高等数学电子教案(大专版)

《高等数学》教案

第一讲函数与极限

1.函数的定义设有两个变量x,y。对任意的XGD,存在一定规律f,使得y有唯一确

定的值与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x),xGD。其中x叫自变量，y叫因变量。

函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。

例1：f(x+l)=2x2+3x-L求f(x).

解:设x+l=t得x=t-l,则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-l=2t2-t-2

,'.f(x)=2x2-x-2

定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：

①分母不等于0②偶次根式被开方数大于或等于0③对数的真数大于0

I------------2元—]

例2求函数ynjx?—x-6+arcsin-----的定义域.

7

解：要使函数有定义，即有:

-x-6>0x>3或x<-2

o—3WxW—2或3<x<4

I7-3<x<4

于是，所求函数的定义域是：[-3,-2]U[3,4].

例3判断以下函数是否是同一函数，为什么？

(1)y=lnx2与y=21nx(2)3=&与y=&

解(1)中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.

(2)中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.

2.初等函数

(1)基本初等函数

常数函数：y=c(c为常数)骞函数：y=x〃(〃为常数)

指数函数：y=a*(a>0,aHl,a为常数)

对数函数：y=logux(a>0,awl,a为常数)

三角函数：y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx

反三角函数：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx

(2)复合函数设y=/(〃),其〃=0(x)中，且*(x)的值全部或部分落在了(耳)的定

义域内，则称y=/@(x)]为x的复合函数，而〃称为中间变量.

例4：若y=VM,u=sinx,则其复合而成的函数为y=Jsinx,蛛u必须>0,sinx>0,

xe[2k万，zr+2kTC]

例5：分析下列复合函数的结构

-sinJx"

my=e

解(1)y=y[u,u=cosv,v=^

(2)y=e",u=sinv,v=>/t,t=x2+1

例6：设f(x)=x?g(x)=2*求f[g(x)]g[f(x)]

解：f[g(x)]=f(2t)=(2v)2=4'g[f(x)]=g(x2)=2-t-

3.极限

(1)定义函数y=f(x),当自变量x无限接近于某个目标时(一个数x°,或+oo或一8),

因变量y无限接近于一个确定的常数A,则称函数f(x)以A为极限。

定理1函数/(x)当Xf/时的极限存在的充分必要条件是，/(x)当时的

左右极限都存在并且相等.即lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A

X->X0

例7：判断下列函数在指定点的是否存在极限

sin<0

X+l,x>2y=\i八

y=<—x.x>()

x,x<2⑵

(1)(当X—2时)13(当尤f°时)

limy=2,limy=3limywlimy

解：⑴・・,12-12+x^2~xf2+

・・・函数在指定点的极限不存在。

limy=sin0=0,limy=—xO=Olimy=limy

(2)*/10_I。*3,X->0-Xf0+

函数在指定点的极限limy=0

4.无穷小量与无穷大量

极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；若lim/(x)=oo(或lim/(x)=8)，则

x->,voXT8

称/(X)为当XfX。(或X-8)时的无穷大量，简称无穷大。

例如：limsinx=0,所以，当xfO时，sinx是无穷小量。

x->0

同样，当Xf0时二0(。>0),1-cosx,arcsinx等都是无穷小量。

当xf+8时，lim—=0,所以｛▲｝是无穷小量.

n

无穷小量的性质:

(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

(2)无穷小量与有界量之积是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。(注：两个无穷小之商未必是无穷小)

5.极限的运算

设x在同一变化过程中lim/(x)(此处省略了自变量x的变化趋势，下同)及limg(x)

都存在，则有下列运算法则：

法则1、lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)

法则2、lim[f(x)•g(x)]=limf(x)•limg(x)

法则3、lim=(limg(x)HO)

g(x)hmg(x)

(1)直接代入求值

例8求lim(3x?-4x+l)

KT2

解：lim(3X2-4X+1)=3>22-4>2+1=5

XT2

2>x~+x—4

例8求lim

x->-l31+2

2

2-+x-4[im(2x+x-4)3

解:hm----------=-----------

%"3厂+2Iim(3x~+2)5

A->-I

/«.—7x+12

例10求hm----------

1x-5x+4

A..x~—7x+12(x—3)(x—4)x-31

解：lim---------二hm-----------=lim----=-

x—4X-5X+414(%-l)(X-4)Xf41_13

00一

(2)一型

00

-—4T.2x~+九-3

例11求lim-------

is3x-x+2

1.2x2+x—32

解:lim---------=lim

^003x-X+2KT83

小结：xfoo时，一型的极限，可用分子分母中x的最高次幕除之

00

(3)8-00型，°型，

0

例12求下列函数极限

1i/31、°「Vl+x-10].xcosx

1>lim(-----------)2、Iim---------3、lim「一

Ji1-x1-xa。xf8jl+x3

2

i1.(31、r3—(1+x+x)

