高等数学课程教案讲义（上）

第一章函数极限与连续

一、教学目标与基本要求

I、理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定

义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像，掌握函数的表示方法。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、会建立简单应用问题中的函数关系式。

6、理解极限的概念，理解函数在极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之

间的关系。

7、掌握极限的性质及四则运算法则。

8、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的

方法。

9、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

10、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、

最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

二、教学内容的重点及难点：

1.数列的极限、函数的极限的概念

2.极限的性质及四则运算法则；

3.极限存在的两个准则，利用两个重要极限求极限；

4.无穷小的比较，用等价无穷小求极限；

5.闭区间上连续函数的性质。

三、教学内容的深化和拓宽：

1.数列极限的的深刻背景，函数极限的几何意义；

2.两个重要极限、等价无穷小的应用；

3.极限与无穷小的关系；

4.连续的实质，闭区间上连续函数的性质，用介值定理推证一些简单命题。

§1、函数

一、内容要点

基本概念

集合，区间，邻域，常量与变量，绝对值.

函数的概念

函数的特总:有界性，单调性，奇偶性，周期性.

反函数，复合函数，基本初等函数与初等函数

二、教学要求和注意点

本部分属基本概念，对其中的每一个定义都应加以仔细推敲，透彻理解和牢固其精神

实质，从而为学习本课程奠定好基础。

从实际问题建立变量之间的关系是数学应用与实际问题的第一步，也是比较困难的一

步，要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题解决问题的能力。

三、作业同步训练习题1

一、集合、常量与变量

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C……等来表示，

组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aeM（读a属于M）；

若事物a不是集合M的一个元素，就记a/M或aeM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注1:若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。

2：集合的表示方法:

⑴、若集合为有限集，耐用列举出其全体元和方法来表示，如：A={1,2,3,……,

10},8={一只猫，一只狗，一咫鸟};

(方)、对无限集，若知道期素的规律，也可类彳照出，如：A={1,2,3,……}为全体自

然数集，8={2,4,6,……}为全体偶数集；

枚举法|(m)、列不出全体元素或找不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质那么该集

合可表示为：A={x|x所具有的某种性质},即：有此性质的必抽中，且4中的元素必

须有此性质。如：4={巾3+5/+7*+3=0}；3={小为我校的学生};C={(x,y)|点

(x,y)在。中}等。

3：全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。

以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。

4：集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有xeA,必有xeB,就称A

为B的子集，记为Au&或6nA(读B包含A)。

显然：NuZuQuR.

