必修四：平面向量-历年真题

必修四：平面向量-历年真题

一.选择题(共15小题)

—>—》

1.等腰直角4ABC中，A=90。，AB=AC=2,则向量ZB在BC方向上的投影为()

A.V2B.-V2C.—D.------

22

2.AABC中，^AC-BC-AB-AC=Q,则^ABC是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形

3.在平行四边形ABCD中，点F为线段CD上靠近点D的一个三等分点.若病％,

贝」力尸二()

BD=b9I

1-L2TL1-L1-2T

A.-a+-/?B.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b

42332433

4.已知|A=3,|6|=2,|a-J1=719,则之在力上的投影为()

2

D.--

3

5.设a•5=4,若a在匕方向上的投影为3且匕在a方向上的投影为3,则a和b的

夹角等于()

717r27r冗…27r

A.-B.-C.—D.一或一

36333

6.已知向量4B=(3,4),AC=(-1,2),则CB=()

A.(4,2)B.(2,6)C.(5,3)D.(-1,5)

7.已知向量:=(0,-1),b=(1,V3),x@R,则日+x〜的最小值是()

A.1B.0C.2D.4

8.设向量2=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是()

A.\a\=\b\B.a*b=-C.a//bD.(a-&)_Lb

9.若三点A(2,3),B(3,4),C(a,b)共线，则有()

A.a=3,b=-5B.a-b+1=0C.2a-b=3D.a-2b=0

10.已知向量&=(2,2),OB=(4,1),点P在x轴上，且使易•而有最小值，

则点P的坐标为（）

A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)

11.已知平面向量£=(4,1),b=(%/2),且Q与b平行，则x=()

11

A.-8B.-77C.8D.~

22

12.如图所示，D是4ABC的边AB上的中点，记盛4,BA=c,则向量cb=()

13.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量—Q—b=()

22

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

14.AABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sinB=l,向量次(a,

b),q=(1,2).若$〃4,则NC的大小为()

nnn27r

A.-B.-C・-D.—

6323

15.已知向量1(2,3),b=(6,x),且盂，％,则x的值为()

A.4B.-4C.-9D.9

二.填空题(共9小题)

16.已知京=必由+伙於，则△ABM与△ACM的面积的比值为.

—»——T

17.向量a=(2,3),b=(4,-1+y),且a〃6则y=.

、TTTT、7T571

18.设a=(sinx,sinx),b=(-sinx,m+1),若a•匕二m在区间(一，—)上有三

66

个根，则m的范围为.

19.已知平面向量京b,a=(V3,1),\b\=l,\a+2b\=243,则左力的夹角大

小为

1

20.如图，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F,AE=-AD,则

21.已知单位向量就与居所夹的角为60。，贝I](3/-2J)•(/+扇)=

22.已知^ABC中，BC=4,AC=8,ZC=60",则BC•S=.

—>…T———

23.已知a=(-3,4),若|匕|=5,b_La,则向量b=.

—»T—»——>T——

24.若向量a,b满足|a|=l,|b|=2且a・b=V^,则a与b的夹角为.

三.解答题(共11小题)

―>―»―>._>

25.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(-/，1).

(1)若|"|=2且a//c,求］的坐标；

—TTTTTT

(2)若|匕|=V2,(a+3b)_L(a-b),求向量a,匕的夹角的余弦值.

26.如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点。为圆心的单位圆。与x正半

7T

轴的交点，在圆心角为,的扇形AOB的弧AB上任取一点P,作PNLOA于N,

连结P0,记NPON=6.

(1)设△PON的面积为y,使y取得最大值时的点P记为E,点N记为F,求此

时办•办的值；

(2)求k=a|PW|«|O7V|+V2OP-OE(aGR,E是在(1)条件下的点E)的值域.

—»

27.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A(1,1),B(2,0),|OC|=1.

(1)求后与办夹角；

(2)若儿与小垂直，求点C的坐标；

(3)求|&+&+■|的取值范围.

28.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐

—>—>—>—>

标为14,且。P=APB,点Q是边AB上一点，且。QTP=0.

(1)求实数人的值与点P的坐标；

(2)求点Q的坐标；

(3)若R为线段OQ上的一个动点，试求丽・(总+前)的取值范围.