解：1>lim(----7----)=lim--------------—

f1-x1-xI(l-x)(l+x+x2)

.(2+x)(l—x)..2+x

=l1im---------------=lim--------

f(l-x)(l+x+x)—1+x+x

r/+>-1[.(Jl+X—1)(Jl+X_1)

2、lim---------=lim--------,--------

“f。xXf。J(V1+X+1)

1.X1.11

=lim---.----=lim“•[——=—

3。X(V1+x+l)I。Vl+x+12

xcosx「x八

3、lim.=lim/•cosx=0

71+X3f7T77

(4)利用两个重要极限

10sinx

1hrm----=1

XTOx

特点:①它是“2”型sinAi

②hm-----=1（三角形△代表同一变量）

ATOA

例13求lim%•sin—

XT8X

sin2xsin2x_

解:limi-----=lim------>2=2

x->0,X52x

sinx

注:lim----w1

x—>00x

sinx

lim=lim-*sinx=O

XT8xX-»8X

例14求limx«sin—

XT8X

sin1

解:limx»sin-=lim

XT8XXT8

X

sin3x

例15求lim

x->0sin4x

[.sin3%..sin3x3x4x3

解:lim-----=lim[r----•---■-----j——

sosin4xio3x4xsin4x4

4.1-cosx

例16求hm；-

…x2

2sm-sin-1<sin—

解：原式=lim-—=lim[(—lim[―工]

10XIOX2210x2

22

2°lim(1+—)x=e

isx

特点：(1)lim(1+无穷小)无穷大一即I"型;

XT8

(2)“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数,

2_i_

推广：①lim(l+x)，=e②lim(l+A)[=e

x->0A->0

例17lim(1+—)标

KT92X

133

解：原式=lim[(l+—产]2=e2

X—2x

例18lim(1+—)3"2

XT82x

1I11r

222

解：原式=lim[(l+—)3x+2.("_)]_]jm(i+—)3%•1而(i+—)=e

182x2xxts2x2x

3

例19lim(1+—)"

KT8x

1-«3R

解：原式=lim(1+-)3=e3

XT8X

3

(5)利用常用的几个等价无穷小代换:

当xfO时，有sinx〜x；tanx〜x；arcsinx〜x；arctanxx；1-cosx

ln(l+x)〜x；e'-l~x；Jl+x-1~—x°

2

Xi4.sin3x

例20求lim--------

iosin4x

心sin3x..3x3

解：lim--------=lim—=—

sin4xio4X4

-4.1-cosx

例21求lim------——

Dx

X

1—cosx21

角Mlim-----；2——=lim——

-0xKTO/2

.,tan2x

例22求hm-----

a。sin5x

tan2x..2x2

解:lim-----=lim—=—

3sin5x905x5

.-x2

sinx(l-cosx)x2i-11

解：lim------------=lim乙——=lim------=-

XCOSXXT°X•COSXXT02cosx2

注：I°用等价代换时.，必须对分子或分母的整体替换(或对分子、分母的因式进行替

换)

2°分子或分母中若有“+号连接的各部分不能分别作替换。

(6)利用函数的连续性

定义1设y=f(x)在点与的某邻域上有定义，如果自变量的增量Ac=x-Xo趋于零

时，对应的函数增量也趋于零，即limAy=lim"(x()+Ar)-/(x())]=0则称f(x)在点与

AxfOAXTO

是连续的。

定义2设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，若lim/(x)=/(xo),则称函数f(x)

在点x0处连续。

定义3(间断点的分类)：设X。是/(X)的一个间断点，如果:

(1)/(x)的左右极限都存在，称X。为/(%)第一类间断点，当

lim/(x)wlimf(x),则称x0为/(x)的跳跃间断点

(2)/(x)的左右极限都存在，称/为/(x)第一类间断点，当lim/(x)存在，但不

等于/(%)，则称X。为/(x)的可去间断点

(3)除(1)(2)以外的，称/为/(x)的第二类间断点，当lim/(x)=oo,称X。为

/(X)的无穷间断点。

x~0Vx<1

例24设/(x)=('一一，讨论f(x)在x=l处的连续性。

x+l,xA1

解：vf(l)=llimf(x)=limx2=Llimf(x)=lim(x+l)=2

X->rXfl+X->1+

即limf(x)不存在，x=l是第一类间断点，且为跳跃间断点。

例25设/(x)=<三，x*°,讨论f(x)在x=0处的连续性。

l,x=0

解：・・・f(O)=llim/(x)^/(O)x=0是第一类间断点，且为可去间断点。

x->0

例26/(%)=―二在x=l是什么间断点。

(-V-1)'

解：函数/(x)=——!~在x=l处没有定义，且lim——!~-=00贝|Jx=l为f(x)的无

(x-1)2

穷间断点。

例27求极限lim[ln(sinx)]]

一

2

JlJl

解：In(sinx)在x=一处连续limfln(sinx)]=ln(sin—)=lnl=O

2—2

2

iln(l+x)

例28求极限lim-----------

x7°x

Infl+X)———

解：lim------------=limln(l+x)v,复合函数ln(l+x)”是由Inu和u=(l+x)，组成,

Xf0xXT。

}_

又limln(l+=e,在u=e点Inu连续。

limln(l+x)*=ln[lim(l+x)x]=Ine=1

x->0.t->0

例29证明方程x5-3x=l至少有一个根介于1和2之间。

证明：设f(x)=x5-3x-l,在(一8,+8)连续，又f(l)=131=-3<0

f(2)=25-3*2-l>0

根据介值定理，至少存在一点(1,2),使导/铉)=0,显然J即为方程x$-3x=l

的根。

第二讲导数与微分

1、导数的概念

设函数y=/(x)在点/处的某一邻域内有定义，当自变量X在点与处有增量

曲(ACHO),%+Ar仍在该邻域内时，相应地，函数有增量&>=/(/+Ar)-/卜)，若极

限lim)一小。)存在，则称/(x)在点与处可导，并称此极限值为

Av—>0ArAx—>0△

/(x)在X。处的导数，记为:Go),若极限不存在，则称y=/(x)在点X。处不可导。

2、左导数与右导数

(1)函数/(x)在点X。处的左导数

/(/+AA)-/(X°)

f'(x)-lim--lim

\aAx八fO-Ax

(2)函数/(x)在点X。处的右导数

/(%+AY)-/(X°)

//。)=依4=啊.Ax

定理y=/(x)在点X。可导O£'(%)=/；(X。)

例1求函数y=/在任意点X处的导数，并求立l,T

dx

解：在x处给自变量一个增量Ax,相应函数增量为

Ay=f(x+A^)-/(x)=(x+Ax)-x2=2x/^x+Ax2,

于是lim=lim(2x+Ax)=2x；即(/)’=2彳；则^-|x=|=2*(-1)=-2

一般地(£'j=ux"-',(u为任意实数)o

3、导数的几何意义

函数y=/(x)在点X。的导数/'(%)在几何上表示曲线y=/(x)在点(/，/(x0))

处切线的斜率。

例2求抛物线y=/在点(1,1)处的切线方程和法线方程。

解：•.•/=(，)/=2x,切线斜率k=y'\x=]=2x\xsi=2

切线方程：y_l=2(x—l)即y=2x—l；法线方程：y—1=—g(x—l)即y=_gx+3。

4、可导与连续关系：可导一连续，但反过来不一定成立，即在x处连续的函数未必在

x可导。

XX〉0

例3y=f(x)=\x\=\\~,虽然在X=0处连续，但在该点不可导。

[-X.X<0

解：・・・Ay=/(0+Ax)-/(O)=Ax

二・力(0)=lim—=lim=lim—=1

Ar->o*AvAXT()+AYAx-»o"AY

i-4「IMr-Ar

/_(0)=lim=lim-~L=lim-----=-1

Ai->o-ArAx->o-Ar&tT(rAr

,//：(0)h/2(0)y=k|在x=0点处不可导

例4讨论/(x)=]x,sinjXH°在点x=o的连续性与可导性。

0,x=0

解：vlim/(x)=limx-sin—=0,BPlim/(x)=/(O),

.r->0x->0JQ

y=/(x麻=0连续

s，nj

又：/CO=-------二=sin-!■当x->0时sin—极限不存在

x-0xxx

.•.y=/(x)在点x=0处不可导

5.求导法则

(1)加减乘除的求导法则

例5设y=Vxcosx+41nx+sin—yr

7

解：yr=(Vxcosx\+(4Inx\+(siny)z

=(y[x)fcosx+Vx(cosx)74-4Inx=C°^-Vxsinx+—

例6求丫=1311*的导数。

解：y'=(tanx)'=(皿)，=(.x)'cos’—sinx•(cosx)'

cosxcos2X

cos2x+sin2x12

=---------z--------=——z—=sec**x

COSTXCOSX

(tanx)=sec2x;类似可得：(cotx)=-esc2x

例7已知y=secx,求yf.