若Au3,同时3uA,就称A、B相等，记为A=B。

5：当集合中的元素重复时,重复的元素只算一次.如：{1,2,2,3}={1,2,3}。

6：不含任何元素的集称为空集，记为①，如：{MY+inaxeRkOUxrXn-l上①,空集是

任何集合的子集，即中uA。

7：区间：所有大于a、小于b(a<刀的实数组成一个集合，称之为开区间，记为(a,b),即

(a,b)={，aYxY/?}°

同理：［a,b］={mWxW)}为闭区间，［“,))={'aWxY)}和(a,。］={'a-<x<b］分别称为

左闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区间。

以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。

对无穷区间有：(-8,"={x|x</?},(«,+°°)={x|aY%},(-00,4-00)={x|-coYXY+oo}=R,

在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用I表示。

8：邻域：设a和3为两个实数，且bA0.集合可卜―4YS}称为点a的3邻域，记为。(。,5),a

为该邻域的中心，3为该邻域的半径，事实上，

U(。,8)={也-8-<x<a+S］=(a—8,a+8)o

同理：我们称UG/)={X|0Y|X-4YS}为a的去心5邻域，或a的空心b邻域。

9：集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。

2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常

不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各

种不同的数值，这种量称为变量。

【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变

里。

注1:常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或

在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境

确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。

2：常量一般用a,b,c……等字母表示，变量用x,y,u,t……等字母表示，常量a为一定值，在数轴

上可用定点表示，变量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：与表示x可

代表(a,加中的任一个数。

二、函数的概念

【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为：S=%2,显然当x确定了，S也就确定了。

这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相互联系、相互

约束着。

定义：设x和y为两个变量，，。为一个给定的数集，如果对每一个xe。，按照一定的法则/变量y

总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y=/(x).数集。称为该函数的定义域，

x叫做自变量，y叫做因变量。

当x取数值时，依法则/的对应值称为函数y=/(x)在x=x0时的函数值。所有函数值

组成的集合W=｛巾=f(x),xeD｝称为函数y=/(x)的值域。

注1：函数通常还可用丁=8(幻,丁=/(幻,5=〃(。等表示。

2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。

【例1】y=sinx的定义域为(-oo,+oo),值域为［一1,1］。

【例2】y=J1+尤的定义域为［-1,+8),值域为［0,+8)。

%20Yx41

【例3】y=<gx=0的定义域为［—1,1］,值域为［0,2］。

1—x-IKXYO

x

【例4】/*(%)三1的定义域为(―00,+8),人。)=—的定义域为(一8,0)。(0,+8),从而显然

X

wh(x)o

3、若对每一个xe。，只有唯一的一个y与之对应，就称函数y=/(x)为单值函数；若有不止

一个y与之对应，就称为多值函数。如：，+y2=l,/-y2=1等。以后若不特别声明，只讨论单

值函数。

4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来

表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1］上取值，其函数值为》2；

当x取0时，当x在［—1,0)上取值时，其函数值为1—X。(这种函数称为分段函数，在

以后经常遇见，希望注意！)尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！

5、对。中任一固定的x,依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标在坐标平面

上就确定了一个点。当x取遍。中的每一数时，便得到一个点集。=｛。,历｝=/。)/6。｝,我们

称之为函数y=/(x)的图形。换言之，当x在。中变动时，点(x,y)的轨迹就是y=/(x)的图形。

【例5】书上的几个例子。(同学们自己看)

【例6】例3的图形如下图

三、函数的儿种特性

1、函数的有界性：设y=/(x)在。上有定义，若对Vxe。曰例＞0,使得：|/(刈＜/,就称

/(x)在。上有界，否则称为无界。

注：1、若对Vxe。，3M,使得就称/(x)在。上有上(下)界。/(幻在。

上有界＜=＞/(%)在。上同时有上界和下界。

2、/(x)在。上无界也可这样说：对VM〉0,总三方€。，使得

【例7】上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。

2、函数的单调性：设函数/(X)在区间/上有定义，若对Vxpx2el,当jqY9时总有：

(1)/(%,)</(%2),就称/(X)在/上单调递增，特别当严格不等式/(项)Y/X/)成立时，

就称/(%)在1上严格单调递增。

(2)/(%,)>/(%2),就称/(x)在/上单调递减，特别当严格不等式/(为)》/(乙)成立时，

就称/(%)在/上严格单调递减。

注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！

2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。

3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。

【例8】符号函数和取整函数均为单增函数，但不严格单调。

【例9】y=,在(0,+8)上是严格单减函数。

x

【例10］［例3］中的函数在定义域上不是单调的，但在［-1,0)上是严格单减的，在(0J上是

严格单增的。

3、函数的奇偶性：设函数/(幻的定义域。为对称于原点的数集，即若xe。，有一xe。，

(1)若对Vxe。，有/(—x)=/(x)恒成立，就称/(幻为偶函数。

(2)若对Vxe。，有/(—x)=—/(x)恒成立，就称/(x)为奇函数。

【例11］y=x2,y=cosx,y=W，是偶函数，y=x3,y=sinx,y=sgnx,是奇函数。

y=x2+x3,y=cosx+sinx是非奇非偶函数。

【例111*y=InCx+Jl+x?)是奇函数。

注：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。

2、若/(x)是奇函数，且0e。，则必有/(OXO。

3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶

函数；一奇一偶的积为奇函数。

4、周期性：设函数/(x)的定义域为。，如果引了0,使得对VxwO,有％±/€。，且

y(x+/)=/(x)恒成立,就称/(X)为周期函数，/称为了(幻的周期。

［例12］y=sinx,y=cosx,y=fgx分别为周期为2肛2%,7的周期函数，y=x-［x］为周期为1

的函数。

注1：若/为/(x)的周期，由定义知2/,3/,4/……也都是的周期，故周期函数有无穷多个周期,

通常说的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存在(为什么？)

例如：y-sin2x+cos2x=i,设有最小正周期。

2：周期函数在一每个周期(a+/+1)/)(。为任意数，%为任意常数)上，有相同的形状。

四、反函数

设/(x)的定义域为。，值域为W，因此，对VyeW,必Hre。，使得/(x)=y,这样的x可

能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x=°()，)，称之为

函数y=/(x)的反函数，而/(x)叫做直接函数。

注1：反函数x=e(y)的定义域为W,值域为D；

2：由上讨论知，即使y=/(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研

究；

3：在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x=°(y)中的x与y对换一下，y=/(x)

