新教材人教版高中数学必修第一册3.4函数的应用（一）

3.4函数的应用（一）

一、单选题

1.已知等腰三角形的周长为40cm,底边长y（“?）是腰长x（cm）的函数，则函数的定义域为（）

A.（10,20）B.（0,10）C.（5,10）D.[5,10）

2.一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长X的函数，它的解析式为（）

A.y=20-2x（x410）B.y=20-2x（x<10）

C.y=20-2x（5<x<10）D.y=20-2x（5<x<10）

3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）

①这几年生活水平逐年得到提高；

②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；

③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；

④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

4.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m

元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工

这个月实际用水为（）

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米

二、多选题

5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销

售价格如表所示：

型号小包装大包装

质量100克300克

包装费0.5元0.7元

销售价格3.00元8.4元

则下列说法正确的是（）

A.买小包装实惠

B.买大包装实惠

C.卖3小包比卖1大包盈利多

D.卖1大包比卖3小包盈利多

6.某工厂八年来某种产品总产量y（即前X年年产量之和）与时间X（年）的函数关系如图，下列几种说

B.前三年中，年产量的增长速度越来越慢

C.第三年后，这种产品停止生产

D.第三年后，年产量保持不变

7.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是

2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（m/n）的关系，下列结论正

确的是（）

*>lkml

4/

................./•

2,....____--;

I.

~~O102030405060

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60mM

B.甲从家到公园的时间是30mM

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0C0时，y与x的关系式为了=也

E.当30MxM60时，y与x的关系式为y=1x-2

三、填空题

8.某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴

纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择

第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过平方米.

9.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠"，结果是每台彩电比原价多赚

了270元，则每台彩电的原价为元.

10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数

x（xeN）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过年.

四、解答题

11.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比.

（1）写出函数解析式（可带参数）；

（2）假设气体在半径为3cm的管道中的流量为400cm3/s,求该气体通过半径为rem的管道时，其流量R

的表达式；

12.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米.为了合理利用这

块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块8NPM,使点P在边DE上.

（1）设MP=x米，PN=）/米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域;

（2）求矩形BA/PM面积的最大值.

，+20,0＜，＜25,

13.某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系为：P=(t£N)

T+100,25W30.''

设该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系为Q=40-t（0<t<30,tGN,）,求这种商品的日销售金额

的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

14.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度V（单

位：千米/时）是关于车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米，造成阻

塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当

20<x4200时，车流速度v是车流密度》的一次函数.

（1）当04x4200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）

/（x）=x"（x）可以达到最大？并求出最大值.（结果精确到1辆/时）

参考答案

1.A

【分析】

利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.

【详解】

由题设有y=40-2x,

40-2%>0

得10<x<20,故选A.

x+x>40-2x

【点睛】

本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.

2.D

【分析】

根据已知条件可得出函数解析式，结合三角形三边关系可得出x的取值范围.

【详解】

依题意得2x+y=20,所以y=20-2x,

fy<2x

由三边形三边关系可得.c，即0<20-2x<2x,解得5<x<10.

因此，函数解析式为y=20-2x（5<x<10）.

故选：D.

3.C

【分析】

认真观察图形就可以判断.

【详解】

由图知，"生活费收入指数"减去"生活价格指数"的差是逐年增大的，故①正确;

“生活费收入指数"在2014~2015年最陡；故②正确；

“生活价格指数”在2015~2016年最平缓，故③不正确；

“生活价格指数”略呈下降，而"生活费收入指数"呈上升趋势，故④正确.

故选：C.

4.A

【分析】

由题意得到关于用水量和水费的分段函数，然后求解该职工这个月实际用水即可.

【详解】

设职工的用水量为X立方米，需要交纳的水费为了(X)元，

当OVxWlO时，，f{x)=mx,

当x>10时，/(x)=10x〃2+(x-10)x2，〃=27nr-10m,

/、［mx,0<x<10

即函数的解析式为：f(x)=css，

\2mx-\Qmym>\Q

据此分类讨论：

当04x410时，，nr=16,w,解得x=16,不合题意，舍去；

当x>10时，2inx-\Gm=\C)m,解得x=13,符合题意；

综上可得：该职工这个月实际用水为13立方米.

