广东省深圳市教苑中学高三数学理知识点试题含解析

广东省深圳市教苑中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足，则（

）A．1

B．

C．2

D．参考答案：B试题分析：，故.考点：复数的模．2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．3.已知圆O：，圆C：，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A4.已知点P是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，I为△的内心，若成立，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A

正方体对角线截面，且球心到截面的距离为球半径，截面圆半径截面圆面积5.在△ABC中，,AD为BC边上的高，E为AD的中点。那么（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】以点D为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，写出点A、E、C的坐标，即可得到本题答案.【详解】由题，得.以点D为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的综合问题，建立平面直角坐标系是解决本题的关键.6.(

)

A.

B．

C．

D．参考答案：D7.已知复数在复平面上对应的点为

A，B，D，四边形ABCD是平行四边形，则点C对应的复数为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知函数f（x）=，则f（f（2））等于（）A． B．2 C．﹣1 D．1参考答案：A【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】先由解析式求得f（2），再求f（f（2））．【解答】解：f（2）=，f（﹣1）=2﹣1=，所以f（f（2））=f（﹣1）=，故选A．9.命题“存在，使得”的否定是

（

）A．不存在，使得”

B．存在，使得”C．对任意的，有0

D．对任意的，使得参考答案：D特称命题的否定式全称命题，所以选D.10.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算：参考答案：略12.已知数列{an}的前n项和Sn=－ban+1－，其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若Sn存在，则Sn=

.参考答案：答案：113.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为

参考答案：14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h==2，故棱锥的体积V==，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．15.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

；表面积是

．参考答案：16.方程在区间内的所有实根之和为

.（符号表示不超过的最大整数）。参考答案：217.等比数列的前项的和为，若，则=__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋b的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1上是增函数，求实数λ的取值范围．参考答案：(1)由题意知：a＝1，b＝0，∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图像上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点Q(x0，y0)在y＝f(x)的图像上，∴－y＝x2－2x.∴y＝－x2＋2x.∴g(x)＝－x2＋2x.(2)F(x)＝－x2＋2x－λ(x2＋2x)＝－(1＋λ)x2＋2(1－λ)x，∵F(x)在(－1,1上是增函数且连续，F′(x)＝－2(1＋λ)x＋2(1－λ)≥0恒成立，即λ≤＝－1在(－1,1上恒成立，由－1在(－1,1上为减函数，当x＝1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是(－∞，0．19.问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为

；探索：（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．参考答案：（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6.【分析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC（2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可.【详解】解：(1)BC＝DC＋EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD．(2)BD2＋CD2＝2AD2.证明如下：连接CE，如解图1所示．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°.∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°，∴△EAD是等腰直角三角形，∴DE＝AD，∠AED＝45°.∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°.在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，∴2AD2＝BD2－CD2.∵BD＝9，CD＝3，∴2AD2＝92－32＝72，∴AD＝6(负值已舍去)．【点睛】此题主要考查全等三角形的性质及判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及勾股定理的应用.20.(本小题满分13分)如图，直三棱柱，，AA′=1，点分别为和的中点。

(Ⅰ)证明：∥平面;

(Ⅱ)求三棱锥的体积。参考答案：（1）（法一）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面

平面，因此

……6分（法二）取的中点为P，连结MP，NP，∵分别为和的中点，

∴MP∥,NP∥,∴MP∥面,NP∥面,

∵,

∴面MPN∥面，∵MN面，

∴MN∥面.(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,∴⊥⊥面NBC，

∵==1,

∴.(解法2)21.已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．（I）当a=﹣1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，且AB的中点为C（x0，0），求证：f′（x0）＜0．参考答案：考点：函数的单调性与导数的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；综合题；转化思想．分析：（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出；（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论．解答： 解：（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2﹣bx∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x﹣b≥0对x∈（0，+∞）恒成立即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤∵x＞0，∴+2x≥2当且仅当x=时取“=”，∴b≤2，∴b的取值范围为（﹣∞，2]；（II）证明：由已知得，即，两式相减，得：?，由f′（x）=﹣2ax﹣b及2x0=x1+x2，得f′（x0）=﹣2ax0﹣b===，令t=∈（0，1），且φ（t）=，∵φ′（t）=，∴φ（t）是（0，1）上的减函数，∴φ（t）＞φ（1）=0，又x1＜x2，∴f'（x0）＜0．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了转化与划归的思想，分析问题解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣，g（x）=ex﹣e（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值．（Ⅱ）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求出两个函数的导函数，求得它们在x=0处的导数值，由导数值乘积等于﹣1求得a值；（Ⅱ）函数g（x）=ex﹣e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，求出f（x）的导函数，当a≤0时，由导数f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；然后分类讨论判断当a＞0时f（x）的极值点的情况得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=﹣3x2+a，g′（x）=ex，则f′（0）=a，g′（0）=1，则a=﹣1；（Ⅱ）函数g（x）=ex﹣e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，又f′（x）=﹣3x2+a，①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在实数集上单调递减，且过点（0，﹣），f（﹣1）=，即f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；②当a＞0时，令f′（x）=0，得两根，，则是函数f（x）的一个极小值点，是f（x）的一个极大值点．而f（﹣）=﹣