2019-2020学年人教A版海南省临高中学高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合4={x|0Vlog4*V1},B={x|x^2),贝114ng()

A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]

2.已知aGR,贝"ua<T,是“孑V2a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设a=3"3,b=logn3,c=log0.3e,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

4.已知a为第三象限角，则：所在的象限是（）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

5.函数y=asinA+1的最大值是3,则它的最小值是（）

A.0B.1C.-1D.与a有关

6.设函数式（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=T+x-3,贝寸f（x）的零点

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.要得到函数尸cos（4—）的图象，只需将函数y=sin§的图象（）

242

TT

A.向左平移单位长度B.向右平移夕个单位长度

7T向右平移生个单位长度

C.向左平移一个单位长度D.

44

TT17

8.若0VaV-^-VBVIT,且cos|3=—-,sin（a+B）=—,则sina的值是（）

239

A.—B.—C.1D.23

2727327

二.多项选择题

9.已知/=｛第一象限角｝,5=｛锐角｝,餐｛小于90°的角｝,那么/、B、C关系是（）

A.B=AV\CB.BUC=CC.B^A=BD.A=B=C

10.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=xB.y=xC.y1D.y=）x

11.下列函数，最小正周期为n的偶函数有()

A.y=tanxB.y=|sinx|

兀

C.y=2cosxD・y=sin(--2x)

a(a》b)

12.定义运算a㊉b=<设函数A(x)=1©2-x,则下列命题正确的有()

b(a<b)'

A.f(x)的值域为[1,+8)

B.f(x)的值域为(0,1]

C.不等式,(A+1)<f(2X)成立的范围是(-8,0)

D.不等式/(/1)<f(2x)成立的范围是(0,+oo)

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数f(x)=/一+"Q>0且a丰1)的图象恒过定点?(勿，2),则/n=.

14.若cosa)=—,贝寸sin(^^-a)=

356---------

15.已知x>0,y>0,lglx+l^y=Igl,则工斗上的最小值是_____

x3y

16.对函数y=A(x)=4sin(2妙三)(xGR)有下列命题：

3

①函数y=/(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-2-)

6

②函数y=5(x)是以2n为最小正周期的周期函数

③函数y=f(.X)的图象关于点(——,0)对称

6

④函数y=，(x)的图象关于直线x=-对称

6

其中正确的命题是

四,解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知tanx=2,

(1)求ssx+Enx的值.

cosx-sinx

(2)求2sin\-sinxcosA+cos%的值.

18.已知。<-0-<,sina=~-.

2u

(1)求tana的值；

(2)求cos2a+sin(a旺-)的值.

19.已知函数f(x)=x」.

X

(I)求证函数f(x)为奇函数；

(II)用定义证明：函数r(X)在(1,+OO)上是增函数.

20.已知A(x)=loga(1-x)(a>0,a芋1).

(1)求，(x)的定义域；

(2)求使A(x)>0成立的x的取值范围.

21.已知函数y=sin3+求：

(1)函数y的最大值，最小值及最小正周期；

(2)函数y的单调递增区间.

22.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p

与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当te(0,14］时，曲线是二次函数图

象的一部分，当tG［14,40］时，曲线是函数y=logv(t-5)+83(a>0,且a学1)图

象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.

(1)试求°=尸(力)的函数关系式；

(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳

时讲完？请说明理由.

参考答案

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={x|0Vlog4xV1},B={x|x^2},贝44ng()

A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2]

【分析】求出集合4中其他不等式的解集，确定出4找出4与夕的公共部分即可求出

交集.

解：由4中的不等式变形得：Iog41<Iog4x<Iog44,

解得：1VxV4,即/=(1,4),

•：B=(…，2],

：.AV\B=(1,2].

故选：D.

2.已知aGR,贝4aa<2n是“才〈2成‘的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】当aGR时，由aa<2n推导不出“82a”，ai<2an="0VaV2”，故“a

<2n是“/V2a”的必要不充分条件.

