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文档简介
专题48函数与图形类相关问题
【考查题型】
考查题型一函数与等腰三角形相关问题
1.(2018•辽宁阜新市•中考真题)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,
0),交y轴于点C.
(I)求这个二次函数的表达式;
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求ABCP面积的最大值;
(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值.
【答案】(1)这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3;(2)SABCP触大=彳:(3)当△BMN是等腰三角形
O
时,m的值为0,-0,1,2.
【解析】
详解:(1)将A(1,0),B(3,0)代入函数解析式,得
。+。+3=0,
9a+3b+3=0解"Q-4'
这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3;
(2)当x=0时,y=3,即点C(0,3),
设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式,得
3k+b=0k=—1
解这个方程组,得.
b=0h=3
直线BC的解析是为y=-x+3,
过点P作PE〃y轴
交直线BC于点E(t,-t+3),
PE=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,
13327
2
SABCP-SABPE+SCPE——(-t+3t)x3=---(t--)2H--------,
2228
3327
V--<0,当t=一时,SABCP■
22
(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)
MN=m2-3m,BM=y/2|m-3|,
当MN=BM时,①012-3[11=及(m-3),解得m=④,
②m2-3m=-0(m-3),解得m=-&
当BN=MN时,ZNBM=ZBMN=45°,
m2-4m+3=0,解得m=l或m=3(舍)
当BM=BN时.,ZBMN=ZBNM=45°,
-(m2-4m+3)=-m+3,解得m=2或m=3(舍),
当△BMN是等腰三角形时,m的值为正,-正,1,2.
2.(2020.山东济南市.中考真题)如图1,抛物线y=-N+bx+c过点A(-1,0),点8(3,0)与y轴
交于点C.在x轴上有一动点0)(0<加<3),过点E作直线Ux轴,交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式及C点坐标;
(2)当〃?=1时,力是直线/上的点且在第一象限内,若△AC£>是以NOC4为底角的等腰三角形,求点
D的坐标;
(3)如图2,连接并延长交y轴于点M连接AM,OM,设AA£M的面积为Si,△MON的面积为
【答案】⑴y=-V+2x+3,C(0,3);(2)(1,1)或(1,指);⑶77-2
【详解】
-l-b+c=O
解:(1)将点4、8的坐标代入抛物线表达式得《八>八,
-9+3b+c=0
b=2
解得《
c=3
故抛物线的表达式为y=-/+21+3,
当x=0时,y=3,故点C(0,3);
(2)当〃?=1时,点E(l,0),设点。的坐标为(1,a),
由点A、C、。的坐标得,AC=^(0+l)2+(3-0)2=V10.
同理可得:AD=Ja?+4,CD=Jl+(a-3)-,
①当CD=4O时,即Ja?+4=Jl+(a-3)2,解得。=1;
②当AC=AD时,同理可得。=±#(舍去负值);
故点D的坐标为(1,1)或(1,76);
(3)•:E(m,0),则设点-m2+2m+3\
-m2+2m+3=sm+t
设直线BM的表达式为y=sx+r,则〈
0=3s+t
1
s=--------
解得:〈m+1
3
t=------
m+1
13
故直线BM的表达式为y=-----x+—,
m+1m+1
333
当x=0时,y=^—,故点N(0,),则。N=^—;
m+1m+1m+1
2
5i=-xAExyM=-x(m+1)x(-m+2m+3)9
22
31
2s2=ON*XM=---xm=Si=x(6+1)x(-m2+2m+3),
m+12
解得m=-2±yfj(舍去负值),
经检验-2是方程的根,
故m=y/l~2.
3.(2020.广西中考真题)如图,已知抛物线y=a(x+6)(x-2)过点C(0,2),交x轴于点A和点B
(点A在点8的左侧),抛物线的顶点为。,对称轴DE交x轴于点E,连接EC.
