高数-10寒-05-正弦、余弦定理和解斜三角形-贾德淼－教师版

己知边边角、角角边

1B碇娜论

己知边边边、边角边

一、正弦定理和面积公式

（-）知识精讲

cihc

1、正弦定理：（1）A3C中：一，二—♦=」一=2K（R为A3C的外接圆的半径）

sinAsinBsinC

已知边边角或角角边，一般用正弦定理。

⑵推论：正余弦定理的边角互换功能

①a=2RsinA,b=2Rsir\B,c=27?sinC

b.「c

②sinA=-^-,sinB=——,smC=——

2R2R2H

③a_b_c一"空一=2R

sinAsinBsinCsinA+sin8+sinC

@tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC

2、三角形的面积公式:

abc

(I)s=—absinC=—bcs\nA=—cas\nB(2)s=2R2sinAsinBsinC(3)

222~XR

(-)典型例题

【例1】(1)在AABC中，ZB=45°,NC=60°,。=35,则。=

(2)在A4BC中，已知a=2g,c=2,C=30°,则4=。

【难度】★

八35(1+G)357671T2n

【答案】(I)---------------------：(2)一或一

2233

【例2】（1）在AABC中，若A=60°,匕=16,5必?。=2207§，则。=；

（2）在AABC中，若。=2,5。8c=2,sinA=cosC,贝ijA二。

【难度】★

【答案】（1）55；（2）-

4

【例3】满足a=4,b=\0,A=30°的三角形的个数为（）

（A）1个（B）2个

（C）0个（D）无法确定

【难度】★

【答案】C

【例4】在A43C中，。=4,3=60”,在解三角形时只有唯一解，则方的取值范围

【难度】★★

【答案】{26}[4,4-00）

【例5】在AABC中，log,cosA=—■-,B—C=—,a=>/2,求c。

-212

【难度】★★

【答案】

,171

1.解：,/log,cosA=——cosA=也.A=—

2~T4

3_715

则3+C=-71又B—CB=—肛c，

412123

得:HL:

由，=c

：.C一7。

sinAsinC.7i.71

sinsin

43

【例6】在ABC中'。也，分别是三个内角AB,C的对边，若"2,C号喈=詈'

求ABC的面积S。

【难度】★★

【答案】见解析

a4

【解析】：由题意，得cosB=—,B为锐角,sinB=—>

55

3万70

sinA-sin（兀-8一C）=sin-------D-.........

4）10

,丁力士E相10.1.11048

由正弦定理得C=—>•-Sc=-6ZCS1T1BD——X2nX---X—=—。

722757

【例7】在AABC中，已知tanB=J5,cosC=AC=3&，求aABC的面积

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】解题策略：求出另一条边，再求出两边的夹角的正弦值，就可求出面积

解法一：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,由tanB=g,得B=60°,则

sinB=-73/2,cosB=l/2o

3而〉/丁

又sinc=Jl-cos2c=述，应用正弦定理得：,=如吐=——"一

=8.

3sinBV3

2

•「.11272_V3V2

..sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBDsinC——x—i—x----=----1---.

232363

故所求的面积SMJC=，6csinA=8A/3+6V2

IT

【例8】已知OAB是一半径为2的扇形(如图)，圆心角乙4。6=—，过弧AB上动点P作平行于

3

B0的直线交A0于Q点，设NAOP=6L

(1)写出APOQ的面积S与8的函数关系式

(2)。为何值时，APOQ的面积最大，最大值为多少？

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】

rr

2.解:•••PQ〃80^OPQ=^POB=--Q

NOQP=7—NA08=V

OQOP

在AOP。中:

sinNOPQ-sinNOQP

即OQ=^sin生“

(l)S=；OPOQ-sine=¥sinesin]?—e)

=-----sing——cos。——sin。

322

O•AQ2后.2n

=2sin，cose-------sin0

3

=sin2(9+—cos26»--=—[sin2^--+cos26»--

333223

2A/3.d71V3

sin(2。+—)-----

3-----------63

(2);.当。=3时，有5大=立

63

【例9】如图，已知ABC是边长为I的正三角形，M,N分别是边AB、AC上的点，线段MN经

7T24

过ABC的中心G,设NMGA=。(—Ka<—)°

33

(1)试将AGM、AGN的面积(分别记为0、S2)表示为a的函数:

1111

(2)求，=”+”•的最大值与最小值。y=”+”■

I1

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】（1）因为G为边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG=2X走=43,NMAG=2,

3236

由正弦定理得坐-=------

------,则GM=—————,

.TC./

sin—sm(zr--a-^)6sin(a+\)

sina/乃//2%、

所以S|=-GMGA-sina=-/、(WaW)

2.[\33

1O2sina+一

I6j

„GNGAn

乂二,得GN=—————,

.71./71、

smsm(乃一a---)6sin(a--)

66

S=；GMGAsin(%_a)=sina/乃/,2兀、

2-----------(——<a<——)

12sin(a-^)33

"a+Q+sii?"工\=72(2+--)(-<«<—)

,、11144r.

⑵y=«2+«2=.2[su6)I6/sin2a33

S]S2sina

所以当a=工或a=2巴时，TT

>鹏=240,当a=5时，>*-216

33

【巩固训练】

1.钝角三角形ABC的面积是｝,AB=1,BC=V2,则AC=

【难度】★★

【答案】亚

2.已知A4BC的面积是9cm2,若AB、AC的比例中项是6cm,则A=

【难度】★★

【答案】30°或150°

3.若三角形的三个内角之比是1:2:3,则三边之比为

【难度】★★

【答案】1：V3：2

4.如果半径为2的圆的内接三角形的面积为工，则abc=__________。

4

【难度】★★

【答案】2

5.在△ABC中，”=3,b=2瓜,NB=2NA.

⑴求cosA的值,

（H）求c的值.

【难度】★★

【答案】（1）因为a=3,b=2戈,所以在AABC中，由正弦定理得二一=

sinAsin2A

-2sinAcosA2瓜,,A/6

所以----------=—^―.故cosA=1

sinA33

r________r

(2)由(1)知，cos——，所以sinA=J1-cos2A=——.又因为N3=2NA,

所以cosB=2COS2A—1

33

t,o/o

=一.所以sinB—V1_COS2B=---.在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcos5+cosAsinB=

33

5百

丁

asinC

所以c------=5

sinA

6.将一块圆心角为60，半径为20cm的扇形铁片裁成一个矩形（如图5-15）,

求截得矩形的最大面积

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】如图，连接0P

设ZPOB=洲PN=20sin6

在OPQ中，由正弦定理得

:.S=PQ-PN=^sin0sin(60叫

cos(2。-60

故当。=30时，5的.=孥

答：当P点为弧AB中点时，截得矩形面积最大，最大面积为空述

3

二'余弦定理

(-)知识精讲

b2+c2-a2

cosA=--------------

a2=h~+c2-2/?ccosA,2hc

na2+c2-b2

、余弦定理：­b1="+-2accosB,=><cosB=--------------

2QC

c2=a2+b2-2abeosC.

-a2+b2-c2

cosC=--------------

lab

已知边边边或边角边，一般用余弦定理。

2、推论：如果C的对边是c,则有：＞c20c是锐角

a2+b2<c2<=>C是钝角a2+b2=c2=C是直角

(-)典型例题

【例10】在A48C中，若NA=60°,AB=8,BC=7,则AC=。

【难度】★

【答案】3或5

【例11】在AA3C中，sinA:sinB:sinC=5:7:8,则B=。

【难度】★

【答案】-

3

【例12】a,a+\,a+2为钝角三角形三边，钝角为120°,则2=

【难度】★

3

【答案】-

2

【例13】己知钝角三角形的边长分别为a,a+1,a+2,则a的取值范围是

【难度】★★

【答案】（1,3）

【例14］在A4BC中，若-一-~~—=c2,则ZC=______________。

a+b-c

【难度】★★

7F

【答案】-

3

【例15】A4BC中，已知4=工，b=l三角形面积为JJ,则-----""+£------

3sinA+sin3+sinC

【难度】★

2A/39

【答案］二-

【例16】已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】解题策略锐角三角形的任意一角的余弦均为正值

2

.1+a—92o

cosA=----------->0n矿>8

曲2xlxtz

解2>242<a<\[w

1+9—2in

cosBD=----------->0na<10

2x1x3

【例17］己知ABC三边分别为二+々+1,公—1,2左+1,求ABC的最大角。

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】：不妨设a,b,c分别为42+%+1,&2-I,2左+1,比较法判断可知a最大。

根据余弦定理得

,c2+b2-a1k4-2k1+l+4k2+4k+1-k4-2k3-3k2-2k-l-2k3-k2+2k+l1

cosA-.....................=--------------------------------------------------------------------=-------------------------=—

2ch2(42-1)(2%+1)2(2&+1)(炉一1)2

所以NA=120。，为钝角，必然是最大角

所以ABC中最大的内角的度数是120。。

7

【例18】设A48C的内角A,6,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6力=2,cosB=§.