的反函数就变成y=G(x),事实上函数y=°(x)与x=e(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关

系的字母"夕"没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若y=/(x)的反函数为

x=°(y),那么y=°(x)也是y=/(x)的反函数，且后者较常用；

4：反函数y=°(x)的图形与直接函数y=/(x)的图形是对称于y=x(证明很简单，大家自己

看书)；

5：有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。

1I

［例13］函数y=ax+仇y==/的反函数分别为：x=^~~^,x=±J］,x=尸或分别为

a

x-br-\

y='----■,y=±dx,y=%3。

a

五初等函数

幕函数

形如y=x"(必为常数)的函数叫做事函数。

其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：

(1)当M为非负整数时，定义域为(—8,+00)；

（2）当〃为负整数时，定义域为（—oo,0）U（0,+oo）;

（3）当必为其它有理数时，要视情况而定。

【例1】y=/的定义域为（一8,+8）；

3

y-x2,y=X4的定义域为［O,+8）；

y=x2的定义域为（0,+oo）。

（4）当M为无理数时，规定其定义域为（0,+8）,其图形也很复杂，但不论〃取何值，图形总过（1,

1）点，当〃>0时，还过（0,0）点。

指数函数与对数函数

指数函数：形如^=。'（。>0,。71）的函数称为指数函数，其定义域为（—8,+00）,其图形总在x轴

上方，且过（0,1）点，

（1）当4>1时，>是单调增加的；

（2）当0<。<1时，y=a"是单调减少的；

以后我们经常遇到这样一个指数函数y=",e的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，

y=a"与y=a"'关于y轴对称。

2、对数函数：指数函数y=a"的反函数，记为y=log〃x（a为常数，a>0,。/1）,称为对数函数，

其定义域为（0,+8）,由前面反函数的概念知：了=优的图形和^=1。8”》的图形是关于丫=*对称

的，从此，不难得y=log“光的图形，

y=log.x的图形总在y轴右方，且过（1,0）点

（1）当。>1时，y=log〃x单调递增，且在（0,1）为负，（1,+8）上为正；

（2）当0<“<1时，y=log“x单调递减，且在（0,1）为正，（l,+oo）上为负；

特别当a取e时，函数记为y=lnx,称为自然对数函数。

三角函数与反三角函数

2、三角函数

三角函数主要是:

正弦函数：y=sinxX6(-00,+00)

余弦函数：y=cosxXG(-00,400)

冗

正切函数：y=tanx——n-0,±l,±2,.......

2

余切函数：y=cotxx丰rtTin=0,±l,±2,.......

正弦函数和余弦函数均为周期为2乃的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为1的周期函

数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个：正割

y-secx=------和余割y=csex=------，其图形在此不做讨论了。

cosxsinx

3、反三角函数：

反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：

反正弦函数：y—Arcsinxx€[-m

反余弦函数：y—Arccosxxe[-l,l]

反正切函数：y=ArctanxX£(-00,-KO)

反余切函数：y=ArccotxXG(-00,+00)

显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：

将y=A/vsinx限制在［一、,、］上，得一单值函数，记为y=arcsinx,它就是所取主值函数,

［,—］叫做主值区间，显然---<arcsinx<一,

2222

同理：将丁=4r。(：05%限制在［0,万］上，得丁=31\：(：0&¥

将y=Arctanx限制在［一、,］］上，得y=arctanx

将y=Arecotx限制在［0,万］上，得y=arccotx

从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arccotx是单调递减的。

复合函数和初等函数

设)=/"(〃)，定义域为a=0(x),定义域为2,值域为%，且也<=2,这样对于VXW£)2，

由"=9(x)可算出函数值”€叫uR,所以由y=/(〃)又可算出其函数值y,因此对于

VxeD2,有确定的值y与之对应，从而得一个以x为自变量，y为因变量的函数，我们称之为以

y=/(“)为外函数，“=玄外为内函数复合成的复合函数，记为y=/(°(x)),其中"为中间变量。

【例1】y=sir)2x就是y=zJ和〃=sinx复合而成；

y=cosx2就是y=cosw和a=/复合而成。

注1：并非任何两函数都可以复合的，

例如：y=arcsinw和〃=2+/不能复合；

y-和〃=-1-x2也不能复合。

2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：

y=tan(Inx)?就是y=tanu,u=v2,v=Inx复合成的。

3：在函数复合中，未必都有y=/(M)、”=e(x)的形式，一般为y=/(x)和y=g(x),这时

候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y=/(x)和y=g(x)之分。

2、初等函数

我们把募函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基

本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函

数。

+sin%

【例2】y=Jl+x,y=Jl-2",y=sin2x,y=tan(lnx)2,y=arctanP等都是初等函数。

V1-sinx

本教材讨论的主要都是初等函数。

双曲函数和反双曲函数

e'-e~x

双曲正弦：y=shx=-------xe(-00,+oo)