29.如图，三角形ABC中AB=3,AC=6,ZBAC=60°,D为BC中点，E为中线AD

的中点.

(1)试用向量易和能表示W；

(2)求中线AD的长；

(3)求BE与2。所成角0的余弦值.

(1)求f(x)的单调递增区间；

71

(2)当x@[0,5]时，求f(x)的值域.

—>—>—>

31.(I)化简AC-BD+CD；

(II)如图,平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点,G为交点,若薪=%,

AD=b,试以a,5为基底表示DE、BF、CG.

DFC

—>—»—>._>

32.已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)

(1)若|工|=2五,Kc//a,求)的坐标;

(2)若历|=苧，且喔+25与2工-b垂直，求工与b的夹角6.

33.如图，已知在三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.

(1)求向量易+元+鼠的模；

(2)若长为10的线段PQ以点A为中点，问而与盛的夹角6取何值时的

值最大？并求这个最大值.

34.已知向=2一,\q\=3,p,3的夹角为3如图，^AB=5p+2^,AC=p-3q,

4

D为BC的中点.

(1)求3弓的值;

(2)用向量3•［表示向量4D；

(3)求向量向的模.

35.在4ABC中，a、b、c分别是角A、B、(：的对边，m=(2a+c,b),n=(cosB,

cosC),JLm±n.

(1)求角B的大小；

(2)设f(x)=2sinxcosxcos(A+C)--cos2x,如果当xG[0,1时,不等式f

22

(x)+入NO恒成立，求人的最小值；

(3)在(2)的条件下，若将f(x)图象向左平移t(t>0)个单位后，所得图

象为偶函数图象；将f(x)图象向右平移s(s>0)个单位后，所得图象为奇函

数图象，求s+t的最小值.

必修四：平面向量-历年真题

参考答案与试题解析

一.选择题（共15小题）

1.等腰直角4ABC中，A=90。，AB=AC=2,则向量易在病方向上的投影为（）

A.A/2B.-V2C.—D.------

22

【解答】解：等腰直角4ABC中，A=90°,AB=AC=2,则向量易在fib方向上的投

-»7T一

影为：ABcos(n-B)=-2Xcos-=-V2；

4

故选B.

2.AABC中，^AC-BC-AB-AC=O,则^ABC是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形

【解答】解：因为4ABC中，^AC-BC-AB-AC=AC'（BC-AB）=AC-（BC+

BA）=0,所以AC与AC边上的中线垂直，所以AABC是等腰三角形；

故选：B.

T—>

3.在平行四边形ABCD中，点F为线段CD上靠近点D的一个三等分点.若2C=a,

―>-»―>

BD=b,则/尸二()

ITL2TLI-LI-2T

A.-a+-bB.-a+-bC.-bD.-a+—b

42332433

【解答】解：设力B二益AD=n.

贝1」力67=。=48+AD=m+n,BD=b=AD—AB=n-m,

-ITTTITT

「・m=~(a_b),n=-(a+b).

TTTTIT—ITIT11-»2->1

贝IMF=力。+DF=AD-^-AB-n^—m=-(a+6)+-X-(a-b)=-a+-b.

3323233

故选：B.

D

AB

4.已知㈤=3,A|=2,贝昨在力上的投影为（）

3322

A.—B.-C•一D.—

2233

【解答】解：吊1=3,|b|=2,吊-b|=V眄,

可得（a-b）2=19,

即为京-2a*b+b2=19,

即有9-2a*b+4=19,

可得%b=-3,

T7

则改在1上的投影为挈=三=-

\b\22

故选：A.

5.设a•5=4,若a在b方向上的投影为且b在a方向上的投影为3,则a和b的

夹角等于（）

71712TlTlyzn

A.—B.—C.—D.一或一

36333

【解答】解：设靛口力的夹角为&

————

由联6=4,可得|a|•|b|cos0=4,

TT272

若a在匕方向上的投影为则|a|cos6=],

——T

匕在a方向上的投影为3,则|b|cos6二3,

一,1

综上可得cos0=-,

由于oweWn,

i.7T

则0=-.

故选A.

6.已知向量薪=(3,4),AC=C-l,2),则而=()

A.(4,2)B.(2,6)C.(5,3)D.(-1,5)

【解答】解：•向量易=(3,4),AC=(-1,2),

CB=AB-AC=(4,2).