痴j,/v/1x(cos%)'sinx

解：y=(secx)=(----)=-------------=secx•tanx.

cos%cosXcosx

类似可得:(cscx)'=-cscxcotx

i5xsinx、—/、

例8设f(x)=-------，求/(x).

1+COSX

(九sinx)'(l+cosx)+xsinx(l+cosx)r

解:-Q)

(l+cosx)2

(sinx+xcosx)(l+cosx)-xsinx(-sinx)

=-------------------------卞---------------

(l+cosx)

_sinx(1+cosx)4-xcosx+xcos2x+xsin2x

(1+cosx)2

_sinx(l+cosx)+x(l+cos)_sinx+x

(1+cosx)2l+cosx

(2)、复合函数求导法则：

定理如果u=0(x)在点X处可导，函数y=f(u)在对应的点〃处可导，那么复合函数

y=〃e(x)]也在点x处可导，且有gg4或"[/(X)]}'=/'(")”(x)

叁4,dx

例9y=sin4的导数。

分析：y=sin«可看作y=sinw,w=Vx复合而成

解：虫=电.也=(.“)，.(五)，=cos〃.4=9

dxdudx2jx2j2

例10求y=〃7f的导数。

分析：此函数可看作由y="与〃=a?-/复合而成

解:务务*而9-3'=击心2x)X

y[a^-X2

x

例7求y=Intan5的导数。

x1,2、，19X121

解：yr=(Intan—)z------(tan-)=-----sec"—------sec~—

.x2*x2

t*an一xxtan—tan—

222

x

cos—

2111

---------=———=CSCX

x2x2sinx

sincos-

2

例8设r(x)存在，求y=lnl/(x)l的导数(f(x)#0)

解：当f(x)>0时y=lnf(x),y'=[In/(x)]'=

/(x)/(x)

当f(x)<0时,y=ln(-f(x)),y'=—^--[-f(x)]'=乌?

/(x)

f'M

[lnl/«I了

/(x)

例9求y=sinIn72x+l的导数.

,/z---r11小〔、，coslnv2x+1

解：y=coslnV2x+l•.---,-(2x+l)=-------------

J2x+12j2x+l2x+l

(3)、反函数的求导法则

定理如果单调连续函数x=°(y)在点y处可导，而且9(y)H0,那么它的反函数

y=f(x)在对应的点x处可导，且有/'(%)=〃、o

例10求y=。⑴(〃>0,〃。1)导数

/V11

解：------丁——-——yIna=Q，Ina

(log/).

yIna

特别：(/)'="

例U设>=£'(u为实数)，求y'.

解：yr=eu(u\nx)r=e"-u•—=u-x"~'

X

X=ux

例12设〉=02「而16；求丫，

11arctany/x

解：v'=earctan6------2_-------=_£-----------------

1+(V7)22«2日.(1+x)

(4)、隐函数求导法：

例13求由方程孙-e'+ev=0所确定的隐函数的导数

解：方程两端对x求导：

y+xyf-ex+e，・y，=0

有<*+/)=/—y,即

V=^^(x+e』)

x+e

注意：y'表达式允许有含y的式子；

例14求曲线3y2=/(》+1)在点⑵2)处的切线方程；

分析：(1)关键求斜率k；

(2)由导数几何意义知：k=yx'\x=xo可用隐函数求导法来解决:

y=y0

解:方程两边对X求导:

6yy'=3x2+2x

,3x2+2.x(

y=T--------(yw°)

6y

,.4

yI—=§

4

所求切线方程：y—2=§(x—2)

/.4x—3y—2=0

(5)对数求导法

步骤：(1)两边取对数；(2)两边对x求导；

它适合于含乘、除、乘方、开方的因子所构成的比较复杂的函数。

例15设y=-l)^/(3x+l)2(x-2)求：y'

