高三数学一轮复习讲义基本不等式教师

课题：基本不等式知识点一、利用基本不等式证明不等式1．如果，那么（当且仅当时取等号“=”）如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.2.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．3.几个重要的不等式(1)(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；4．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【典型例题】【例1】不已知、、都是正数，求证：【解析】∵、、都是正数∴（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.【举一反三】1.已知实数求证：。试题解析：证明：由，可知；由，可知；同向不等式相加即可得证。考点：1、重要不等式；2、不等式的性质．2．已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1)(1)(1)≥8．试题分析：将代入不等式的左边，再利用基本不等式，即可证明结论．试题解析：因a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,故(1)(1)(1)=知识点二、利用基本不等式求最值1.已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【典型例题】【例1】若x,y是正数，且，则有（）A．最小值16B．最小值C．最大值16D．最大值试题分析：，即，当且仅当时，等号成立，所以有最大值16，故选A.【例3】已知，则的最小值为（）A．B．C．D．试题分析：因,故应选D.【例4】设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.试题分析：根据条件,,若对一切正实数成立,则，即，解得，又因为，所以，故选D【例5】设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，∵a＞0，b＞0∴（a+b）（）=5+=5+2≥9∴的最小值是9【举一反三】1．已知则的最大值为（）A.C.D.【答案】A试题分析：，当且仅当时等号成立，所以的最大值为2.已知，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B试题分析：两边除以得，所以.3．已知，且，若恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．试题分析：恒成立，即，，当且仅当时取等号，所以，即实数的最大值为4，选A.4．已知，且，求：（1）的最小值；（2）的最小值.【答案】（1）64(2)18试题解析：(1)因为所以，则由题意可知所以解之得（6分）(2)，因为（6分）【课堂巩固】1．已知且，若不等式恒成立，则的最大值等于（）A．10B．9C．8D．7试题分析：,当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，又因为恒成立，所以，即的最大值为，故选B.2．已知，且，则的最小值为（）A．4B．C．D．5试题分析：由得，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故选C.3．当x>1时不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（，+C.（，+试题分析：，当且仅当即时等号成立，所以最小值为3，实数a的取值范围是（4．已知，则的最小值为（）A．B．C．D．试题分析：由，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故选A.5．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.6．（1）已知求函数的最小值．（2）已知，求函数的最大值．【答案】（1）6（2）试题解析：（1）当且仅当即时，等号成立，故函数的最小值为6（2），，则当且仅当即时，【课后练习】正确率：1．已知，则的最小值是（）A．B．4C．D．5试题分析：，故选C.2．11．若正数x，y满足x＋3y5xy=0，则3x＋4y的最小值是（）A．B．C．6D．5【答案】D试题分析：：∵x＋3y5xy=0，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=当且仅当即x=2y=1时取等号3．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值是（）A．10B．9C．8D．7试题分析：由可得,因,所以,故应选B.4．已知，若恒成立，则实数的取值范围是()A．或B．或C．D．【答案】D试题分析：恒成立，，当且仅当即时等号成立，所以，即，解之得，故选D.5．若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，且，则的最小值为（）A．B．C．D．20试题分析：由题意得，所以，当且仅当时取等号，选D.6．若,则的最小值是（）A．2试题分析：.故选D.7．设，则的最大值是（）A、3B、C、D、1试题分析：因为，所以，因此最大值是，正确答案为C．8．设均为正数，且证明：（1）；（2）.试题解析：（1），，，所以所以（2），，9