故选：A.

—>———

7.已知向量Q=(0,-1),b=(1,V3),XQR,贝！J|b+xa|的最小值是()

A.1B.0C.2D.4

TT

【解答】解：・.,向量(o,-1),b=(1,V3),x£R,

.\a-b=-^39|a|=l,|-&|=2.

——>112-2——i-----------------------------IZ

贝UI匕+xa|="+x2a+2xa-b=V%2—2V3x+4=J(%—V3)2+1^1,当且仅当

x=K时取等号.

...1+x〜的最小值是1.

故选：A.

8.设向量i(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是()

—T—TT

A.\a\=\b\B.a»b=~C.a//bD.(a-b)_Lb

【解答】解：•••:=(2,0),b=(1,1),：.\a\=2,|b|=V2,故A不正确.

a-b=(2,0)•(1,1)=2+0=2故B不正确.

":Xiy2-x2yiWO,...C不正确.

Ca—b)•b=a-b-b=2-2=0,故G—b).Lb,故D正确.

故选D.

9.若三点A(2,3),B(3,4),C(a,b)共线，则有()

A.a=3,b=-5B.a-b+1=0C.2a-b=3D.a-2b=0

4-3

【解答】解：由题意可知的斜率为

ABk1=-=1,

b—4,

BC的斜率为k=―-)

2a—3

：三点A(2,3),B(3,4),C(a,b)共线，

b-4

/.ki=k2，BP------=1?

CL—3

化简可得a-b+l=O

故选：B

10.已知向量办=(2,2),OB=(4,1)，点P在x轴上，且使易•丽有最小值,

则点P的坐标为()

A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)

【解答】解：设点P的坐标为(x,0),可得

AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1).

因止匕，AP-BP=(x-4)(x-2)+2=x2-6x+10=(x-3)2+l.

•••二次函数当时取得最小值为

y=(x-3)2+1,x=31

・•.当x=3时，丽・丽取得最小值1,止匕时P(3,0).

故选：C

11.已知平面向量盂=(4,1),b=(%,2),且a与b平行，则x=()

11

A.-8B.—«C.8D.—

22

【解答】解：由a与匕平行，得4X2-lXx=0,即8-x=0,解得x=8,

故选C.

12.如图所示，D是4ABC的边AB上的中点，记病二，北工，则向量2)=()

D

RC

—1—T1-

A.-a-cB.-a+2cC.ct-2cD.a+2c

—1T1—»

【解答】解：：D是aABC的边AB上的中点，.”。二匆^二乩

TTT—7

在4BCD中，由向量的三角形法则可得CD=CB+BD=-a+^c.

故选B.

一T-173T

13.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量-a--匕=()

22

A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)

【解答】解：平面向量i(1,1),b=(1,-1),

3-13

则向重―a—b=—(1,1)—(1,-1)=(-1,2).

2222'7

故选：D

14.AABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sinB=l,向量还(a,

b),q=(1,2).若。〃9，则NC的大小为()

7T71n2n

A.-B.-C.-D.—

6323

,n,,CL

【解答】解:由sinB=l.\B="itAABC中cosC=-

又由逛(a,b),q=(1，2)p//q

b

/.2a-b=0.-.a="

2

1n

故cosC="/.C=一

23

故选B.

15.已知向量盂=(2,3),~b=(6,x),且14,则x的值为()

A.4B.-4C.-9D.9

【解答】解：向量1（2,3）,b=（6,x）,且工，力，

2X6+3x=0,

解得：x=-4.

故选：B.

二.填空题（共9小题）

16.已知八=以靠+小+，则△ABM与△ACM的面积的比值为B：a.

【解答】解：由京=戊易+0£7,以AD,AE为邻边作平行四边形ADME,延

长EM交BC与F,AE=0AC,AD=aAB

S“CADSfBMae〃

----------=—=a,------------=—=p,

SAABCABS&ABCAC

则aABM与△ACM的面积的比值为仇a

故答案为：B：a

T———

17.向量a=(2,3),b=(4,-1+y),且a〃6则v=7.

——T—

【解答】解：：a=(2,3),b=(4,-1+y),且a〃b,

/.12=2(-1+y),解得：y=7,

故答案为：7.