(1)求a,c的值；

(2)求sin(A-B)的值.

【难度】★★

【答案】a=c=3；也2

27

【例19】设A43C的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,(a+h+c)(a—b+c)-ac.

(I)求B；

后一1

(II)若sinAsinC=---------,求c.

4

【难度】★★★

【答案】120°；15°或45°

【解析】(1)因为(a+b+c)(a—6+c)=ac,所以M+c2—力2=一40.

由余弦定理得cosB=+(------=,

2ac2

因此8=120°.

(2)由⑴知A+C=60。,

所以cos(A—C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+O+2sinAsin

1cV3-1V3

C=—+2x

24

故A-C=30°或A-C=—30°,

因此C=15°或C=45°.

【巩固训练】

1.下列命题中，不正确的是)

(A)若a、b、c是三角形三边，且a2+/72-c2>0,则c是锐角

(B)在AABC中，若/<6+,2则A>8+C

(C)在A4BC中，若4sinAcosA=0,则AABC一定是直角三角形

(D)任何三角形的三边之比不可能是1:2:3

【难度】★★

【答案】B

2.若a,a+1,a+2是锐角三角形的三边长,则a的取值范围是()

(A)1va<3(B)a>l

(c)a>3(D)0<a<1

【难度】★★

【答案】c

13

3.已知AA5C的三边a、b、c满足--——F---,则N5为)

a+bb+ca+8+c

(A)30°(B)45°

(C)60(D)120°

【难度】★★

【答案】C

4.在A4BC中，a=6,6=7,c=8,A3边上的中线长为.

【难度】★★

【答案甘

5.418c的三边a、b、C和面积廉，满足&=/一9—c/,试计算tanA。

【难度】★★

Q

【答案】Y-

6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsin3+sin3sinC+cos23=l,

若c=如,求q的值

3h

【难度】★★

【答案】由余弦定理知c2=a2+〃*—2QCCOSC得（2〃一。）2=a2+Z?2-2accos—化简得色=—

3b5

7.AABC中，=网二£,（1）求sinB；（2）若b=4后,且。=。，求A48C面积。

cosBb

【难度】★★

【答案】半，8A/2

8.已知半圆。的直径MN为2,A为直径延长线上一点，且。4=2。8为半圆周上任意一点，以

AB为边，作等边ABC,角AOB等于何值时，四边形Q4cB的面积最大?最大面积为多少？

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】：ABC为正三角形，则面积为立AB2,半径OB=1,Q4=2

4

过8作废:垂直04,则BE=Q3-sina=sine

由余弦定理：AB2=0B2+0A2-20B-0A-cosa=5-4cosa

设所求的四边形面积S,则

S-Sf.+SABC-OA-BE+乎(5-4cosa)=sina+--73cosa

56…1.V3、5百0.,_o.

=------+2(—sina------cosa)=------+2sin(a-60)

4224

5h

sin(a-60°)=1,Smm=学+2na=150。

三、正弦定理、余弦定理的基本应用

(-)知识精讲

1、解三角形的一般规律：

(1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解;

(2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。

2、求三角形解的个数问题:

abc

(1)已知两角A、3与一边由A+B+C=;r及-----=-----=-----，可求出角C,再求/?、c.

sinAsinBsinC

⑵已知两边Z?、c与其夹角A,由〃马2指一位3，求出。，再由余弦定理，求出角3、C

(3)已知三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.

ah

(4)已知两边。、6及其中一边的对角A,由正弦定理——二——，求出另一边人的对角8,由

sinAsinB

C=〃-(A+B),求出c,再由一L=-^求出C,而通过一心=一2一求8时，可能出一

sinAsinCsinAsin3

解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

A>90°A=90。A<90°

a>b一解一解一解

a=b无解无解一解

a>匕sinA两解

无解无解a=bsinA一解

a<b

a<bsinA无解

(见图示).

a=》sinA有一■解8>a>Z?sinA有两解a>b有——解a>〃有一解

3、三角形中常见的结论

(1)在A4BC中sinA>sin3是A>8的充要条件sinA>sinB<=>—>—a>b<^>A>B

2R2R

(2)sin2A=sin25oA=8蜘+8=90°;cos2A=cos28=A=5

(3)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=—cosC;tan(A+B)=-tanC;sin*+'=cos—;cos"+'=sin—.

