＝2eq\o(PM,\s\up9(→))＝eq\o(AP,\s\up9(→))，∴eq\o(PA,\s\up9(→))·(eq\o(PB,\s\up9(→))＋eq\o(PC,\s\up9(→)))＝eq\o(PA,\s\up9(→))·eq\o(AP,\s\up9(→))＝－eq\o(PA,\s\up9(→))2＝－|eq\o(PA,\s\up9(→))|2＝－4.知识点五平面向量数量积的应用11.已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)答案C解析a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.12．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝()A.eq\f(π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)答案D解析因为|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a·b＝－3，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(\r(3),2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq\f(5π,6).13．已知a，b是两个非零向量，若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角．解∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝eq\f(6,|a||b|)＝eq\f(6,3×4)＝eq\f(1,2)，∴cos〈a，b〉＝±eq\f(1,2).∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).课时易错点易错点求夹角时忽略向量的方向致误14．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为________．易错分析本题出错的原因是确定向量夹角时未考察向量的方向，简单认为角B即为向量b与c的夹角．答案150°正解由题意画出图形，如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠CAB＝60°，又|b|＝2|a|，所以∠ACB＝90°，所以∠ABC＝30°，则b与c的夹角为150°.一、选择题1．已知|a|＝4，|b|＝2，当a，b的夹角为eq\f(π,3)时，a·b＝()A．4eq\r(3)B．4C．8eq\r(3)D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×coseq\f(π,3)＝4.2．向量a的模为10，它与向量b的夹角为150°，则它在b方向上的投影向量的模为()A．－5eq\r(3)B．5C．－5D．5eq\r(3)答案D解析a在b方向上的投影向量的模为||a|cos150°|＝5eq\r(3).3．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))，且eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＝0，则四边形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形答案B解析由eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))得四边形ABCD中一组对边平行且相等，由eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))答案B解析设a与b的夹角为θ，由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).故选B.5．(多选)已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论正确的是()A.eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0B.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝2C.eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝2D．|eq\o(AB,\s\up9(→))|cosB＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|答案ABD解析在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则eq\f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq\r(2)，得AB＝2，所以eq\o(AC,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝0，A正确；eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AC,\s\up9(→))＝|eq\o(AB,\s\up9(→))|·|eq\o(AC,\s\up9(→))|cos45°＝2，B正确；eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝|eq\o(AB,\s\up9(→))||eq\o(BC,\s\up9(→))|cos135°＝－2，C不正确；向量eq\o(BA,\s\up9(→))在eq\o(BC,\s\up9(→))上投影的数量为|eq\o(BC,\s\up9(→))|，即|eq\o(AB,\s\up9(→))|·cosB＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|，D正确．故选ABD.二、填空题6．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝________.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.7．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影向量的模长为2，则|a|＝________.答案4解析因为||a|cos120°|＝2，所以eq\f(1,2)|a|＝2，所以|a|＝4.8.如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝________.答案－eq\f(149,2)解析eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝|eq\o(OA,\s\up9(→))||eq\o(AB,\s\up9(→))|cos(180°－∠BAO)，∵|eq\o(OA,\s\up9(→))|cos(180°－∠BAO)＝－|eq\o(OA,\s\up9(→))|cos∠BAO＝－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up9(→))|，∴eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)·|eq\o(AB,\s\up9(→))|2，同理，eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up9(→))|2，eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up9(→))|2，∴eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(CA,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)×(62＋72＋82)＝－eq\f(149,2).三、解答题9．(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→)).解(1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18.若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18.②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0.③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×eq\f(1,2)＝9.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝eq\f(3,5)，eq\o(AB,\s\up9(→))与eq\o(BC,\s\up9(→))的夹角θ＝180°－∠ABC，∴eq\