、TTTT、7T57r

18.设a=(sinx,sinx),b=(-sinx,m+1),若二m在区间(一，一)上有三

66

个根，则m的范围为(亍，1).

―>7

【解答】解：a-b=—sin2x+(m+l)sinx=m,

7T

设f(x)=a-b—m=-sin2x+(m+1)sinx-m=(1-sinx)(sinx-m)=0,

解得sinx=l或sinx=m.

n

当sinx=l时，x=—,只有一个解.

当sinx=m时，有两个解，此时；<m<l,

故m的范围是8，1)

——————T—

19.已知平面向量a,b,a=(V3,1),\b\=l,\a+2b\=243,则a,b的夹角大

,7T

小r为m.

【解答】解：由已知之=(VX1),\b\=l,\a+2b\=2V3,得注2V2=12,

_>2->2_3—>_>->_>->_>—>

所以a+4匕+4a•5=12,所以4+4+4a•匕=12,解得a•5=1,所以a,5的夹角的

T7

余弦值为77f

⑷网2

TTU

所以a,b的夹角大小为5.

7T

故答案为：

1——

20.如图，在边长为3的正方形ABCD中,AC与BD交于F,AE=-AD,则EF-BD=-

3-------

【解答】解：由题设，可以AB所在直线为X轴，以AD所在直线为Y轴建立平

面直角坐标系，

故有A(0,0),B(3,0),C(3,3),D(0,3),E(0,1),F(1.5.1.5).

则京-盛;(1.5,0.5)•(-3,3)=-4.5+1.5=-3,

故答案为：-3.

一TT一T—3

21.已知单位向量易与己所夹的角为60。，则(3/-2J)•([+■)=~.

【解答】解：•••单位向量/与苴所夹的角为60。，

—>—>—>―>—>2—>—>—>—>—>2

「・(3ei-25•(ei+e2)=3ei+3C2-2C2-2。2

=3X12+3X1X1XCOS60°-2X1X1XCOS60°-2X12

3

=3+--1-2

2

3

-2.

3

故答案为：

22.已知^ABC中，BC=4,AC=8,ZC=60°,则BC・%=-16.

【解答】解：因为^ABC中，BC=4,AC=8,ZC=60°,

-CA=\BC\|C4|cosl20°=-16.

故答案为：-16.

23.已矢启=(-3,4),若|[=5,b±a,则向量4=(4,3)或(-4,-3)

【解答】解：设，=(%,y),

*/\b\=5,bl.a,a=(-3,4),

Jx2+y2—5

、一3%+4y=0

—>

：.b=(4,3)或(-4,-3).

故答案为：(4,3)或(-4,-3).

-TTTTTTC

24.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且则a与b的夹角为二

7T

【解答】解：设a与b的夹角为e,则ee[o,用,

T—TT

*/|a|=1,|6|=2且

a•b=lX2Xcos0=V2,

,V27T

解得cose二一，/.6=—

24

7T

故答案为：-

4

三.解答题(共11小题)

—>—,―>___>

25.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(-/，1).

(1)若［3=2且a//c,求"的坐标；

——>TTTT—

(2)若|b|=V2,(a+3b)_L(a-b),求向量a,匕的夹角的余弦值.

【解答】解：(1)设"二(m,n),

若|c|二2且a//c,其中a=(-V2,1),

可得rr^+r^%m=-V2n,

皿02V62遮72V62V3

解得m=--------,n=------或m=------，n=---------

3333

…2V62V3一2V62V3

则”(一二―，二-)或(二-，一二-)；

3333

(2)若[(-42,1),可得屁=百，

又|b|=V2,(a+3b)_L(a-b),

可得(a+3b)•(a-6)=a2-362+2a»&=0,

即有3-3X2+2a*J=0,

TT3

可得a・b=一,

2

TT

ab1―渔

向量卷b的夹角的余弦值为

\a\-\b\V3xV2-4,

26.如图，在平面直角坐标系xoy中，A为以原点。为圆心的单位圆。与x正半

TC

轴的交点，在圆心角为石的扇形AOB的弧AB上任取一点P,作PNLOA于N,

连结PO,记NPON=6.

(1)设△PON的面积为y,使y取得最大值时的点P记为E,点N记为F,求此

时办•办的值；

(2)求k=a|P7V|«|O7V|+V2OP-O£1(a£R,E是在(1)条件下的点E)的值域.

