函数与图形类相关问题-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题48函数与图形类相关问题

【考查题型】

考查题型一函数与等腰三角形相关问题

1.(2018•辽宁阜新市•中考真题)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,

0),交y轴于点C.

(I)求这个二次函数的表达式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求ABCP面积的最大值；

(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值.

【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；(2)SABCP触大=彳：(3)当△BMN是等腰三角形

O

时，m的值为0,-0,1,2.

【解析】

详解：(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式，得

。+。+3=0,

9a+3b+3=0解"Q-4'

这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；

(2)当x=0时,y=3,即点C(0,3),

设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式，得

3k+b=0k=—1

解这个方程组，得.

b=0h=3

直线BC的解析是为y=-x+3,

过点P作PE〃y轴

交直线BC于点E(t,-t+3),

PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,

13327

2

SABCP-SABPE+SCPE——(-t+3t)x3=---(t--)2H--------,

2228

3327

V--<0,当t=一时,SABCP■

22

(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)

MN=m2-3m,BM=y/2|m-3|,

当MN=BM时，①012-3[11=及(m-3),解得m=④，

②m2-3m=-0(m-3),解得m=-&

当BN=MN时，ZNBM=ZBMN=45°,

m2-4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)

当BM=BN时.，ZBMN=ZBNM=45°,

-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍)，

当△BMN是等腰三角形时，m的值为正，-正，1,2.

2.(2020.山东济南市.中考真题)如图1,抛物线y=-N+bx+c过点A(-1,0),点8(3,0)与y轴

交于点C.在x轴上有一动点0)(0＜加＜3),过点E作直线Ux轴，交抛物线于点M.

(1)求抛物线的解析式及C点坐标；

(2)当〃?=1时，力是直线/上的点且在第一象限内，若△AC£＞是以NOC4为底角的等腰三角形，求点

D的坐标；

(3)如图2,连接并延长交y轴于点M连接AM,OM,设AA£M的面积为Si,△MON的面积为

【答案】⑴y=-V+2x+3,C(0,3)；(2)(1,1)或(1,指)；⑶77-2

【详解】

-l-b+c=O

解：(1)将点4、8的坐标代入抛物线表达式得《八＞八，

-9+3b+c=0

b=2

解得《

c=3

故抛物线的表达式为y=-/+21+3,

当x=0时，y=3,故点C(0,3)；

(2)当〃?=1时，点E(l,0),设点。的坐标为(1,a),

由点A、C、。的坐标得，AC=^(0+l)2+(3-0)2=V10.

同理可得：AD=Ja?+4，CD=Jl+(a-3)-，

①当CD=4O时，即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得。=1；

②当AC=AD时，同理可得。=±#(舍去负值);

故点D的坐标为(1,1)或(1,76);

(3)•:E(m,0),则设点-m2+2m+3\

-m2+2m+3=sm+t

设直线BM的表达式为y=sx+r,则〈

0=3s+t

1

s=--------

解得：〈m+1

3

t=------

m+1

13

故直线BM的表达式为y=-----x+—,

m+1m+1

333

当x=0时，y=^—,故点N(0,),则。N=^—；

m+1m+1m+1

2

5i=-xAExyM=-x(m+1)x(-m+2m+3)9

22

31

2s2=ON*XM=---xm=Si=­x(6+1)x(-m2+2m+3),

m+12

解得m=-2±yfj(舍去负值),

经检验-2是方程的根,

故m=y/l~2.

3.(2020.广西中考真题)如图，已知抛物线y=a(x+6)(x-2)过点C(0,2),交x轴于点A和点B

(点A在点8的左侧)，抛物线的顶点为。，对称轴DE交x轴于点E,连接EC.

(1)直接写出。的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；

(2)若点M是抛物线对称轴OE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；

(3)点P是抛物线上的动点，连接尸C,PE,将APCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点

P'处.求当点P'恰好落在直线AC上时点P的横坐标.