本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查分段函数模型的应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能

力.

5.BD

【分析】

根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖3

小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.

【详解】

大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，

卖1大包的盈利840.7-1.8x3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7x3=2.1阮)，则

卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.

故选：BD

6.AC

【分析】

根据函数图像依次分析各选项即可得答案.

【详解】

由题中函数图像可知，在区间［。，3］上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，

由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，

在［3,8］上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0,因此C正确，D错误.

故选：AC

7.BD

【分析】

分析函数图象，即可判断正误.

【详解】

解：在A中，甲在公园休息的时间是lOmin,所以只走了50min,A错误；

由题中图象知，8正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从

公园到乙同学家的速度慢，C错误；

当04x430时，设>="饮片0）,则2=30%,解得左=（，O正确；

当304x440时，题中图象是平行于x轴的线段，E错误.

故选：BD.

【点睛】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.

8.80

【分析】

设李明家建筑面积为x平方米，分别求出两种方案所需费用，再根据选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，

列出不等式，即可得出答案.

【详解】

解：设李明家建筑面积为x平方米，

按方案（1）,李明家需缴60x4=240元，

按方案（2）,李明家需缴3x元，

因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，

则3x4240,解得xV80,

所以它的建筑面积最多不超过80平方米.

故答案为：80.

9.2250

【分析】

先设原价，再根据题意列等式求解即可.

【详解】

设彩电的原价为。元，.•.。(1+40%)―80%—。=270,.\0.12a=270,解得a=2250.

每台彩电的原价为2250元.

故答案为：2250.

10.7

【分析】

确定函数解析式，解不等式y.0,即可得到结论.

【详解】

设二次函数y=a(x-6产+11,

又过点(4,7),

所以a=-l,即y=-(x-6)2+ll.

解y20,得6-而以勺6+而，

所以有营运利润的时间为2JFL

又6<2而<7,所以有营运利润的时间不超过7年.

故答案为：7

11.(1)R=kr\k>0,r>0)(2)/?=—r4(r>0).

;81

【分析】

(1)根据流量R与管道半径r的四次方成正比求得函数解析式.

(2)利用已知条件求得及,由此求得R的表达式.

【详解】

(1)由于流量R与管道半径r的四次方成正比，所以函数解析式为/?=%/(%>0,2。).

(2)由r=3cm,/?=400cm3/s,得卜34=400,，.•.流量R的表达式为R=事?毛4(r20).

8181

12.(1)y=——x+10,xG[4,8]；(2)48.

【分析】

(1)利用三角形相似，可得函数得解析式与定义域；

(2)表示出面积，结合二次函数得性质即可求出最大值.

【详解】

解(1)如图所示，延长NP交AF于点Q,

所以PQ=8—y,EQ=x-4.

一.-EQEF〜，x-44

在A£D尸中,而=而，所以8-y=5,

所以尸-白+10,定义域为［4,8］.

(2)设矩形BNPM的面积为S,

则5=刈=«10-。=-3(》-10)2+50,开口向下，且对称轴为x=10,则S在［4,8］上单调递增，所以当

x=8时，S取最大值48,所以矩形8NPM面积的最大值为48.

13.销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大.

【分析】

先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值.

【详解】

设日销售金额为7⑺元，则

|(f+20)(40-f)0<r<25,reTV

JU)一［(lOOT)(40T),25W30jeN，

.\-/+20/+8°0,0<，<25jeN

''t2-140r+4000,25<t<30,reN

当0<r<25时，/(r)=-z2+20r+800,r=10时f(r)有最大值900；

当254Y30时，/⑺是减函数，f=25时/⑺有最大值1125.

综上所述，f=25时/⑺有最大值1125,

所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.