2222

(4)在AA8C中，tanA+tanB+tanC=tan4tanB-tanC

（-）典型例题

【例21】在三角形ABC中,若。=5,》=6,c=8,则三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.任意三角形

【难度】★

【答案】C

【例22】在三角形ABC中，若a=8力=10,A=30°,则这样的三角形可能有（）个。

A.OB.lC.2D.3

【难度】★

【答案】C

53

【例23I4ABC中，已知cosA=—,sinB=-,则cosC的值为()

135

56一

A,3Dc.3D.3

6565656565

【难度】★

【答案】A

【例24】在三角形ABC中,若a=8,c=14,且5sinA=2sinC+sin8,则b=

【难度】★

【答案】12

【例25］在A48C中，cos2-=（a、b、c分别为角A、B、。的对边），则/V13C的形

22c

状为.

【难度】★

【答案】直角三角形

【例26】在AA8C中，若0<tan4tan3<l,那么AA8C一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.形状不确定

【难度】★

【答案】B

【例27】设锐角AABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、。、c,且。=1,B=2A,

则匕的取值范围为（）.

A.(V2,V3)B.(1,6)C.(V2,2)D.(0,2)

【难度】★★

【答案】A

【例28］已知圆。的半径为R,它的内接三角形ABC中，27?($山24一5亩2。)=(血。一加5山3成

立，求三角形ABC面积S的最大值。

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】

(27?)2(sin2A-sin2C)=27?sinB(亚a-b)/.a2-c2=yj2ab-b2

C+/—C、2立.-.c71

2ab2

i\F5-1

S=-absmC=%ab=y[2R2sinAsinB=亚R?--[cos(/l+B)-cos(/l一B)]

2

-^-/?2[-cosC-cos(A-B)]=^-7?2]~+cos(A-B)

2

—时，SLR4+Y卜”我

【例29】在AABC中，a、b、c分别为内角A、B、。的对边，且

2asinA-(2b+c)sinB+(2c+/?)sinC

(1)求A的大小；

(2)求sin3+sinC的最大值，并试判断取得最大值时AABC的形状.

【难度】★★★

【答案】（1）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）0+（2c+b）c

GPa2=b2+c2+be由余弦定理得a?=6?+。2-20CCOS4故cosA=-』，A=120°

''2

,.„,sin2?+sinC=sinB+sin(60°-B)-—cosB+—sinB

(2)由(z1)得22

=sin(600+B)

故当B=30。时，sinB+sinC取得最大值1。因为sin?A=sin28+sin2c+sin8sinC，又

sin6+sinC=l,得sinB=sinC=」因为0°<8<90°,0°<C<90°,故8=C

2

所以是等腰的钝角二角形。

【例30]在MBC中，出反。分别表示三个内角A、6、C的对边，如果

(a2+/)sin(A-B)=(a2-&2)sin(A+B),判断三角形的形状

【难度】★★

【答案】方法一：

由已知得/[sin(A-B)-sin(A+8)]=b2[-sin(A+8)-sin(A-B)],.,.2a'cosAsinB-lb2cosbsinA.