【答案】(1)a=--,A(-6,0),宜线x=-2；(2)(-2,2)或(-2,4)或(-2,272)或(-

6

2,-2&)；⑶T3+师

2

【详解】(1),••抛物线y=a(x+6)(x-2)过点C(0,2),

：.2=a(0+6)(0-2),

.1

・・4=—一,

6

11Q

••抛物线的解析式为y=--(x+6)(x-2)=--(x+2)2+—,

663

・・・抛物线的对称轴为直线冗=-2；

(2)如图1,由(1)知，抛物线的对称轴为工=-2,

：.E(-2,0),

VC(0,2),

:.OC=OE=2,

：.CE=y/2OC=2y[2ZCED=45°,

是等腰三角形，

・・・①当ME=MC时，

：.ZECM=ZCED=45°f

：.NCME=90。，

：.M(-2,2),

②当CE=CM时，

.\MM]=CM=2,

：.EMi=4f

/.Mi(-2,4),

③当时，

:,EM?=EM3=2近，

・・・区(-2,-272)，%(-2,272)，

即满足条件的点M的坐标为(-2,-2)或(-2,4)或(-2,272)或(-2,-272)；

(3)如图如

Q

由(1)知，抛物线的解析式为y=-2(x+6)(x-2)=-

(x+2)—,

663

8

：.D(-2,-),

3

令y=0,贝ij(x+6)(x-2)=0,

Ax=-6或x=2,

・•・点A(-6,0),

2

・,・直线AD的解析式为y=§工+4,

过点尸作尸Q-Lx轴于。，过点P作于

；・NEQ'P=NEQP=90。,

由(2)知，ZCED=ZCEB=45°,

由折叠知，EP'=EP,/CEP=NCEP,

・•・△尸QEg△P'Q£(AAS)f

,PQ=PQ,EQ=EQ;

设点P(加，〃)，

AOQ=m,PQ=n,

：.P'Q=n,EQ=QE=m+29

.••点P(〃-2,2+m),

♦.•点P在直线AO上，

2

2+m=—(〃-2)+4①，

3

・・,点尸在抛物线上，

・"=-—(加+6)(〃？-2)②,

_i3_y^T（舍）或，-T3+同

联立①②解得,

22

即点P的横坐标为二13拽石

2

264

4.（2020•湖南岳阳市•中考真题）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线1：y=a（x-g）2+w与工

轴交于点A（—•!，（））和点3,与y轴交于点c.

（1）求抛物线G的表达式；

（2）如图2,将抛物线G先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线心，若抛物线片与抛

物线B相交于点。，连接BD，CD,BC.

①求点。的坐标；

②判断ABCD的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线尸2上是否存在点尸，使得△友力为等腰直角三角形，若存在，求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

54

【答案】(1)y=-x2+-x+4；(2)①点。的坐标。(一1,1)；②ABCD是等腰直角三角形，理由见解

33

析；(3)尸(一2,-2)或P(l,-3).

【详解】(D将点A(—*0)代入抛物线月的表达式得：«(-|-|)2+j|=0

解得a=_』

3

5264s4

则抛物线F\的表达式为y=—(%—)~H---——X2H—x+4

351533

54

故抛物线耳的表达式为y=-j必+5x+4：

5?64

(2)①由二次函数的平移规律得：抛物线尸2的表达式为丁=一不(X-1+1)2+百一3

:―+12

3515

联立《,解得《

52c2

——x~-2x+—

33

则点。的坐标为。(-LD；

「、…5/2、2645,44

②对于y-——(x——)+——-——x+—X+4-

351533

"ly=O时，——(x——)2+=0,解得工=2或兀=-~~

则点B的坐标为8(2,0)

54

当尤=0时，y=—X02+-X0+4=4,则点C的坐标为C(0,4)

33

由两点之间的距离公式得：BC=，(2-0>+(0-4)2=2逐

BD=7(2+1)2+(0-1)2=而

CD=7(0+1)2+(4-1)2=Vio

则80=CD,BD~+CD2=BC2

故△6QD是等腰直角三角形；

5319s2

(3)抛物线F的表达式为y=--(x+-)2+—=--X2-2%+-

2351533

设点P的坐标为P(m,n)

由题意，分以下三种情况：

①当/尸。5=90。,即=5。时，△即尸为等腰直角三角形

•.•△BCD是等腰直角三角形，Z5DC=90°,BD=CD

PD=CD

•••点D是CP的中点

0+m

---2--二­]m=-2c

则，解得《-

4+〃n--2

-------=1i

I2

即点P的坐标为尸(—2,—2)

52

2

对于抛物线F2的表达式y=--X-2X+-

当x=-2时，y=—gx(—2)2—2x(—2)+g=—2

即点P(-2,-2)在抛物线F2上，符合题意

②当NPBD=90°,PB=BD时,4BDP为等腰直角二角形

•.•ZBDC=90。，BD=CD

：.CD//PB,PB=CD

四边形BCDP是平行四边形

•••点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同

•.•C(0,4),B(2,0)