(1)直接写出。的值,点A的坐标和抛物线对称轴的表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴OE上的点,当△MCE是等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)点P是抛物线上的动点,连接尸C,PE,将APCE沿CE所在的直线对折,点P落在坐标平面内的点
P'处.求当点P'恰好落在直线AC上时点P的横坐标.
【答案】(1)a=--,A(-6,0),宜线x=-2;(2)(-2,2)或(-2,4)或(-2,272)或(-
6
2,-2&);⑶T3+师
2
【详解】(1),••抛物线y=a(x+6)(x-2)过点C(0,2),
:.2=a(0+6)(0-2),
.1
・・4=—一,
6
11Q
••抛物线的解析式为y=--(x+6)(x-2)=--(x+2)2+—,
663
・・・抛物线的对称轴为直线冗=-2;
(2)如图1,由(1)知,抛物线的对称轴为工=-2,
:.E(-2,0),
VC(0,2),
:.OC=OE=2,
:.CE=y/2OC=2y[2ZCED=45°,
是等腰三角形,
・・・①当ME=MC时,
:.ZECM=ZCED=45°f
:.NCME=90。,
:.M(-2,2),
②当CE=CM时,
.\MM]=CM=2,
:.EMi=4f
/.Mi(-2,4),
③当时,
:,EM?=EM3=2近,
・・・区(-2,-272),%(-2,272),
即满足条件的点M的坐标为(-2,-2)或(-2,4)或(-2,272)或(-2,-272);
(3)如图如
Q
由(1)知,抛物线的解析式为y=-2(x+6)(x-2)=-
(x+2)—,
663
8
:.D(-2,-),
3
令y=0,贝ij(x+6)(x-2)=0,
Ax=-6或x=2,
・•・点A(-6,0),
2
・,・直线AD的解析式为y=§工+4,
过点尸作尸Q-Lx轴于。,过点P作于
;・NEQ'P=NEQP=90。,
由(2)知,ZCED=ZCEB=45°,
由折叠知,EP'=EP,/CEP=NCEP,
・•・△尸QEg△P'Q£(AAS)f
,PQ=PQ,EQ=EQ;
设点P(加,〃),
AOQ=m,PQ=n,
:.P'Q=n,EQ=QE=m+29
.••点P(〃-2,2+m),
♦.•点P在直线AO上,
2
2+m=—(〃-2)+4①,
3
・・,点尸在抛物线上,
・"=-—(加+6)(〃?-2)②,
_i3_y^T(舍)或,-T3+同
联立①②解得,
22
即点P的横坐标为二13拽石
2
264
4.(2020•湖南岳阳市•中考真题)如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线1:y=a(x-g)2+w与工
轴交于点A(—•!,())和点3,与y轴交于点c.
(1)求抛物线G的表达式;
(2)如图2,将抛物线G先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线心,若抛物线片与抛
物线B相交于点。,连接BD,CD,BC.
①求点。的坐标;
②判断ABCD的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,抛物线尸2上是否存在点尸,使得△友力为等腰直角三角形,若存在,求出点P
的坐标;若不存在,请说明理由.
54
【答案】(1)y=-x2+-x+4;(2)①点。的坐标。(一1,1);②ABCD是等腰直角三角形,理由见解
33
析;(3)尸(一2,-2)或P(l,-3).
