江苏省南京市竹山中学高三数学理模拟试卷含解析

江苏省南京市竹山中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为

A．1

B．

C．2

D．

参考答案：C略2.设函数f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D．当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0参考答案：B考点：根的存在性及根的个数判断；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．解答：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，如图，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0故选B．点评：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．3.已知全集，集合,，则BA.

B.C.

D.参考答案：A略4.已知函数是偶函数，上是单调减函数，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：A5.已知是实数,其中为虚数单位,则实数等于A.1

B.

C.

D.参考答案：A6.函数y＝sin(2x+)的图象可由函数y=sin2x的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是(

)(A)向左平移 (B)向右平移

(C)向左平移 (D)向右平移参考答案：A7.函数，若，则的所有可能值为（

）

（A）1

（B）

（C）

（D）

/参考答案：A8.已知i是虚数单位，复数对应于复平面内一点（0，1），则|z|=（）A． B．4 C．5 D．参考答案：A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意可得=i，变形后利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由题意，=i，则z=i（2﹣3i）=3+2i，∴|z|=．故选：A．9.若的值为

（

）

A．20

B．—20

C．10

D．—10参考答案：答案：B10.在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，∵SB?平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC?SB⊥SA且SB⊥AC，∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选：B．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.扇形的半径为，圆心角∠AOB＝120°，点是弧的中点，，则的值为

▲

.参考答案：答案：

12.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为

．参考答案：9【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω?+φ≥2kπ﹣，且ω?+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω?+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω?=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω?+φ≥2kπ﹣，且ω?+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω?﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω?+φ≤2kπ+，k∈Z②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．13.如图，在中，分别是上一点，满足，若，则的面积为

参考答案：过点作于，如图所示．由，知，再由，得．设，则．又，得，，．于是勾股定理，得．又由余弦定理，得．又，所以，所以，解得或（舍去），所以＝．14.已知F是抛物线的焦点，点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，若（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是______参考答案：3设直线的方程为，点，，直线与轴的交点为.联立，可得，根据韦达定理可得.∵∴，即.∴或（舍），即.∵点，位于轴的两侧∴不妨令点在轴的上方，则.∵∴，当且仅当时取等号.∴与面积之和的最小值是3.故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和推出的表达式和运用基本不等式是解答的关键．15.函数的最小正周期与最大值的和为 .

参考答案：答案：16.已知，，则=___________________.参考答案：-7略17.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)=1且对任意都有f(x+3)=f(x)，则f(2014)=▲．参考答案：1【知识点】函数的奇偶性与周期性B4由f(x+3)=f(x)得T=3，则f(2014)=f（1）=f(-2),f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(2014)=f（2）=1【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性求解。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由c=1，由椭圆的离心率公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（2）设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，求得丨PQ丨，由PQ⊥MN，将﹣代入丨PQ丨，求得丨MN丨，则S=丨PQ丨丨MN丨，根据函数的单调性即可求得四边形PMQN的面积的最小值和最大值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b2=a2﹣c2=1，故椭圆方程为；…（4分）（2）如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（1，0），且PQ⊥MN，设直线PQ的斜率为k（k≠0），则PQ的方程为y=k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x1，y1），则，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，x1+x1=，x1x2=，则丨PQ丨=?，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ丨丨MN丨=，令t=k2+，T≥2，S=丨PQ丨丨MN丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S是以t为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN的面积取最小值．当直线PQ的斜率为0或不存在时，四边形PMQN的面积为2．综上：四边形PMQN的面积的最小值和最大值分别为和2．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查韦达定理，弦长公式，考查椭圆与函数单调性及最值得综合应用，考查计算能力，属于中档题．19.已知函数，g（x）=b（x+1），其中a≠0，b≠0（1）若a=b，讨论F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）已知函数f（x）的曲线与函数g（x）的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2，证明：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可（2）问题转化为证，，只需证明成立，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）由已知得，∴，当0＜x＜1时，∵1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，∴1﹣x2﹣lnx＞0，；当x＞1时，∵1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，∴1﹣x2﹣lnx＜0．故若a＞0，F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；故若a＜0，F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）不妨设x1＞x2，依题意，∴，同理得由①﹣②得，∴，∴，∴，故只需证，取∴，即只需证明成立，即只需证成立，∵，∴p（t）在区间[1，+∞）上单调递增，∴p（t）＞p（1）=0，?t＞1成立，故原命题得证．20.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若异面直线与所成角为，，，求二面角的大小.参考答案：（1）证明：由已知四边形为矩形，得，∵，，∴平面.又，∴平面.∵平面，∴平面平面.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，则，，，，所以，，则，即，解得（舍去）.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则即，可取，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.21.已知椭圆与y轴正半轴交于点，离心率为．直线经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若，当时，求的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）根据椭圆的性质可得其标准方程；（2）由P，Q两点可得直线l的方程，与椭圆方程联立消去x得到关于y的方程，且，由可得，通过已知将其化为只含有和t的等式，再根据t的范围可得的范围。【详解】解析：1．由题意，且，所以，所以椭圆E的标准方程为．2．因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，消去得，当时，设、，则……①，……②因为，所以，所以……③联立①②③，消去、，整理得．当时，，解由且，故，所以．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知识。22.如图，几何体EF﹣ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB的腰长为的等腰直角三角形．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）求几何体EF﹣ABCD的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥BC．DE⊥BC．推出CF⊥BC．即可证明BC⊥平面ACF．然后推出BC⊥AF．（Ⅱ）利用V几何体EF﹣ABCD=