【解答】解：(1)ON=cos0,PN=sin0,

/.y=-cos0sin0=-sin20,

当。=今时，y取得最大值，止匕时E(―,—F(―,0),

：.0E-0F=~.

2

t—yplV2

(2)0P=(cos0,sin0),0E=(—,—),

22

—TV2V2V2

J.OP•0E=—cos0+—sin0=—(sin0+cos0),

222

/.k=asin0cos0+sin0+cos0,

sin0+cos0=V2sin(6+J)=t,贝！JsinBcosB=------，

47f

n77r

Al<t<V2,

LC7

H=-t

2

①若a=0,则f(t)=t,.\f(t)的值域为(1,V2］；

②若a>0,则f(t)的对称轴为直线x二—<0,

Af(t)在(1,V2］上单调递增，

a

Af(1)<f(t)Wf(V2),即f(t)的值域为(1,-+V2］；

2

③若a<0,则f(t)的图象开口向下，

1

若--W1,即aW-1时，f(t)在(1,V2］上单调递减，

a

a

Af(t)的值域为［广②1);

若「即-坐WaVO时，f(t)在(1,迎］上单调递增，

a2

Af(t)的值域为(1,-+V2］；

2

若即:时，f(t)在(1,V2］上先增后减，

［_CZ,2_1

・・・f(t)的最大值为f(--)=——，

CL2CL

11+A/2CL/-

若1V—《V--------,即-l<a<2-2V20t,则f(t)的最小值为f(V5)=—+，2,

“22

1।/21j2

若----W--<42,即2-2V2Wa<-J则f(t)的最小值为f(1)=1,

2a2

综上，当a=O时，f(t)的值域为(1,V2］；

a—

当aW-1时，k的值域是［万+/，1)；

当3>-,且aWO时，k的值域是(1,—+V2］；

22

CL/——a2一］

-1VaV2-2迎时，k的值域是［一+V2,--------］；

22a

—a2—1

当2-2V^Wa<------时，k的值域是(1,----------］.

22a

27.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,1),B(2,0),\OC\=1.

—>—>

(1)求。a与。B夹角；

(2)若儿与小垂直，求点C的坐标；

—>—>―»

(3)求ItM+OB+OCl的取值范围.

【解答】解：因为在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,1),B(2,0),

所以(£1=(1,1),05=(2,0),

—»—»

ttOA,OB2V2

所以(1)04与OB夹角的余弦值为r—所以夹角为45。；

\OA\\OB\2V22

(2)设儿=(x,y).因为儿1与后垂直，X|OC|=1.

r^

-

X-/2jX--

或

所以

222zVT2或

c(V2一c

x+y—1^\,

所以,解得—22

l-

x+y=0y-V2y--2

(一也—也)

122人

(3)由以上得至1」办+办+左=(3+x,1+y),\OA+OB+OC\2=(X+3)2+(y+1)2,

又x2+y2=l,所以|小+法+&7|的最大值为VTU+1,最小值为VTU-l.

28.已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐

标为14,且办=4而，点Q是边AB上一点，且茄•届=0.

(1)求实数人的值与点P的坐标；

(2)求点Q的坐标；

(3)若R为线段0Q上的一个动点，试求丽・(易+病)的取值范围.

—>—>—>—>

【解答】解：(1)设P(14,y),则。P=(14,y),PB=(-8,-3—y),由。P=MB,

得(14,y)=入(-8,-3-y),解得2=-[,y=-7,所以点P(14,-7).

(2)设点Q(a,b),则&2=(a,b),又扉=(12,-16),则由局•/=(),

得3a=4b①又点Q在边AB上，所以工=-,即3a+b-15=0②

—4U—6

联立①②，解得a=4,b=3,所以点Q(4,3).

(3)因为R为线段0Q上的一个动点，故设R(4t,3t),且OWtWl,则

TT—»

RO=(-4t/-3t),RA=(2—439—3t),RB=(6——3—,

RA+RB=(8-8t.6-6t),则RO-(RA+RB)=-4t(8一8t)-3t(6-

6t)=50t2-50t=50(t-^)2-(0<t<1),故>。-(R4+/?8)的取值范围为

29.如图，三角形ABC中AB=3,AC=6,ZBAC=60°,D为BC中点，E为中线AD

的中点.