解：“0VaV2"="a2V2a”，

“aVO”=“才>2a”，

“a=0"n"3=2a”.

ua<2ann“0VaV2”，

“aV2”是“3V2a”的必要不充分条件.

故选：B.

3.设a=303,b=logn3,c=logo.3e,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【分析】考查函数y=3",y=lognX,y=logo.3X的单调性，借助于0和1,对a、b、c

比较大小.

解：•.•y=3'是定义域上的增函数，

:.5=303>3°=1,

又・・・y=lognx是定义域上的增函数，

/.0=Iogn1<IOgn3<IOgnn=1,

又・.,y=logo.3*是定义域上的减函数，

**•c—Iogo.3eVIogo.3I=0,

:.a>b>c;

故选：A.

4.已知a为第三象限角，则所在的象限是()

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

【分析】a为第三象限角，即2k兀+兀<a<2k兀表示出然后再判

断即可.

解：因为a为第三象限角，即2k兀+n<a〈2k冗呼《ez,

71aQTT

所以，k兀兀告TWZ当〃为奇数时它是第四象限，当〃为偶数时它是

224

第二象限的角.

故选：D.

5.函数y=asinA+1的最大值是3,则它的最小值是()

A.0B.1C.-1D.与a有关

【分析】直接利用正弦函数的性质的应用求出结果.

解：函数y=asinA+1的最大值是3,

则当sinx=1时，可以求出a=2.

所以当sinx=T时，函数的最小值为-2+1=-1.

故选：C.

6.设函数尸(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2*+x-3,贝4f(x)的零点

个数为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函

数A(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据

奇函数的对称性确定答案.

解：；函数尸(X)是定义域为R的奇函数，

f(0)=0,所以0是函数A(x)的一个零点，

当x>0时，令A(x)=2*+x-3=0,

则2'=-A+3,

分别画出函数y=2",和/=-公3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数/'(x)有

一个零点，

又根据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.

综上所述，f(x)的零点个数为3个，

故选：C.

7.要得到函数尸cos(4—)的图象，只需将函数尸sin号■的图象()

242

A.向左平移与二个单位长度B.向右平移三■个单位长度

C.向左平移二个单位长度D.向右平移三■个单位长度

44

【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sirr|■到

y二cos■二)的路线，即可得到选项.

.(X兀、_・/X兀兀、_./x兀、

解：y=cos(y-^-)=sin(y-=

只需将函数y■二sirr^■的图象，向左平移-个单位长度得到函数y==

故选：A.

JT1.7一,

8.若OVaV-「丁VBVTT,且cosB=-----,s(a+3)=—,则sina的值是()

239

1

ABC.

-5-搭3

【分析】先根据已知条件分别求得sin。和cos（a+B）的值，最后利用正弦的两角和

公式求得答案.

jrn?i7

解：由OVaV-^—VBVTT,知-^-Va+BV^>n且cosB=----,sin(a+3)=—,

22239

得sinB=^^,cos(a+0)=-

39

Asina=sin[(a+B)-3]=sin(a+B)cos0-cos(a+0)sin0=—.

3

故选：c.

二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知4=｛第一象限角｝,4｛锐角｝,餐｛小于90°的角｝,那么AB、C关系是（）

A.B=AV\CB.BUC=CC.B^A=BD.A=B=C

【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断

出选项8,C都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一

象限角，从而可判断选项/错误，而选项。显然错误，从而可得出正确的选项.

解：•.•“小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，

:.BQC,BQA

：.BUC=C,BC\A=B-,

•.•“小于90°的角“里边有"第一象限角”，从而屏4DC.

故选：BC.

10.下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=xB.y=xC.y1D.y=）x

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.