由正弦定理，得sin?AcosAsinB=sin2BcosBsinA,sinAsinB(sinAcosA-sin8cos5)=0

sin2A=sin28,由0<A+B(肛得2A=23或2A=》—28,即AABC是等腰三角形或直角三角形。

方法二：同方法一可得2a2cosAsinB=2Z?2cosbsinA,由正、余弦定理，即得

a-bb+'二。=b'aa—Ca2(b2+c2-a2)-b2(a2+c2-b2),

2bclac

即(/一82)(c?-a2-b2)=Q

：.a=b或c2=a2+b2,

故A4BC为等腰三角形或直角三角形。

【例31】海岛。上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个观察站A,上午11时测得一轮船在岛

北偏东60的C处，俯角为30,11时10分又测得该船在岛的北偏西60的B处，俯角为60。

（1）该船的速度为每小时多少千米？夕--------------

（2）若此船以不变的航速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？

此时所在点E离开岛多少千米？

图5T6

解题策略在图中找出各时刻所对应的三角形，分别解三角形即-

可

【难度】★★

【答案】（1）在RT^AOB与RTZXAOC中，求得0B=1-（千米），OC=75（千米），由余弦定理得BC=

后,于是航速v=2回（千米/时）

（2）在△OBC由余弦定理得cosNOBC二更叵

26

于是sinNEBO=sin/OBC=^p,sinZBE(?=[180-(ZEBO+30)]Vi|

在aBEO中，由正弦定理得0E=

OBsinZEBO3/工也、八厂OBsinZBOE/工也、

-------------二一（十木），B七=----------------=----（土木）

sinZBEO2V7sinZBEO6

RF1

于是从B到E所需时间t=——=一（小时）=5分钟

v12

【例32】设a,b,c分别是AABC中A,B,C的对边，其外接圆半径为1,且

(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC,b,c是方程

f-3x+4cosA=0的两根(b>c).

(1)求角A的度数及a,b,c的值

(2)判定^ABC的形状，并求其内切圆的半径

【难度】★★★

【答案】(1)由韦达定理得b+c=3,bc=4cosA.

由正弦定理得sinB+sinC=3/2,sinBsinC二cosA

由(sin3+sinC+sinA)(sin3+sinC-sinA)=3sinBsinC=>

2

(sinfi+sinC)"-sinA=3sin5sinCz

将sin3+sinC=2,sinBsinC=cosA代入上式得

2

--sin2A=3cosA.

4

整理得《cos?A-12cosA+5=0

即(2cosA-5)(2cosA-1)=0

/.cosA=LeosA=2(舍去)

22

A=60

仿+c=3,,

/.<:.b>c,b=2,c=\

[be=2

由余弦定理得a=

(2)b2=a2+c2,:.ABC是直角三角形，易得其内切圆的半径为卫」

【例33】在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里

处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距

4072海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东450+0(其中sin0二吟,(0°

＜。＜90")且与点A相距10后海里的位置求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；

(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。

【难度】★★

【答案】(1)1575;(2)会进入。

【例34】在四边形ABCO中，若BC=a,DC=2a,四个角的度数之比为3：7：4：10,求A8的

长。

【难度】★★

【答案】设四个角A、B、a。的度数分别为3x、7x、4x、10x,则有3x+7x+4x+10x=36QP,

解得x=15°,，A=45°、3=105°、C=60°、0=150°连结8D,在5c。中，由余弦定理

得BD2=BC2+DC2-2BC-DCcosC=a2+4(r—2a-2a■—=3a2BD=V3-a.

2

这时。d=Bb+BC,则是以。C为斜边的直角三角形，ZCDB=30°.

ZADB=\2Q0.

A

*“cr4〜>.nBD-sinZADB缶sinl20°VV372

在ABD中，由正弦定理mAB=--------------------=---------------=——产Z

sinZAsin450拒2

AB=-y/2a.

2

【巩固训练】

1.若△ABC的三个内角满足sinA:sin6:sinC=5:ll:13,贝!IA4BC()

A.一定是锐角三角形8.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形。.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角

【难度】★

【答案】C

2»2

2.在ZVIBC中，若a手b,且，_=上_,则NC的大小为______.

tanAtanB

【难度】★

【答案】90P

〃fanA

3.已知在A4BC中，若一=二一，则该三角形为___________________

btanB

【难度】★

【答案】等腰三角形

4.已知(a+b+c)(b+c-a)=30c,则/A=.

【难度】★

jr

【答案】-

3

5.在八43。中，A=60",(1=4拒力=4如,则8等于()

A.45。或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对

【难度】★

【答案】C

6.在aABC中，角A,B,C所对的边长分别为。，b,C,若/C=120°,C=42a,则()

A.a>bB.a<h

C.a=bD.a与匕的大小关系不能确定

【难度】★★

【答案】A

7.在A4BC中，已知角所对的边分别是a,6,c,若(a+6+c)(a+b-c)=3a。，且

2cos4sinB=sinC,试判断AABC的形状.