2

ex+e~x

双曲余弦：y=chx=-------X€(-00,+00)

2

c/?Y(>X

双曲正切：y=thx=---=—xe(-oo,+oo)

反双曲正弦：y=arshx=ln(x+Vx2+1)xG(—OO,+OO)

反双曲余弦：y=archx-]n(x+\x2—1)xe[l,+oo)

（多值函数y=±ln（x+Jx匚1）取“+”号为主值）

11+r

反双曲正切：y-artfix=—In——-xe（-1,1）

21-x

由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了。

§1、2数列的极限

一'、内谷要点

（1）数列，数列极限的定义；

（2）收敛的性质：极限的唯一性、收敛数列的有界性、收敛数列的保号性、收敛数列与其

子列的关系。

二、教学要求和注意点

数列:研究其变化规律；

数列极限:极限思想、精确定义、几何意义；

收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.

极限理论是高等数学的理论基础。极限概念比较抽象而且严谨，既是学习中的重点也

是学习中的难点。因此要逐字逐句地推敲务求领会它的精神实质。

三、作业同步训练习题2

主要内容：

定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为招=/（〃），〃=1,2,3……，由于全体自然数可

以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：网,々，……与……，这就是最常见的数

列表现形式了，有时也简记为卜“｝或数列乙。数列中的每一数称为数列的项，第〃项乙称为一般项

或通项。

【例1】书上用圆内接正6x2"T边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列

A,,A,…………（多边形的面积数列）

【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列：

1111、甫币心1

5,三'于……r'……’通项为歹

【例3】1,二,……-……；1,-1,……,（一1产,……；

23n

八,/cc34〃+1

2,4,6,...,2〃,....；2,二，二，,-----,.....；

23n

都是数列，其通项分别为』,（一1）"，2〃,但。

nn

注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。如果将乙依次在数轴上描出点的位置，我们能否

发现点的位置的变化趋势呢？显然，是无限接近于0的；｛2〃｝是无限增大的;