•••点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度

•.•力(-1,1),P(m,n)

fm=-l+2=l

n=1-4=-3

即点P的坐标为P(L—3)

52

对于抛物线B的表达式y=--x2-2x+-

5,2

当x=l时，y=—xl_-2xl+—=-3

33

即点尸（1,一3）在抛物线名上，符合题意

③当NBPD=90。,依=时，ABDP为等腰直角三角形

则点P在线段BD的垂直平分线上

设直线BD的解析式y=^+人

2k+b=Q卜_

将点8（2,0）,。（一1,1）代入得：\,，解得《「

-k+b=\,2

ib--

I3

]2

则直线BD的解析式y=——x+—

设BD的垂线平分线所在直线的解析式为y=3x+c

点B（2,0）,。（—1,1）的中点的坐标为（?,等）,即（；,1）

1131

将点（2，/）代入y=3x+c得：2+C=2'解得c=—1

则BD的垂线平分线所在宜线的解析式为y=3x-1

因此有3加一1=〃，即点P的坐标为—

由两点之间的距离公式得：PB=7（m-2）2+（3/n-l-0）2=VlO/w2-10m+5

乂YBDUM，为等腰直角三角形

PB=^BD=y[5

2

则Jl()加2—10加+5=石

解得机=0或m=1

当根=0时，3加一1=3x0—1=—1，即点P的坐标为口0,-1)

当帆=1时，3m-l=3xl-l=2,即点P的坐标为P(L2)

52

对于抛物线尸2的表达式y=-^x2-2x+-

522

当X=0时，y=--x02-2x0+-=-

333

即点尸(0,-1)不在抛物线鸟上，不符合题意，舍去

当x=l时，y=--xl2-2xl+—=-3

33

即点P(l,2)不在抛物线F2上，不符合题意，舍去

综上，符合条件的点P的坐标为尸(-2,-2)或P(l,-3).

考查题型二函数与平行四边形相关问题

13

5.(2018•湖南益阳市♦中考真题)如图，已知抛物线?二万/一1》一〃(〃>o)与X轴交于A,B两点

(A点在B点的左边)，与V轴交于点C。

(1)如图1,若△ABC为直角三角形，求”的值；

(2)如图1,在(1)的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点

B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；

(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴交于点E,若AE:ED=1:4,

求”的值.

【答案】⑴>=卜2-，-2；(2)点P的坐标为(?,?),(一，,卜),(!■,-?)；(3)乡.

222828288

【详解】(1)若△ABC为直角三角形

.,.△AOC^ACOB

.,.OC2=AO«OB

,i1,3

当y=0时，0=-x2--x-n

22

由一元二次方程根与系数关系

-OA«OB=OC2

-n

n2=1=-2n

2

解得n=0(舍去)或n=2

1,3

.•.抛物线解析式为y=y=-x2-1x-2；

13

(2)由(1)当一炉9一一工一2二0时

22

解得X2=4

AOA=1,0B=4

AB(4,0),C(0,-2)

_3

h93

•.•抛物线对称轴为直线x=--=——・=—

2a2xl2

2

3

，设点Q坐标为(一，b)

2

由平行四边形性质可知

当BQ、CP为平行四边形对角线时，点P坐标为(U,b+2)

2

13

代入y=-x2・—x・2

22

231139

解得b=1,则p点坐标为(丁，F)

828

当CQ、PB为为平行四边形对角线时，点P坐标为b-2)

2

13

代入y=-X2--x-2

22

55539

解得b二一，则P坐标为(―,—)

828

1139539

综上点P坐标为(一，—),(―,—)；

2828

(3)设点D坐标为(a,b)

VAE：ED=1：4

贝|JOE=L,O\=-a

54

•；AD〃AB

AAAEO^ABCO

VOC=n

.OB_OA

'~OC~~OE

5an

OB=-----

4b

_c_-n_1San

由一元二次方程根与系数关系得，X'X2=^=~=~4a*7b

2

・h5、

•.b=—屋

32

|513

将点A（-—0）,D（a,—“2）代入y=一父■--x-n

432'22

八_1、,1、2301

Q-----—ci）—?—a—n

2424

2」2

——5a=—a—3a—n

【3222

解得a=6或a=0（舍去）

,27

则n=一.