【详解】(D将点A(—*0)代入抛物线月的表达式得:«(-|-|)2+j|=0
解得a=_』
3
5264s4
则抛物线F\的表达式为y=—(%—)~H---——X2H—x+4
351533
54
故抛物线耳的表达式为y=-j必+5x+4:
5?64
(2)①由二次函数的平移规律得:抛物线尸2的表达式为丁=一不(X-1+1)2+百一3
:―+12
3515
联立《,解得《
52c2
——x~-2x+—
33
则点。的坐标为。(-LD;
「、…5/2、2645,44
②对于y-——(x——)+——-——x+—X+4-
351533
"ly=O时,——(x——)2+=0,解得工=2或兀=-~~
则点B的坐标为8(2,0)
54
当尤=0时,y=—X02+-X0+4=4,则点C的坐标为C(0,4)
33
由两点之间的距离公式得:BC=,(2-0>+(0-4)2=2逐
BD=7(2+1)2+(0-1)2=而
CD=7(0+1)2+(4-1)2=Vio
则80=CD,BD~+CD2=BC2
故△6QD是等腰直角三角形;
5319s2
(3)抛物线F的表达式为y=--(x+-)2+—=--X2-2%+-
2351533
设点P的坐标为P(m,n)
由题意,分以下三种情况:
①当/尸。5=90。,即=5。时,△即尸为等腰直角三角形
•.•△BCD是等腰直角三角形,Z5DC=90°,BD=CD
PD=CD
•••点D是CP的中点
0+m
---2--二]m=-2c
则,解得《-
4+〃n--2
-------=1i
I2
即点P的坐标为尸(—2,—2)
52
2
对于抛物线F2的表达式y=--X-2X+-
当x=-2时,y=—gx(—2)2—2x(—2)+g=—2
即点P(-2,-2)在抛物线F2上,符合题意
②当NPBD=90°,PB=BD时,4BDP为等腰直角二角形
•.•ZBDC=90。,BD=CD
:.CD//PB,PB=CD
四边形BCDP是平行四边形
•••点C至点B的平移方式与点D至点P的平移方式相同
•.•C(0,4),B(2,0)
•••点C至点B的平移方式为先向下平移4个单位长度,再向右平移2个单位长度
•.•力(-1,1),P(m,n)
fm=-l+2=l
n=1-4=-3
即点P的坐标为P(L—3)
52
对于抛物线B的表达式y=--x2-2x+-
5,2
当x=l时,y=—xl_-2xl+—=-3
33
即点尸(1,一3)在抛物线名上,符合题意
③当NBPD=90。,依=时,ABDP为等腰直角三角形
则点P在线段BD的垂直平分线上
设直线BD的解析式y=^+人
2k+b=Q卜_
将点8(2,0),。(一1,1)代入得:\,,解得《「
-k+b=\,2
ib--
I3
]2
则直线BD的解析式y=——x+—
设BD的垂线平分线所在直线的解析式为y=3x+c
点B(2,0),。(—1,1)的中点的坐标为(?,等),即(;,1)
1131
将点(2,/)代入y=3x+c得:2+C=2'解得c=—1
则BD的垂线平分线所在宜线的解析式为y=3x-1
因此有3加一1=〃,即点P的坐标为—
由两点之间的距离公式得:PB=7(m-2)2+(3/n-l-0)2=VlO/w2-10m+5
乂YBDUM,为等腰直角三角形
PB=^BD=y[5
2
则Jl()加2—10加+5=石
解得机=0或m=1
当根=0时,3加一1=3x0—1=—1,即点P的坐标为口0,-1)
当帆=1时,3m-l=3xl-l=2,即点P的坐标为P(L2)
52
对于抛物线尸2的表达式y=-^x2-2x+-
522
当X=0时,y=--x02-2x0+-=-
333
即点尸(0,-1)不在抛物线鸟上,不符合题意,舍去
当x=l时,y=--xl2-2xl+—=-3
33
即点P(l,2)不在抛物线F2上,不符合题意,舍去
综上,符合条件的点P的坐标为尸(-2,-2)或P(l,-3).
考查题型二函数与平行四边形相关问题
13
5.(2018•湖南益阳市♦中考真题)如图,已知抛物线?二万/一1》一〃(〃>o)与X轴交于A,B两点
(A点在B点的左边),与V轴交于点C。
(1)如图1,若△ABC为直角三角形,求”的值;
(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点
B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;
(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴交于点E,若AE:ED=1:4,
求”的值.
【答案】⑴>=卜2-,-2;(2)点P的坐标为(?,?),(一,,卜),(!■,-?);(3)乡.