解：两边先取绝对值，再取对数，得

21

ln|y|=1中-1|+§ln|3x+1|+11中-2|

1,12311

—V=1—---------1

yx-133x+13x-2

y=(x-l)-V(3X+1)2(X-2).------+---------+-----------

x-13x+13(x-2)

例16求丫=--卜>0）的导数

解：两边取对数，lny=sinx•Inx

Icinx

等式两端对x求导一/=2——+COSX-Inx

/sinx]\sinx.、

/.y----+cosx*lnx=xSinx（z----+cosx*lnx）

IXJX

（6）由参数方程所确定的函数求导法

X—（p（t）

若参数方程\",确定y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为

J=帕）

由参数方程所确定的函数.其求导法则是：

dy_dy*dt_dy/dt_/（f）

dxdtdxdx!dt“（f）

A-«（/-sin/）（06f«2〃），（1）在任何点的切线斜率；（2）在f=工

例17求摆线

y-<2（l-cosf）2

处的切线方程.

,、口，dy6f(l-cosr)/〃*sinfsinrt

解：(1)易知k=—=--------=---------=-------=cot-；

dxa(t-sint)ra(l-cosr)1-cosz2

(2)当1=工时，摆线上对应点为(3工-1],°),在此点的切线斜率为

212J

dyti

—k=cot—=1

dx得2小

~2

切线方程y-a=x-a(y-l),即y=x+a(2—9)。

(7)高阶导数

例18求函数y=6一'*cosx的二阶及三阶导数。

解：y-e~x*cosx+e-'(-sinx)=e~x(cosx+sinx)

y,r=e^x*cosx+e~x(-sinx+cosx)=2e~xsinx

y,n=-2e~xsinx+2e~x*cosx=2e~x(cosx-sinx)

例19求n次多项式丁二劭工"+%/1+..…+%的各阶导数。

n}/,-2

解：y'=naQx~+(〃-1**x+.•…+an_j

y"—〃(〃_-+(〃—1)(“—2)6!!Xn+...+2%_2

每经过一次求导运算，多项式的次数就降低一次，继续求导得：

y(n]=〃1劭；这是一个常数，所以y(n+,)=y[n+2]=….=o

这就是说，n次多项式的一切高于n阶的导数都是零。

例20求指数函数y=e"*的n阶导数；

解：)，=/*V=a*e"y〃=/**=

依次类推：>")=优2球

例21求方程=，(OWf42")所确定的函数的一阶导数也及二阶导数

[y=。sin1dx

d2y

dx2,

…dyb*costb

解：—=---------二一一cotr

dx一。*sinfa

与2

d2y=/驾心=/sc，=b

dx'dt\dx)dt-asin/a2sin51

6.函数的微分

若函数y=/(x)在点x处的改变量Ay=/(x+Ax)-/(x),可表示为

Ay=A(AA)+O(AX)O其中A为常数，则函数y=/(x)在点/处可微，AAx称为函数在

点X。的微分，记为dy=AAx且有A=/(x),则力

例22求函数y=/在x=l,Ax=0.1时的改变量及微分.

解：Ay=(8+&)2-/=112-12=0.21,在点x=l处，<仁=2乂1=2

所以d)，=y'-Ax=2-0.1=0.2

定理函数y=f(x)在点X。处可微。f(x)在与处可导

例23设y=cosVx,求dy

解：dy=f\x)dx=(cos-JxYdx=---sin4xdx

2jx

例24设〉=”*,求dy

解：dy=(es,nx)'dx=e""-1-cosxdx

例25求方程/+2xy—y2=/确定的隐函数y=f(x)的微分dy及导数也

dx

解：对方程两边求微分，得2xdx+2(ydx+xdy)—2)Uy=0,即

(x+y)dx=(y-x)dy

dy=-------dx

y-x

.dy=y+x

dxy-x

第三讲中值定理及导数应用

1.柯西中值定理与洛必达法则

定理(柯西中值定理)如果函数满足下列条件:

(1)在闭区间［a,b］上连续；

(2)在开区间(a,b)上可导；

(3)/(X)在(a,b)内的每一点均不为零，

f⑸-f(a)」隹)

那么，在(a.b)内至少存在一点€,使得g(»一g(。)g'G)

定理(洛必达法则)若

lim/(x)=0,limg(x)=0

(1)X»OXTX0.