8

【名师点拨】

本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四

边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.

6.（2017•辽宁大连市•中考真题）如图，在平面直角坐标系镇瞰中，双曲线般=:经过口4疑淘的顶点

笳

氨®!.点部的坐标为侬嚣，点激在整轴上，且/©濠需轴，健牌-=需.

（1）填空：点热的坐标为

【解析】

试题解析：(1)由D得坐标以及点A在y轴上，且AD〃x轴即可求得；

(2)由平行四边形得面积求得AE得长，即可求得0E得长，得到B得纵坐标，代入反比例函数得解析式

求得B得坐标，然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式.

试题解析：(1)•••点D的坐标为(2,I),点A在y轴上，且AD〃x轴，

.♦.A(0,1)；故答案为(0,1)；

(2)：双曲线涉=壁经过点D(2,I),；.k=2x|=2,...双曲线为?=3，

•标幅

VD(2,1),AD〃x轴，；.AD=2,；S=ABCD=5,.*.AE=^,

.♦.OE=1,'B点纵坐标为

把y=T代入源4得，，解得x=g.••B(gT),

遇％国.以ajtis

设直线AB得解析式为y=ax+b,

回他但』，一更：

代入A(0,1),B(-5，弓)得：，题”号；，解得，厨”，

号.M--a?i5=--L..,

L鸯秘g=兀s

AAB所在直线的解析式为解=季；讯

考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；

平行四边形的性质.

7.(2020•柳州市中考真题)如图①，在平面直角坐标系X。)，中，批物线y=/-4x+a(«<0)与y轴交于

2

点A,与x轴交于E、下两点(点E在点F的右侧)，顶点为M.直线y=与x轴、y轴分别交于

B、C两点，与直线AM交于点D

(1)求抛物线的对称轴；

(2)在),轴右侧的抛物线上存在点P,使得以P、A、C、。为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；

(3)如图②，过抛物线顶点M作MNLx轴于N,连接ME,点Q为抛物线上任意一点，过点Q作

QGJ_x轴于G,连接QE.当a=-5时，是否存在点。，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似

(不含全等)？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

56217

【答案】(1)直线x=2；(2)(3)存在，点。的坐标为(-4,27)或(一§,--)或

419

(-------,—).

39

【解析】

(1)y—x1-4x+a=(x-2)2+a-4,即可求解：

31

(2)求出直线AM的解析式为y=-2x+a,联立方程组可解得点。的坐标(一〃，--«)：AC是以/＞、

42

31

A、C、。为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点。关于原点对称，即P(一”，--a),将点P(-

42

31

—a,—a)代入抛物线-4x+a,即可求解；

42

EGEN31

(3)分==—=———=---=-二一两利」情况，分别求解即可.

QGMN93EGMN93

【详解】

解：(1)*.'y=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,

・・・抛物线的对称轴为直线x=2；

(2)由y=(x-2)2+a-4W：A(0,a),M(2,a-4),

2

由y=-x-4得。(0,-a),

3

设直线AM的解析式为y=kx+a9

将M(2,a-4)代人丫=丘+〃中，得2k+〃=a-4,

解得k=-2,

直线AM的解析式为y=-2x+m

y=-2x+。x=­a

4

联立方程组得《2，解得《

y=-x-a一1

'：a<0,

...点O在第二象限，

又点A与点C关于原点对称，

•••AC是以P、A、C、。为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点。关于原点对称,

31

即「(一一a,-a)t

42

将点P(-a,—a)代入抛物线y=/-4x+a,解得”=一5或〃=0(舍去)，

56

.'.a----；

9

(3)存在,

理由如下：当。=-5时，y=/-4x-5=(x-2)2-9,此时M(2,-9),

令y=0,即(x-2)2-9=0,解得xi=-1,X2=5,

二点尸(-1,0)E(5,0),

:.EN=FN=3MN=9,

设点。(加，m2-4m-5),则G(加，0),

：.EG=\m-5\QG=\m2-4m-5|,

又RQEG与4MNE都是直角三角形，且NMNE=NQGE=90。，

如图所示，需分两种情况进行讨论：

EGEN31m-51

i）当-二一"二一时，即一;-------=—

QGMN9334m・53

解得m=2或"?=-4或m=5（舍去）；

当加=2时点。与点M重合，不符合题意，舍去,

当m=-4时，此时Q坐标为点0（-4,27）；

.当里二里二」即…一5」

EGMN93m-5

24

解得〃7=—一或〃?=——或"7=5（舍去），

33

2一217

当加=-§时，Q坐标为点。2（-§,）,

4419

当加=一§,。坐标为点Q（一—）,

2

综上所述，点。的坐标为（-4,27）或（一W

【名师点拨】

本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力

要求高，注意“分类讨论”、"数形结合''数学思想的应用.