222828288
【详解】(1)若△ABC为直角三角形
.,.△AOC^ACOB
.,.OC2=AO«OB
,i1,3
当y=0时,0=-x2--x-n
22
由一元二次方程根与系数关系
-OA«OB=OC2
-n
n2=1=-2n
2
解得n=0(舍去)或n=2
1,3
.•.抛物线解析式为y=y=-x2-1x-2;
13
(2)由(1)当一炉9一一工一2二0时
22
解得X2=4
AOA=1,0B=4
AB(4,0),C(0,-2)
_3
h93
•.•抛物线对称轴为直线x=--=——・=—
2a2xl2
2
3
,设点Q坐标为(一,b)
2
由平行四边形性质可知
当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(U,b+2)
2
13
代入y=-x2・—x・2
22
231139
解得b=1,则p点坐标为(丁,F)
828
当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为b-2)
2
13
代入y=-X2--x-2
22
55539
解得b二一,则P坐标为(―,—)
828
1139539
综上点P坐标为(一,—),(―,—);
2828
(3)设点D坐标为(a,b)
VAE:ED=1:4
贝|JOE=L,O\=-a
54
•;AD〃AB
AAAEO^ABCO
VOC=n
.OB_OA
'~OC~~OE
5an
OB=-----
4b
_c_-n_1San
由一元二次方程根与系数关系得,X'X2=^=~=~4a*7b
2
・h5、
•.b=—屋
32
|513
将点A(-—0),D(a,—“2)代入y=一父■--x-n
432'22
八_1、,1、2301
Q-----—ci)—?—a—n
2424
2」2
——5a=—a—3a—n
【3222
解得a=6或a=0(舍去)
,27
则n=一.
8
【名师点拨】
本题是代数几何综合题,考查了二次函数图象性质、元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四
边形的性质,解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想.
6.(2017•辽宁大连市•中考真题)如图,在平面直角坐标系镇瞰中,双曲线般=:经过口4疑淘的顶点
笳
氨®!.点部的坐标为侬嚣,点激在整轴上,且/©濠需轴,健牌-=需.
(1)填空:点热的坐标为
【解析】
试题解析:(1)由D得坐标以及点A在y轴上,且AD〃x轴即可求得;
(2)由平行四边形得面积求得AE得长,即可求得0E得长,得到B得纵坐标,代入反比例函数得解析式
求得B得坐标,然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式.
试题解析:(1)•••点D的坐标为(2,I),点A在y轴上,且AD〃x轴,
.♦.A(0,1);故答案为(0,1);
(2):双曲线涉=壁经过点D(2,I),;.k=2x|=2,...双曲线为?=3,
•标幅
VD(2,1),AD〃x轴,;.AD=2,;S=ABCD=5,.*.AE=^,
.♦.OE=1,'B点纵坐标为
把y=T代入源4得,,解得x=g.••B(gT),
遇%国.以ajtis
设直线AB得解析式为y=ax+b,
回他但』,一更:
代入A(0,1),B(-5,弓)得:,题”号;,解得,厨”,
号.M--a?i5=--L..,
L鸯秘g=兀s
AAB所在直线的解析式为解=季;讯
考点:待定系数法求反比例函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;反比例函数系数k的几何意义;
平行四边形的性质.
7.(2020•柳州市中考真题)如图①,在平面直角坐标系X。),中,批物线y=/-4x+a(«<0)与y轴交于
2
点A,与x轴交于E、下两点(点E在点F的右侧),顶点为M.直线y=与x轴、y轴分别交于
B、C两点,与直线AM交于点D
(1)求抛物线的对称轴;
(2)在),轴右侧的抛物线上存在点P,使得以P、A、C、。为顶点的四边形是平行四边形,求a的值;
(3)如图②,过抛物线顶点M作MNLx轴于N,连接ME,点Q为抛物线上任意一点,过点Q作
QGJ_x轴于G,连接QE.当a=-5时,是否存在点。,使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似
(不含全等)?若存在,求出点。的坐标;若不存在,请说明理由.