解：根据题意，依次分析选项：

对于4,y=x,是正比例函数，在区间（0,+8）上单调递增，符合题意；

对于8,y=f,是二次函数，在区间（0,+oo）上单调递增，符合题意；

对于c,y=—,是反比例函数，在区间（0,+8）上单调递减，不符合题意;

对于。，y=（^）,,是指数函数，在区间（0,+8）上单调递减，不符合题意;

故选：AB.

11.下列函数，最小正周期为n的偶函数有（）

A.y=tanxB.y=|sinx|

兀

C.y=2cosxD.y=sin（--2x）

【分析】由题意利用三角函数的周期性和奇偶性，得出结论.

解：函数y=tanx的最小正周期为IT,且该函数为奇函数，故排除彳；

函数y=|sinx|的最小正周期为n,且该函数为偶函数，故8满足条件；

函数y=2cosx的最小正周期为2TT,且该函数为偶函数，故C不满足条件，故排除C;

jr97T

函数y=sin（-^--2x）=cos2x的最小正周期为一^―=n,且该函数为偶函数，故D

满足条件，

故选：BD.

a(a》b)

12.定义运算a㊉b=<设函数A（x）=1㊉2一二则下列命题正确的有（)

b(a<b)'

A.f（x）的值域为［1,+8）

B.f（x）的值域为（0,1］

C.不等式尸（/1）<fC2x）成立的范围是（-8,0）

D.不等式尸（A+1）<f（2x）成立的范围是（0,+oo）

【分析】由题意知写出函数A（X）的解析式，画出函数，（X）的图象，结合图象判断选

项中的命题是否正确即可.

解：由题意知，函数A（x）=1㊉2一"=<份）'X<0,画出函数“x）的图象，如图

1,x>0

所示；

所以A（x）的值域是［1,+8）,选项力正确，8错误；

由A（x）在（-8,0）上是单调减函数，

x+l<0

不等式尸（/1）<尸（2x）可化为，2x<0，解得xV-1;

x+l>2x

又xG[-1,0）时，A+1^0,f（A+1）=1;

2x<0,f（2x）>1,所以尸（妙1）<f（2x）;

综上知，不等式2（/1）<f（2x）成立的范围是（-8,o）,所以C正确，。错误.

故选：AC.

产附y

-5-4-3-2-1（F12345>x

-1-

-2-

-3-

-4~

-5L

三,填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数A（x）=a"r+〃（a>0且aH1）的图象恒过定点夕（w,2）,则㈤■〃=3.

【分析】令解析式中的指数2x-4=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定

点的坐标，结合条件列出关于m,〃的方程，解之即得.

解：令2x-4=0解得，x=2,代入5（x）=才"4+"得，y="1,

.•.函数图象过定点（2,"1）,

又函数A（x）=ax-i+n（a>0且a#=1）的图象恒过定点。（加，2）,

/./77=2,"1+2,/.n=1,

则研"=3

故答案为：3.

14.若cosa）=—,贝sin（-^-a）=—

356~5~

【分析】由题意利用诱导公式，求得所给式子的值.

解：cos（2--a）=—,贝Usin（工）=cos[-^--（二--a）]=cos（'--a）

356233

=旦

T

故答案为：

5

15.已知x>0,y>0,I赳+1第=1数,则工的最小值是4.

x3y

【分析】由对数的运算性质，①2、+/财=/材+历2"=（A+3y）Igl,结合题意可得，/3y

=1;再利用1的代换结合基本不等式求解即可.

解：/g2x+历8』/g2x+历2如=(A+3y)/g2,

又由/@+1酣=1@,

贝IA+3y=1,

进而由基本不等式的性质可得，

--^~~=(A+3y)(—)=2+'+*22+2=4,

x3yx3yx3y

当且仅当x=3p时取等号，

故答案为：4.

JT

16.对函数y=F(x)=4sin(2A+-^-)(XER)有下列命题:

3

①函数y=A(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-

6

②函数y=，(x)是以2n为最小正周期的周期函数

③函数尸/(必的图象关于点(-二，0)对称

6

④函数y=A(x)的图象关于直线x=-2-对称

6

其中正确的命题是①③.