8.（2015•四川绵阳市・中考真题）已知抛物线y=x2-2x+a（a#0）与y轴交于A,顶点为M,直线

y=—a分别与x轴、y轴交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点.

（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标：

（2）将ANAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于D,

连接CD.求a的值及△PCD的面积；

(3)在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2599

【答案】(1)ci>-----11.a^O,A(0,a),M(-1,1+a)；(2)a=—,S=—；(3)当点P为

324△2

5517

和(力，一石)时，A、C、P、N能构成平行四边形•

2828

【解析】

y=-x—2x+a

(1)把两个函数解析式联立组成方程组｛1,整理得2/+5元一4.=0，

y=-x-a

12

直线BC和抛物线有两个不同交点可得4>0,代入即可得a的取值范围；把x=0代入y=-x2-2x+a求得

y=a,即可得A(0,a)；把y=-x2-2x+a化为顶点式y=—(x+lf+l+a即可得M(-1,1+a)；

(2)设直线乂人为丫=10(+忙代入A(0,a),M(-1,1+a),即可求得直线MA的表达式，把直线MA的

表达式和直线y=。联立组成方程组求点N的坐标(用a表示)，点P和点N关于y轴对称，即可得

点P的坐标，把点P的坐标代入y=-x2-2x+a,通过解方程即可得a的值，由S,PCI)=SAPAC-SA/,4C即可求

得^PCD的面积；

(3)分两种情况，①当点P在y轴的左侧时，由四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点

P与N关于原点中心对称，根据点N的坐标求得点P的坐标，代入y=-x2-2x+a求a的值，即可求得P的坐

标；②当点P在y轴的右侧时，由四边形ACPN为平行四边形，则NP〃AC且NP=AC,根据点A、N、C

的坐标求点P的坐标，代入y=-xJ2x+a求a的值，即可求得P的坐标.

【详解】

y=-x2-2x+a

解：(1)由题意联立《1,

y=-x-a

12

整理得，2x2+5x-4tz=0

25

由△=25+32a>0,解得a>-----

32

25广

Va^O,：.a>——且a#)

32

令X=O,得丫=2,A(0,a)

由y———(x+1)-+1+a,

得M(-1,1+a)

1+。=—k+b

设直线MA为y=kx+b,代入A(0,a),M(-IJ+a)得，＜

a=h

k=_1

解得l,故直线MA为y=-x+a

b=a

4。

y=-x+ax=一

3“9/4。a

联立《1,解得，,所以N(—,一一)

y=-x-aa33

2y=一一

3

因P点是N点关丁,y轴的对称点，.二P(———),

a1678

代入y=-x--2x+a,得---=----H—。。，

’393

9

解得a=一或a=0(舍去)

4

99139

A(0,-)、C(0»---)、M(-1,—)、|AC|=一

4442

**,SAPCD=S.BCC-S^DAC=^\AC\\XI\-^\AC\.|XD|

199

=——(3-1)=-

222

①当点P在y轴的左侧时，由四边形APCN为平行四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关于原点

(0,0)中心对称,

4aa,,4«a

而N(—,——),故P(----,——).

3333

代入y=-x~-2x+a,得———----ci~H—a+a,

393

…15.55

解得a=—，••P(—,一).

828

②当点P在y轴的右侧时,由四边形ACPN为平行四边形，则NP〃AC且NP=AC,而NA

33

4a7。

(0,a)、C(0,-a),故P,----)

T3

1628

代入y32x+a,得-三CI--Q+Q,

~93

解得a13,5(17)

028

5517

.••当点p为(一二，彳)ai)时，A、C、P、N能构成平行四边形.

2828

【名师点拨】

本题考查一次函数、二次函数、三角形、四边形的综合题.