图①图②
56217
【答案】(1)直线x=2;(2)(3)存在,点。的坐标为(-4,27)或(一§,--)或
419
(-------,—).
39
【解析】
(1)y—x1-4x+a=(x-2)2+a-4,即可求解:
31
(2)求出直线AM的解析式为y=-2x+a,联立方程组可解得点。的坐标(一〃,--«):AC是以/>、
42
31
A、C、。为顶点的平行四边形的对角线,则点P与点。关于原点对称,即P(一”,--a),将点P(-
42
31
—a,—a)代入抛物线-4x+a,即可求解;
42
EGEN31
(3)分==—=———=---=-二一两利」情况,分别求解即可.
QGMN93EGMN93
【详解】
解:(1)*.'y=x2-4x+a=(x-2)2+a-4,
・・・抛物线的对称轴为直线x=2;
(2)由y=(x-2)2+a-4W:A(0,a),M(2,a-4),
2
由y=-x-4得。(0,-a),
3
设直线AM的解析式为y=kx+a9
将M(2,a-4)代人丫=丘+〃中,得2k+〃=a-4,
解得k=-2,
直线AM的解析式为y=-2x+m
y=-2x+。x=a
4
联立方程组得《2,解得《
y=-x-a一1
':a<0,
...点O在第二象限,
又点A与点C关于原点对称,
•••AC是以P、A、C、。为顶点的平行四边形的对角线,则点P与点。关于原点对称,
31
即「(一一a,-a)t
42
将点P(-a,—a)代入抛物线y=/-4x+a,解得”=一5或〃=0(舍去),
56
.'.a----;
9
(3)存在,
理由如下:当。=-5时,y=/-4x-5=(x-2)2-9,此时M(2,-9),
令y=0,即(x-2)2-9=0,解得xi=-1,X2=5,
二点尸(-1,0)E(5,0),
:.EN=FN=3MN=9,
设点。(加,m2-4m-5),则G(加,0),
:.EG=\m-5\QG=\m2-4m-5|,
又RQEG与4MNE都是直角三角形,且NMNE=NQGE=90。,
如图所示,需分两种情况进行讨论:
EGEN31m-51
i)当-二一"二一时,即一;-------=—
QGMN9334m・53
解得m=2或"?=-4或m=5(舍去);
当加=2时点。与点M重合,不符合题意,舍去,
当m=-4时,此时Q坐标为点0(-4,27);
.当里二里二」即…一5」
EGMN93m-5
24
解得〃7=—一或〃?=——或"7=5(舍去),
33
2一217
当加=-§时,Q坐标为点。2(-§,),
4419
当加=一§,。坐标为点Q(一—),
2
综上所述,点。的坐标为(-4,27)或(一W
【名师点拨】
本题考查二次函数的图象和性质,平行四边形的性质和判断,相似三角形的判断和性质,综合性强,能力
要求高,注意“分类讨论”、"数形结合''数学思想的应用.
8.(2015•四川绵阳市・中考真题)已知抛物线y=x2-2x+a(a#0)与y轴交于A,顶点为M,直线
y=—a分别与x轴、y轴交于B、C两点,并且与直线MA相交于N点.