思路-：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和边巧妙地结

合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.

sinCc

方法一：由正弦定理得----=—,V2cosAsinB=sinC,

sinBb

sinCc*22

，cosA=——，由余弦定理的推论得8§4=二二——

2sinB2b2bc

./-+C--a-=£,化简得。2+02一/=。2,...a=。；

2hc2h

又(tz+Z?+c)(a+b—c)=3ab,・，・(〃+b)?-c~=3cih，

化简得4人2一。2二3〃2,.・./?=。，・・・。=〃=。，即AA5C是等边三角形.

方法二：VA+B+C=TV,sinC=sin(A+B),又2cosAsinB=sinC,

/.2cosAsinB=sin(A+B),2cosAsinB=sinAcosfi+cosAsinB,

/.sinAcosB-cosAsinB=0,/.sin(A-B)=O,

；A,3£(0,〃)，・•・，：.A=Bf

又・.•(a+力+C)(Q+〃-C)=3ab,/.(a-^-b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab,

由余弦定理的推论得cosC=Mi^^ah_1

2ab2

IT

又Ce(0,〃)，；.C=—,又A=B,...AABC是等边三角形.

3

8.在A43C中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,且满足（2^-。）以《4-4©05。=0.

（1）求角A的大小；

（2）若°=百，AABC面积为述，试判断AA8C的形状，并说明理由

4

【难度】★★

【答案】（1）由（2。-c）cosA-acosC=0,由正弦定理得（2sin8-sinC）cos4-sinAcosC=0

/.2sinBcosA-sin（A+C）=Ov0<A<,sinB0,cosA=—,A=—

【解2】.由（2人-C）COSA-QCOSC=0,余弦定理得所c）、2+―工+；：*二0

整理得b~-^c1—a1=becosA='+'----二—

2bc2

・10<Av乃,cosA=—,/.A=—

23

（2）正三角形

9.在AABC中，若tanA:tan3=合：/,试判断AABC的形状。

【难度】★★

【答案】解一：由已知条件及正弦定理可得也生上0="一，A,8为三角形的内角，

cosAsinBsinB

.0.sinAw0,sin8w0,二sin2A=sin2B,，24=23或2A="一23,A=3或

式

A+8=一,所以AABC为等腰三角形或直角三角形。

2

sinA

解二：由已知条件及正弦定理可得毕《=、?，即您0=任4,由正弦定理和余弦定理可

sin8sin-BcosAsin6

cosB

a2+c2-b2

得,千~~,整理，得"一q2c2+。2,2―04=（）,即（/一/）.

b-+c~b

2hc

(a2+b2-c2)^0,a2-b^a2+b2-c2-0,a=b^La2+b2-c2

•.A4BC为等腰三角形或直角三角形。

10.在A48C中，若B=60°,2b=a+c,试判断A43c的形状。

【难度】★★

【答案】方法一：由正弦定理，得2sin8=sinA+sinC。

3=60°,，A+C=120。,即A=120°—C,

代入上式，得2sin60°=sin(120°一。+sinC展开,整理得式.sin(C+30°)=1,二C+30。=90°,

•..C=60°,故A=60°,；.ABC为正三角形.

方法二：由余弦定理，WZ?2-a2+c2-2accosB,

；B=60°,b=a+C,(空与=a2+c2-2accos600,

22

整理，得(a-c)?=0,a=c.从而a=Z?=c,ABC为正三角形。

11.在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P,上午11时，测得一轮船在岛北30°

东，俯角为30。的8处，到11时10分又测得该船在岛北60。西、俯角为60。的。处。(1)求船的航行

速度是每小时多少千米；

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的。处，问此时船距岛A有多远？

【难度】★★

【答案】⑴在RtPA5中，NAPB=60°,PA=l,AB=Gkm

G

在RtPAC中，ZAPC=30°,AC=—km«

3

在ACB中，NC4B=300+6()°=90°

22

BC=VAC+AB='(串2+(回=与

叵」=2回(km/h)

(2)ZZMC=90°-60°=3()°

sinZDCA=sin(180°-ZACB)=sinZACB=—=

BC10

sinZCDA=sin(ZACB-30°)=sinZACS•cos30°-cosZACB•sin30°

(3V3-l)Vio

20

AD

在AC。中，由正弦定理

sinZ£>CAsinZCDAsinZCDA13

解三角形技巧和注意事项：

(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需.直接用正弦定理代入求解即可.

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解

题的难点，应引起注意.

(3)已知三边，解三角形，利用余弦定理；

(4)已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；

(5)①化边为角；②化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、