考查题型三函数与矩形、菱形、正方形相关问题

9.(2020・辽宁阜新市•中考真题)如图，二次函数y=d+/zx+c的图象交x轴于点A(—3,0),5(1,0),

交y轴于点C.点P(，40)是x轴上的一动点，轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图1.求线段的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存

在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(I)y=d+2x-3；(2)①②存在，2,(0,-3^-1),Q2(0,-1),Q3(0,372-1)

【解析】

(1)把4—3,0),8(1,0)代入,=%2+公+€?中求出忆＜:的值即可；

(2)①由点P(m,0)得+从而得MN=(-加一3)-(加？+2加一3),整

理，化为顶点式即可得到结论;

②分MN=MC和MC=近MN两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可.

【详解】

解:(1)把4—3,0),5(1,0)代入y=*2+匕X+C中，得

0=9-3b+c,

<

0=1+x+c.

〃=2,

解得

c=-3.

y=x2+2x—3.

(2)设直线AC的表达式为y=把A(—3,()),C((),—3)代入丁=履+"

f0=—3k4-k-—1,

得，《.,解这个方程组，得<0

[-3=h.[h=-3.

y=-x-3.

・.•点P(九0)是x轴上的一动点，且轴.

/.M(m,-m-3),TV(m,m2+2m-3).

...MN=(t%—3)—+2m-3)

=-nr—3m

(3丫9

=-m+—+—.

I2j4

Va=-l<0,

.••此函数有最大值.

3

又•.•点P在线段OA上运动，且一3<一-<0

2

39

二当机=—时，MN有最大值一.

24

②•.,点P(肛0)是x轴上的一动点，且轴.

+2m-3^.

MN=(-m-3)-(w2+2m-3)=-i?12—3m

(i)当以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC,如图,

,MC=，(m-0)2+(一以一3+3)2=VW

-nV-3m=42nf

整理得，m4+6m3+7m2=0

H0，

m2+6m+7=0，

解得，叫=—3+V2，mj=—3—y/2

...当m=_3+加时，CQ=MN=3V2-2-

AOQ=-3-(3&-2)=-372-1

.•.Q(0,-372-1)：

当m=-3-0时，CQ=MN=-372-2»

/.OQ=-3-(-3V2-2)=3A/2-1

，Q(0，3V2-1)：

3)若MC=6MN，如图，

则有t/_3m=\[2x《2府

整理得,m4+6m⑶+5m2=0

■:w0，

•*-m2+66+5=0，

解得，仍二-1,加2=-5

当m=-l时，MN=CQ=2,

・・・Q（0,-1）,

当m=・5时，MN=-10V0（不符合实际，舍去）

综上所述，点Q的坐标为2（0,—1反―1）,Q2（°，T），Q3（°，3^—1）

【名师点拨】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函

数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防

遗漏.

1,3

10.（2020•吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--V+加;+—与x轴正半轴交于点

22

A,且点A的坐标为（3,0）,过点A作垂直于左轴的直线/.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为

3

加，过点P作PQ，/于点Q；M是直线/上的一点，其纵坐标为一加+一，以PQ,QM为边作矩形

2

PQMN.

备用图

(1)求b的值.

(2)当点。与点M重合时，求加的值.

(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求加的值.

(4)当抛物线在矩形尸QMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出“的取值范围.

【答案】(1)。=1；(2)g=0,，%=4；(3)”?=_疗+1；(4)0＜加＜3或机＞4.

【解析】

(1)将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；

(2)分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解

即可；

(3)分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形PQWN是正方形时PQ=MQ,即可求得m的值，再根据

顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；

(4)分〃?£1,1＜加＜3,m=3,/篦＞3四种情况讨论，结合图形解析即可.

【详解】

13

解：(1)将点A(3,0)代入丁=一5炉+加+5

13

得0=—x3~+3bH—，

22

解得b=l,；

13

(2)由(1)可得函数的解析式为y=—QM9+x+j,

I22

VPQLl于点Q,

Q\3,—ITI~—

I22

3

•••〃是直线/上的一点，其纵坐标为一m+一,

2

3

M(3,—m+—))

若点Q与点M重合,则

133

——m~2+m+—=-m+—，

222

解得町=0,m2=4；

(3)由(2)可得尸Q=13-m\,MQ=\(--1)-(-+m+|-)|=Im2-2m\,

山।矩形PQMN是正方形时，PQ=MQ

1

即|一〃z7--2zn|=|3-m\,

2

n

3

m-

-2