(2)f(x)与g(x)在与的某个邻域(点与除外)可导，且g'(x)H0；

f\x)

lim------=AA

(3)i"g'(x)(A为有限数，也可为+8或—8)

。

则fg(x)XT%g'(x)

,x，—3x+2

hm———----------

例1求*5X，__X+]

Iim---1V+2lim3--3lim6-x^-3

解:xfx—x—x+]=73x-2x-1=6x-2=42

「1+cosx

lim----------

例2求J”tan%

..1+cosx..-sinx八

lim----------=lim——-——=0

ftanxe1

7

解：cosr

71

——arctanx

lim--------------

XT+<»|

例3求工

71-1

----arctanx------不

lim-------------=lim

X—>+001X—>4-00—1

2

解：XX=1

lim(n>0)

求n

例4XT+OOX

1

lim=lim—^—r=lim—^―=0

XT+COnxtrn-\Xf田几£

解:xnx

X]

lim(-----------)

例5求jxTInA-

解：

,x1...xlnx-(x-l)Xx+'nA1Inx

lim(--------------)=lim------------------=hm—-----------=lim--------------

x

xnx—lInx—I(x-l)lnxinx4,--》--一--1^'1.---1--,r.inx

xx

1

X2X

例6求1°sinx(l-cosx)

AT,厂(，—1)..X"Xc

解:hm------------------=lim——r=2

Ksinx(l-cosx)iox

x一

2

2.拉格朗日中值定理及函数的单调性

定理(拉格朗日中值定理)如果函数/(x)满足下列条件:

(1)在闭区间［a,b］上连续

(2)在开区间(a,b)内可导,

则在区间(a,b)上至少存在一点£，使得于(b)-/(«)=/'OS-。)。

推论如果函数f(x)在区间(a,b)内满足/(x)三0,则在(a,b)内f(x)=C(C为常

数)

推论如果对(a,b)内任意x,均有广(x)=g<x),则在(a,b)内f(x)与g(x)之间只

相差-个常数，即f(x)=g(x)+C(C为常数)

定理设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,定可导,则有

(1)如果在(a,b)内尸(x)>0,则函数f(x)在［a,b］上单调递增；

(2)如果在(a,b)内尸(x)<0,则函数f(x)在［a,b］上单调递减。

例7讨论函数/(x)=3——/的单调性。

解：因为/(x)=3--x)所以尸(x)=6x-3x?=3x(2—x)

令//(X)=0得驻点：x,=0,x2=2,将定义域分为三个部分区间

(一8,0),(0,2),(2,+8)时，当xe(-8,0)有，有//(x)<0；当尤e(0,2)时，有//(x)>0；

当xe(2,+oo)时有//(x)<0,因此，由定理2知，函数在区间(—。。,0)与(2,+8)上单调减

少，在区间(0,2)上单调增加。

3.函数的极值与最值

(1)极值的定义设函数f(x)在与的某个邻域内有定义，且对此邻域内任意一点

x(xxxo),均有/(x)</(x。)，则称/(4)是函数/(X)的一个极大值；同样，如果对

此邻域内的任一点x(xwx。)，均有/(x)>/(xo),则称/(4)是函数A》)的一个极小

值。函数/(X)的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.

定理1(极值的必要条件)设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则/(x)=0

(2)函数极值的判别法

定理(第一充分条件)设函数f(x)在点X。处连续，在点的某一个空心邻域内可导，

当X由小到大经过点X。时，如果

1)/'*)由正变负，那么/是函数f(x)极大值点；

2)/'(X)由负变正，那么/是函数f(x)极小值点；

3)/'(x)不变号，那么与不是极值点。

定理(第二充分条件)设函数f(x)在点X。处具有二阶导数且/'(X)=0,/"(X)H0

1)如果/"(x)<0,则/(x)在点与处取得极大值；

2)如果尸'(x)>0,则/(x)在点与处取得极小值。

例7求函数f(x)=/—6*2+9x的极值。

解法1：因为f(x)=》3-6/+9x的定义域为(一00,+8),

/'(X)=3/—12x+9=3(x-l)(x-3)

令/'(x)=0,得驻点为X］=I,/=3.

在(-00,1)内,.(x)>0在(1,3)内,一(x)<0故f⑴=4为函数f(x)的极大值。

同理知f(3)=0为f(x)极小值。

解法2：因为f(x)的定义域为(-co,+oo),且/'(x)=3x2-12%+9,/"(x)=6x-12,

令尸(x)=0,得驻点为七=1»2=3。又因为尸'(1)=—6<0,所以f(1)=4为极大值，

尸'(3)=6>0所以，f(3)=0为极小值。

2

例8求函数/(x)=2—(x—l)3的极值。