(1)试用向量易和能表示G；

(2)求中线AD的长；

(3)求麻与易所成角6的余弦值.

―1——

【解答】解：（1）根据题意，得AD7（AB+AC）；...（2分）

—2—>2]——2

（2）,：\AD\=AD=-{AB+AC）

172TT-2

=-CAB+248•力C+/C）…（4分）

4

1,

=-（329+2X3X6XCOS60°+62）

4

63八

——，...（5分）

4

।t।3近八

/.\ADI=—^~；...（6分）

->1-

（3）\・BE=BA+AE=-AB+-AD

2

T1T1T

=-AB^-AB^-AC

44

3T1T八

=—AB^-AC,...（7分）

44

—22—1T2

-\BE\=（—%B+3C）

9T23I.t1t2

=—AB2X-X-力力C

164416

813136

=--------X3X6X-+一

168216

81-54+3663

=,...（8分）

1616

♦3夕

BFk——（9分）

4

.BEAD

••COS0-t—>

\BE\X\AD\

3T1T1TT

(^——AB+—i4C),—(TlB+ilC)

=！V7x|V7

4Z

13II1

式一？9+?36-5X3X6X5)

_9X7

8

1-27+36-18

-X

24

9X7-

8

-91

(10分)

9X7~7

30.设。二(cosx,sinx),b=(cosx,V3cosx),f(x)=a・b,x£R.

(1)求f(x)的单调递增区间；

n

(2)当x£[0,5]时，求f(X)的值域.

1

【解答】解：(l)f(x)=cos2x+V3sinxcosx=-(cos2x+l)

V371n17T1

+—sin2x=cos2xcos-+sin2x*sin-+-=cos(2x--)+一，

233232

n

当2x—F[Zkn+n,2kn+2n],k£Z,时,f(x)单调增，

3

2TT77rl

xER[kn+—,n+—],k£Z,

36

27r7TC

工函数f(x)的单调增区间为[kn+—，n+—],kFZ,

36

jl7T7T27rTC1

(2)当x£[0,T时，2x—£[—,—],令u=2x—，f(x)=cosu+-

233332

TT27T

函数f(x)在[--，0]上递增，在[0,一]上递减，

33

n127rl

/.cos(—)二一，cosO=l,cos—二—，

3232

TC3

...X当G[o,5]时，f(X)的值域为[0,

31.(I)化简A-BD+CD；

(II)如图，平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,DC的中点,G为交点，若2B=Z,

AD=b9试以Q,力为基底表示DE、BF、CG.

【解答】解：(I)AC-BD+CD=AC+CB=AB9

T—>—>—T—»-♦H

CH)DE=AE-AD=AB+BE-AD=a+^b-b=a-^b,

—»—>—>TTT-»H

BF=AF-AB=AD+DF—AB=b+2a—a=b—②。，

VG是Z^CBD的重心,

T[T[Ti->

：・CG=-^CA=—^AC=­§(Q+b).

—>—»—>.._>

32.已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,2)

(1)若4|=2~,且)〃热,求"的坐标;

—-y5—T

(2)若|b|二万，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角

【解答】解：(1)设"=(%,y),

V|c|=2A/5,且1〃

(y-2x

=20，…(3分)

(%2+y2

解得妆二咪：二]…(5分)

故c=(2,4)或c=(―2,-4).…(6分)

(2)*/(a+2b)1(2a—b),

A(a+2b)•(2a—b)=0,

—T——

即2a2+3a-b-2b2=0,...(8分)

TT5

2x5+3d,b-2x4=0,

整理得Ta-bT=-C/…(10分)

.".cos3=a=—1,...（12分）

A\b\

又：eG[o,n],，e=Ti.…（14分）

33.如图，已知在三角形ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.

（1）求向量易+G+筋的模；

（2）若长为10的线段PQ以点A为中点，问而与盛的夹角6取何值时由3・衣?的

值最大？并求这个最大值.

【解答】解：（1）+2C+BCI=(AB+AC+BC)

=[AB+AC+BC+2AB-AC+2AB-BC+2AC-BC

=J3*2+42+52+2X3X4X0+2X3X5X(-|)+2X4X5X1

=79+16+25+0-18+32=