【分析】利用诱导公式化简①，判断正误；求出周期判断②；求出函数的对称中心判定

③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答.

解：®f(x)=4sin(2A+-^-)=4COS2x-=4cos(2A+—---)=4cos

32332

②最小正周期7="=等=TT②不正确；

32

③，(x)=4sin(2/一丁)的对称点满足(x,0)

O

C兀，/兀、兀

2A+——=〃TT,x=(k----)——kGZ

3K32

(-；TT，o)满足条件

6

„TT

@f(x)=4sin(2/f)的对称直线满足

o

c兀ft兀

2A+—=(A+—1)\n；x=(A+—)—

3262

x—―---不满足

6

故答案为：①③

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知tanx=2,

cosx+sinx

(1)求•的值.

cosx-sinx

(2)求ZsiMx-singos^+cos，的值.

【分析】（1）表达式的分子、分母同除cosx,得到tanx的表达式，即可求出结果.

（2）利用si吊户005%=1,在表达式的分母增加“1",然后分子、分母同除cos?*,得

到tanx的表达式，即可求出结果.

.zxcosx+sinx1+tanx1+2-

解：（41）----------；—=v-—=v^r=-3

cosx-smx1-tanx1-2

/.222sin2x-sinxcosx+cos^x_

\2.）2sinx-sinxcosx+cosx=------------------------3-----------=

sinx+cosx

2

2tanx-tanx+l_7

tan2x+l5

18.已知0<a<门，sin。=-^-.

25

(1)求tana的值；

（2）求cos2a+sin（a七「）的值.

【分析】（1）（2）根据同角三角函数关系式，二倍角公式，诱导公式求值即可.

解：(1)v0<a<2Lfgina=4.

25

.•.cosa=7i-i2—_3

sna-T,

siriCI

刃6么：tana=4

cosCl3

⑵由cos2a+sin(a+^)=cos2a-sin2a+cosa=-^-1|+|-=-^

19.已知函数f(x)=x」.

x

(I)求证函数f(x)为奇函数；

（II）用定义证明：函数尸（x）在（1,+8）上是增函数.

【分析】（।）利用奇函数的定义，考查尸（-x）=-r（x）在定义域内是否恒成立，

若是则为奇函数，否则不是奇函数.

（II）利用增函数的定义，证明对于（1,+8）内任意的必VX2,都有A（x）<f（X2）

即可.

解：（I）证明：函数的定义域是（-8.0）U（0,+8）

由f（x）=x+"l,

X

可得f（-乂）=-乂"*"-^二-（乂二）二-£（X）,

-xX

所以函数f（X）为奇函数.

(II)任取格，的£(1,+°°),JL%i<xz,

/、/、11x2-Xix1X2-1

则£年|)-£(*2)=*1晨;-2*=6「*2)卞7=51-2)不77

由M,此£(1,+°°),JL%1<^2,可知MV必，XyX2-1>0,

所以f（X）<f（也）.

即A(*)<f(x2),

所以函数f(X)在(1,+8)上是增函数

20.已知A(x)=Ioga(1-x)(a>0,a#=1).

(1)求f(x)的定义域；

（2）求使5（x）>0成立的x的取值范围.

【分析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；

（2）通过讨论a的范围，结合对数函数的性质求出x的范围即可.

解：（1）由题意得：

1-x>0,解得：x<1,

故函数的定义域是（-8,1）;

(2)0<a<1时，0<1-xV1,

解得：0V*V1,

a>1时，1-x>1,解得：xVO.

21.已知函数尸:sin3+J§cos£x,求：

（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期;

（2）函数y的单调递增区间.

【分析】（1）利用辅助角公式将y=sin-^_x+V§cos'^_x转化为：y=2sin（-^-A+-T-）,

从