(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点,求a的取值范围,并用a表示交点M、A的坐标:
(2)将ANAC沿着y轴翻折,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相交于D,
连接CD.求a的值及△PCD的面积;
(3)在抛物线y=-x2-2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2599
【答案】(1)ci>-----11.a^O,A(0,a),M(-1,1+a);(2)a=—,S=—;(3)当点P为
324△2
5517
和(力,一石)时,A、C、P、N能构成平行四边形•
2828
【解析】
y=-x—2x+a
(1)把两个函数解析式联立组成方程组{1,整理得2/+5元一4.=0,
y=-x-a
12
直线BC和抛物线有两个不同交点可得4>0,代入即可得a的取值范围;把x=0代入y=-x2-2x+a求得
y=a,即可得A(0,a);把y=-x2-2x+a化为顶点式y=—(x+lf+l+a即可得M(-1,1+a);
(2)设直线乂人为丫=10(+忙代入A(0,a),M(-1,1+a),即可求得直线MA的表达式,把直线MA的
表达式和直线y=。联立组成方程组求点N的坐标(用a表示),点P和点N关于y轴对称,即可得
点P的坐标,把点P的坐标代入y=-x2-2x+a,通过解方程即可得a的值,由S,PCI)=SAPAC-SA/,4C即可求
得^PCD的面积;
(3)分两种情况,①当点P在y轴的左侧时,由四边形APCN为平行四边形,则AC与PN相互平分,点
P与N关于原点中心对称,根据点N的坐标求得点P的坐标,代入y=-x2-2x+a求a的值,即可求得P的坐
标;②当点P在y轴的右侧时,由四边形ACPN为平行四边形,则NP〃AC且NP=AC,根据点A、N、C
的坐标求点P的坐标,代入y=-xJ2x+a求a的值,即可求得P的坐标.
【详解】
y=-x2-2x+a
解:(1)由题意联立《1,
y=-x-a
12
整理得,2x2+5x-4tz=0
25
由△=25+32a>0,解得a>-----
32
25广
Va^O,:.a>——且a#)
32
令X=O,得丫=2,A(0,a)
由y———(x+1)-+1+a,
得M(-1,1+a)
1+。=—k+b
设直线MA为y=kx+b,代入A(0,a),M(-IJ+a)得,<
a=h
k=_1
解得l,故直线MA为y=-x+a
b=a
4。
y=-x+ax=一
3“9/4。a
联立《1,解得,,所以N(—,一一)
y=-x-aa33
2y=一一
3
因P点是N点关丁,y轴的对称点,.二P(———),
a1678
代入y=-x--2x+a,得---=----H—。。,
’393
9
解得a=一或a=0(舍去)
4
99139
A(0,-)、C(0»---)、M(-1,—)、|AC|=一
4442
**,SAPCD=S.BCC-S^DAC=^\AC\\XI\-^\AC\.|XD|
199
=——(3-1)=-
222
①当点P在y轴的左侧时,由四边形APCN为平行四边形,则AC与PN相互平分,点P与N关于原点
(0,0)中心对称,
4aa,,4«a
而N(—,——),故P(----,——).
3333
代入y=-x~-2x+a,得———----ci~H—a+a,
393
…15.55
解得a=—,••P(—,一).
828
②当点P在y轴的右侧时,由四边形ACPN为平行四边形,则NP〃AC且NP=AC,而NA
33
4a7。
(0,a)、C(0,-a),故P,----)
T3
1628
代入y32x+a,得-三CI--Q+Q,
~93
解得a13,5(17)
028
5517
.••当点p为(一二,彳)ai)时,A、C、P、N能构成平行四边形.
2828
【名师点拨】
本题考查一次函数、二次函数、三角形、四边形的综合题.
考查题型三函数与矩形、菱形、正方形相关问题
9.(2020・辽宁阜新市•中考真题)如图,二次函数y=d+/zx+c的图象交x轴于点A(—3,0),5(1,0),
交y轴于点C.点P(,40)是x轴上的一动点,轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)①若点P仅在线段AO上运动,如图1.求线段的最大值;
②若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存
在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)y=d+2x-3;(2)①②存在,2,(0,-3^-1),Q2(0,-1),Q3(0,372-1)
【解析】
(1)把4—3,0),8(1,0)代入,=%2+公+€?中求出忆<:的值即可;
(2)①由点P(m,0)得+从而得MN=(-加一3)-(加?+2加一3),整
理,化为顶点式即可得到结论;
②分MN=MC和MC=近MN两种情况,根据菱形的性质得到关于m的方程,求解即可.