｛(-1)"T｝的项是在1与—1两点跳动的，不接近于某一常数；1号］无限接近常数1。

对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就

是常说的数列的极限问题。

我们来观察的情况。从图中不难发现但随着〃的增大，无限制地接近1,亦即〃充分

InJn

〃+1〃+1〃+1

大时,——与1可以任意地接近，即------1可以任意地小,换言之，当〃充分大时幺」-1可以

nnn

小于预先给定的无论多么小的正数£。例如，取£=—L由山一1=L<-5-=〃>ioo,即

100nn100

?［从第101项开始，以后的项$01=器,办02=器，……都满足不等式|乙一1|<喘，或者

说，当“>100时，有<」一。同理，若取£=—5—,由

n10010000

--110000,即(七口］从第10001项开始，以后的项

nn10000［HJ

XKXXM=也必，为0002="出巨，……都满足不等式卜“一1|<」一，或说，当”>10000时，有

loooiio。。］10002100021"110000

n+1,1

------1<一般地，不论给定的正数£多么小，总存在一个正整数N,当〃〉N时，有

n10000

n4-1

--1<£。这就充分体现了当〃越来越大时,—无限接近1这一事实。这个数'1”称为当〃-8

nn

｛卓｝的极限。

时,

定义：若对\/£>0(不论£多么小)，总m自然数N>0,使得当〃>N时都有卜“一4<£成立,

这是就称常数〃是数列X”的极限，或称数列Z收敛于。，记为limx”=a,或％fa

(〃-8)。如果数列没有极限，就说数列是发散的。

【例4】证明数列2,巳3二4,……〃+1,……收敛于1。

23n

〃+1[g],当〃〉N时，有

证明:对V£>0,要使得-----1-<£,只须〃〉所以取N=

nn£

n+1i1rriNiv〃+1i

-1=—<£,所以lim---=1o

nnn—>oc〃

注1:£是衡量乙与。的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管£具有任意性，但

一经给出，就应视为不变。（另外，£具有任意性，那么刍,2£,屋等也具有任意性，它们也可

2

代替£）

2：N是随£的变小而变大的，是£的函数，即N是依赖于£的。在解题中，N等于多少关系不

大，重要的是它的存在性，只要存在一个N,使得当〃〉N时，有上“一4<£就行了，而不必

求最小的No

/2,~T

［例5］证明lim—~—=1o

n

724-1yin-+a2a2a2

证明：对\/£>0,因为-1=—<£，因为---------1<—

nnn“(J/+〃2+ri)n

显然有lim也*）=1）

（此处不妨设若。二0,

«—>00〃

222

yin+a只须生<£就行了。

所以要使得---------1<£,

nn

a222

即有n>——.所以取N=[幺],当“〉N时，因为有幺<£

££n

7/r+a2yln2+a2

=>---------1<£,所以limlo

nn

注3：有时找N比较困难，这时我们可把-4适当地变形、放大（千万不可缩小！），若放大后小

于£,那么必有卜”一《<£。

【例3】设|“<1,证明1国,r,……应1,……的极限为0,即lim/T=0。

证明：若4=0,结论是显然的，现设对V£>0,（因为£越小越好，不妨设£<1）,要

使得一q<£，即只须两边放对数后，(〃一l)ln|4vln£成立就行了。因为

11ng11ng

0<|^r|<L所以ln|4<0所以1一]>_j—j-=n>1H—(―r

Inp

取N=l+半，所以当〃>N时，有]。1一0]<£成立.

[1明]

收敛数列的有关性质：

定理1：(唯一性)数列x“不能收敛于两个不同的极限。

证明：设。和b为猫的任意两个极限，下证〃=人。

由极限的定义，对Ve>0,必分别三自然数乂,％2,当〃〉乂时，有卜“一。|<£...(1)

当〃〉N2时，有—身<6•…(2)令N=MaMNj.N2},当〃>N时，(1),(2)同时成立。

现考虑：

|。一厅=|(X"—/?)—(x„—«)|<|x„—A>|+|xrt—6(|<£+£=2s

由于。*均为常数=。=匕，所以乙的极限只能有一个。

注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看。

【例4】证明数列型=(-1)=是发散的。

证明：(反证法)假设与收敛，由唯一性，设limx“=a,按定义，对£=,白自然数N,当n>N

2

时，|怎一4<£=；,考虑氏+|-%|…4k用一。|+氏—4<；+g=l,而x“'x”+|总是

一个“1”，一个“―1”，所以比加一乙|=1,所以矛盾，

所以居=(一1)向发散。

定理2.(有界性)若数列％收敛，那么它一定有界，即：对于数列相，若三正数对一切几，

有同WM。

证明：设limx“=a,由定义对£=1日自然数N,当〃>"时，|%-4<£=1,所以当〃〉N时，

|x„|<|A：„-a|+|a|<1+|«|,令M=Max{|x]|,|x2|....隰|，1+|4}，显然对一切〃，同<M。

注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列x“=（-1）用是有界的但函数

收敛。此点希望注意！

§33函数的极限

一、内容要点

1.函数极限的定义：趋于有限值与无穷、单侧极限；

2.函数极限的性质：唯一性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系；

二、教学要求和注意点

极限概念比较抽象而且严谨，既是学习中的重点也是学习中的难点。因此要逐字逐句

地推敲务求领会它的精神实质。同时还要注意与数列极限的定义与性质加以区别。

三.作业同步训练习题3

主要内容：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，乙=/（〃），因此，数列是函数的一种特性情况。

此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面：

一、自变量x任意接近于有限值与，或讲趋向（于）/（记时，相应的函

数值/（x）的变化情况。

二、当自变量X的绝对值国无限增大，或讲趋向无穷大（记时，相应的函数值/（X）的

变化情况。

一、自变量趋向有限值X。时函数的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值X。时的函数极限可理解为：当时，/*）fA（A

为某常数），即当工一/时，/（x）与A无限地接近，或说|/（x）—川可任意小，亦即对于预先任意

给定的正整数£（不论多么小），当X与X。充分接近时，可使得|/（x）-个小于用数学的语言说,

即

定义1：如果对Ve>0（不论它多么小），总三5>0,使得对于适合不等式0<卜一与卜5

的一切X所对应的函数值/（X）满足：I/O）-N<£,就称常数A为函数/（无）当XfXo时

的极限，记为

lim/（x）=A，或/（x）-A（当xfx（）时）

注1：“X与4充分接近”在定义中表现为：3^>0,有O<k-Xo|<5,即xeU（x（,,5）。显然方

越小，x与与接近就越好，此b与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于-

般地，£越小，5相应地也小一些。

2：定义中O<|x-Xo|表示,这说明当无一时，/(X)有无限与/(%,)在X。点(是否有)

