湖南省衡阳市茶山中学高三数学理月考试题含解析

湖南省衡阳市茶山中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．

B．2

C．

D．参考答案：D2.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心C在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为(

) A．[0，] B．（0，） C．（1，3） D．[1，3]参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心C的坐标，表示出圆的方程，进而根据|MA|=2|MO|，设出M，利用等式关系整理求得M的轨迹方程，进而判断出点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．进而确定不等式关系求得a的范围．解答： 解：因为圆C的圆心在直线y=2x﹣4上，所以设圆心C为（a，2a﹣4），则圆C的方程为：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设M为（x，y），则可得：x2+（y+1）2=4，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点．则|2﹣1|≤≤|2+1|．由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R．由5a2﹣12a≤0得0≤a≤．所以圆心C的横坐标的取值范围为[0，]．故选：A．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．3.某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A．1860

B．1320 C．1140 D．1020参考答案：C4.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(，)，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（） A． B．C．D．1参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性． 【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可． 【解答】解：由图知，T=2×=π， ∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+?） ∵，所以?=， ∴，， 所以． 故选C． 【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力． 5.在等差数列中，若，为方程的两根，则()A．10

B．15

C．20

D．40参考答案：B略6.若复数，则复数对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C因为复数，所以，对应点坐标为(,)，由此复数对应的点在第三象限，故选C.

7.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：A令，解得.对求导，得+2x?1+cosx，令，解得，故切线方程为.选A.8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且，，则△ABC外接圆的面积为（

）A．

B． C.

D．参考答案：D在中，由余弦定理，得，既有，又由面积公式，得，即有，又，所以，所以.因为，所以，又由正弦定理，得，其中为外接圆的半径，由及，得，所以外接圆的面积.故选D.9.已知正数x,y满足，则的最小值为(

)

(A)1

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.已知函数，则下列关于函数（）的零点个数的判断正确的是(

)A．当时，有个零点；当时，有个零点

B．当时，有个零点；当时，有个零点

C．无论为何值，均有个零点

D．无论为何值，均有个零点参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数，则________.参考答案：略12.的二项展开式中的第四项的系数为

参考答案：－2013.已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为

．参考答案：4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答： 解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+==≥=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．14.若对于曲线（e为自然数对数的底数）的任意切线l1，总存在曲线的切线，使得，则实数a的取值范围为

．参考答案：15.已知椭圆与双曲线有公共的左、右焦点F1,F2,它们在第一象限交于点P,其离心率分别为,以F1,F2为直径的圆恰好过点P,则

.参考答案：216.多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为cm2．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，进而可得答案．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：．17.的展开式的常数项是

（用数字作答）参考答案：－20解析：，令，得

故展开式的常数项为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的最小值与最大值．参考答案：(1)．因此，函数的最小正周期为．(2)由题易知在区间上是减函数，在区间上是增函数，又，，，所以，函数在区间上的最大值为3，最小值为．略19.（13分）已知等比数列{an}满足a3﹣a1=3，a1+a2=3．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an2+1，求数列{bn}的前n项和公式．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q，由a3﹣a1=3，a1+a2=3．可得，即可解得；（II）由（I）可得，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由a3﹣a1=3得，由a1+a2=3得a1（1+q）=3，（*）（q≠﹣1），两式作比可得q﹣1=1，∴q=2，把q=2代入解得a1=1，∴．（II）由（I）可得，可知数列{4n﹣1}是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．20.（本小题满分12分）直三棱柱中，，，点D在线段AB上.（I）若平面，确定D点的位置并证明；（II）当时，求二面角的余弦值.参考答案：

所以AC1∥平面B1CD．

………4分（Ⅱ）由，得AC⊥BC，以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．

则B(6,0,0)，A(0,8,0)，A1(0,8,8)，B1(6,0,8)．设D(a,b,0)（，），…5分因为点D在线段AB上，且，即．所以．…7分所以，． 平面BCD的法向量为．设平面B1CD的法向量为，由，，得，所以，．

…10分

设二面角的大小为，．所以二面角的余弦值为．……………12分21.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）（2）若点P是曲线C3上一动点，求点P到曲线C1的最短距离．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接根据参数方程和普通方程互化公式进行处理、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式进行化简即可；（2）首先，求解圆心到直线的距离，然后，该距离去掉半径即为所求．【解答】解：根据曲线C1的参数方程为（t为参数，t≠0），得y=，∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，∴x2+y2=2y，联立方程组，∴或，它们图象的交点为：（0，0），（，），对应的极坐标为（0，0），（，），（2）曲线C3的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+8=0，对应的直角坐标方程为：x2+y2﹣6x+8=0，∴（x﹣3）2+y2=1，故圆心为（3，0），半径为r=1，圆心（3，0）到直线y=x的距离为d=，∴点P到曲线C1的最短距离．【点评】本题重点考查了极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化公式等知识，属于中档题．22.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，平面平面ABCD，，点E，F分别为PD，AB上的一点，且，．(1)求证：平面；(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)作辅助线FG，点G在PC