【详解】
解:(1)把4—3,0),5(1,0)代入y=*2+匕X+C中,得
0=9-3b+c,
<
0=1+x+c.
〃=2,
解得
c=-3.
y=x2+2x—3.
(2)设直线AC的表达式为y=把A(—3,()),C((),—3)代入丁=履+"
f0=—3k4-k-—1,
得,《.,解这个方程组,得<0
[-3=h.[h=-3.
y=-x-3.
・.•点P(九0)是x轴上的一动点,且轴.
/.M(m,-m-3),TV(m,m2+2m-3).
...MN=(t%—3)—+2m-3)
=-nr—3m
(3丫9
=-m+—+—.
I2j4
Va=-l<0,
.••此函数有最大值.
3
又•.•点P在线段OA上运动,且一3<一-<0
2
39
二当机=—时,MN有最大值一.
24
②•.,点P(肛0)是x轴上的一动点,且轴.
+2m-3^.
MN=(-m-3)-(w2+2m-3)=-i?12—3m
(i)当以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形,则有MN=MC,如图,
,MC=,(m-0)2+(一以一3+3)2=VW
-nV-3m=42nf
整理得,m4+6m3+7m2=0
H0,
m2+6m+7=0,
解得,叫=—3+V2,mj=—3—y/2
...当m=_3+加时,CQ=MN=3V2-2-
AOQ=-3-(3&-2)=-372-1
.•.Q(0,-372-1):
当m=-3-0时,CQ=MN=-372-2»
/.OQ=-3-(-3V2-2)=3A/2-1
,Q(0,3V2-1):
3)若MC=6MN,如图,
则有t/_3m=\[2x《2府
整理得,m4+6m⑶+5m2=0
■:w0,
•*-m2+66+5=0,
解得,仍二-1,加2=-5
当m=-l时,MN=CQ=2,
・・・Q(0,-1),
当m=・5时,MN=-10V0(不符合实际,舍去)
综上所述,点Q的坐标为2(0,—1反―1),Q2(°,T),Q3(°,3^—1)
【名师点拨】
本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法;解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函
数,又利用了二次函数的性质,解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程,要分类讨论,以防
遗漏.
1,3
10.(2020•吉林中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=--V+加;+—与x轴正半轴交于点
22
A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于左轴的直线/.P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为
3
加,过点P作PQ,/于点Q;M是直线/上的一点,其纵坐标为一加+一,以PQ,QM为边作矩形
2
PQMN.
备用图
(1)求b的值.
(2)当点。与点M重合时,求加的值.
(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求加的值.
(4)当抛物线在矩形尸QMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出“的取值范围.
【答案】(1)。=1;(2)g=0,,%=4;(3)”?=_疗+1;(4)0<加<3或机>4.
【解析】
(1)将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值;
(2)分别表示出P、Q、M的坐标,根据Q、M的横坐标相同,它们重合时纵坐标也相同,列出方程求解
即可;
(3)分别表示出PQ和MQ的长度,根据矩形PQWN是正方形时PQ=MQ,即可求得m的值,再根据
顶点在正方形内部,排除不符合条件的m的值;
(4)分〃?£1,1<加<3,m=3,/篦>3四种情况讨论,结合图形解析即可.
【详解】
13
解:(1)将点A(3,0)代入丁=一5炉+加+5
13
得0=—x3~+3bH—,
22
解得b=l,;
13
(2)由(1)可得函数的解析式为y=—QM9+x+j,
I22
VPQLl于点Q,
Q\3,—ITI~—
I22
3
•••〃是直线/上的一点,其纵坐标为一m+一,
2
3
M(3,—m+—))
若点Q与点M重合,则
133
——m~2+m+—=-m+—,
222
解得町=0,m2=4;
(3)由(2)可得尸Q=13-m\,MQ=\(--1)-(-+m+|-)|=Im2-2m\,
山।矩形PQMN是正方形时,PQ=MQ
1
即|一〃z7--2zn|=|3-m\,
2
n
3
m-
-2
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