的定义无关(可以无定义，即使有定义，与/(X。)值也无关)。

3：几何解释：对Ve>0,作两条平行直线丁=4+£,丁=4一£。由定义，对此£曰5>0°当

与-5<x<x()+5,且x工须)时，，有A-£</(x)<A+e。即函数y=/(x)的

图形夹在直线y=A+£,y=A-£之间(/(%)可能除外)。换言之：当了e

时，/(x)eU(A,£)。从图中也可见b不唯一！

【例1】证明limC=C(C为一常数)

证明：对V£>o,可取任一正数3,当0<,一公|<5时，|/(%)-4|=1。-0=0<£，

所以limC=C。

【例2】证明lim(ar+b)="+b(awO)

证明：对明£>0,要使得|(办+>-(0¥0+8)|=卜(％_/)|=同％_%|<£,只须

|x—Xo|<j—r»所以取S=j~~j">0显然当X()1<3时，有|(<ZX+》)—(at。+<£。

x2-12

【例3】证明lim—~—=-

2x2-x-I3

x+12_1-x

证明：对V£>0,因为a#l,所以％-1工0.=>—V-------------

lx2-x-\32x+l-3-3(2x+l)

［此处x—1,即考虑与=1附近的情况，故不妨限制X为0<|x—1|<1，即0<x<2,XH1］。

xlx-11x2-l2

因为2x+l>1,=><J—L要使<£,只须

3(2x+l)32x2-x-\3

lx—11।.।।

J——L<f,即上一1|<3£。取5=min{l,3£}(从图形中解释)，当0<卜一1|<5时，有

x2-l2

-----------------<£o

2x2-x-13

定理1：(保号性)设lim/(x)=A,

(i)若A>0(A<0),则m3>0,当时，/(%)>0(/(x)<0)o

(ii)若f(x)20(/(4)40),必有AN0(440)°

AA

证明：(i)先证A>0的情形。取£=,，由定义，对此£己方>0,当x£U(Xo，S)时，

AAAA34

|/(x)—H<£=5,即0<］=A-］</(x)<A+］=^n/(x)>0。

A

当A<0时，取£=——,同理得证。

2

(ii)(反证法)若A<0,由(i)n/(x)<0矛盾，所以A20。

当/(x)<0时，类似可证。

注：⑴中的不能改为““，"W”。

在(ii)中，若/(x)>0,未必有A>0。

在函数极限的定义中，x是既从与的左边(即从小于%的方向)趋于也从与的右边(即从

大于X。的方向)趋于X。。但有时只能或需要x从与的某一侧趋于x0的极限。如分段函数及在区间的

端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义：

定义2：对\/£>0,36>0,当x()-S<x<Xo时，［当须；<x</+6时］,有|/(x)—旬<£.

这时就称A为/(x)当XT/时的左［右］极限，记为lim/。)=4或/(1—0)=A。

x—>.vo-0

［lim/(x)=A或/(x0+0)=A］。

Xf孙+0

定理2：limf(x)=A<^>lim/(x)=limf(x)=Ao

x—>*ox—>xo-Oxf^o+O

【例4】limsgn(x)=-1,limsgn(x)=1,因为一1工1,所以limsgn(x)不存在。

x->0-0x->0+0x->0

1x>0

【例5】设/(%)=4，求

2x+1x<0。

解：显然limf(x)=lim1=1

她8)二蜩(2x+l)=l

因为limf(x)=limf(x)=1,所以lim/(x)=l。

A—>0+0x->0-0x-»0

二、自变量趋向无穷大时函数的极限

定义3：设/(x)当国>。(。>0)时是有定义的，若对Ve>03X(>a),当国〉X时，有

\f(x)-^<£,就称A为/(x)当Xf8时的极限，记为扁/(%)=4或/(x)-»A(当

11x-»oo

X—>8时)。

注1：设/(x)在出,+8),((_8,切)上有定义，若对Ve〉0JX>0,当W>X(x<—X)时，有

If(x)-Al<£1,就称A为/(x)当xf+oo(x-—oo)时的极限，记为limf(x)=A,或

11x->+00

/(%)TA(当x—»+oo)(limf(x)-A,或/(x)—>A(当x--oo))o

x—>-00

2：lim/(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A。

x-^oox—>-wox—

3：若lim/(x)=A,就称y=