二次根式99866电子教案

二次根式99866

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第二十一章二次根式

教材内容

1.本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次

根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第

十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也

是今后学习其他数学知识的基础.

教学目标

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解&(a20)是一个非负数，(G)2=a(a20),

-a.(a20).

(3)掌握&*y/b=y[ab(a20,b20),4ab-4a•4b;

4a_[a[a_\/a

(a20,b>0)，(a20,b>0).

(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加

减.

2.过程与方法

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(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出

概念.•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些

重要结论进行二次根式的计算和化简.

(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘

(除)法规定，•并运用规定进行计算.

(3)利用逆向思维，•得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等

式并运用它进行化简.

(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，・

给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的

二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.

3.情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的

科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，

发展学生观察、分析、发现问题的能力.

教学重点

1.二次根式G(a20)的内涵.G(a20)是一个非负数；

(G)2=a(a20)；77=a(a20)•及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.

3.最简二次根式的概念.

4.二次根式的加减运算.

教学难点

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1.对&(a20)是一个非负数的理解；对等式(&)2=a(a2

0)及V7=a(a20)的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.

教学关键

1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突

破难点.

2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能

力，•培养学生一丝不苟的科学精神.

单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21.1二次根式3课时

21.2二次根式的乘法3课时

21.3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21.1二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用G(a20)的意义解答具体题目.

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提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如&(a20)的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用“&(aNO)”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=3,那么它的图象在第一象限横、•纵

X

坐标相等的点的坐标是.

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,Z

C=90°，那么AB边的长是.

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、

8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=.

老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即*=丫，所以X2=3.因为点在第一

象限，所以X=百，所以所求点的坐标(出，石).

问题2：由勾股定理得AB=&6

问题3：由方差的概念得S=、E.

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二、探索新知

很明显6、M、g都是一些正数的算术平方根.像这样一些

正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般

地，我们把形如G(a20)•的式子叫做二次根式，称为二

次根号.

(学生活动)议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,G有意义吗？

老师点评：(略)

例L下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：虎、

冷、L、G(x〉0)、面、蚯、-0、」一、Jx+y(x20,y・2

xx+y

0).

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“一”；第

二，被开方数是正数或0.

解：二次根式有：0、\[x(x>0)、C、-&、yjx+y(xNO,y

20)；不是二次根式的有：5、二、向」一.

xx+y

例2.当x是多少时，^/§m在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,

所以3x-120,・J3x-1才能有意义.

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解：由3x-120,得：x2工

3

当x2工时，斥1在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x是多少时，岳石+二-在实数范围内有意义？

X+1

分析：要使后有+」一在实数范围内有意义，必须同时满足

X+1

与中的20和」一中的X+1W0.

X+1

解：依题意，得12%+3对

%+1w0

由①得：

2

由②得：xW-1

当且xW-1时，后石+」—在实数范围内有意义.

2x+1

例4⑴已知+F工+5,求上的值.（答案:2）

y

（2）若&ZT+M万=0,求a2004+b2004的值.（答案:g）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“L”称为二次根

号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负

数.

六、布置作业

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1.教材P8复习巩固1、综合应用5.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-B.yjlC.y[xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.A/4B.J16C.A/8D.一

x

3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）

A.5B.V5C.|D.以上皆不对

二、填空题

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面积为a的正方形的边长为.

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为lm3的产品包装盒，其高为0.2m,

按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

2.当X是多少时，叵互+x2在实数范围内有意义？

X

3.若万7+VT^有意义，则尸=.

4.使式子J-（%-有意义的未知数x有（）个.

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A.0B.1C.2D.无数

5.已知a、b为实数，且^/^+2m^■=b+4,求a、b的值.

第一课时作业设计答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.8(a20)2.83.没有

三、1.设底面边长为x,则0.2x2=l,解答：x-45.

2x+3>0

2.依题意得:

%wO

.•.当x〉N且xWO时，避虫+x2在实数范围内没有意义.

2x

3.-

3

4.B

5.a=5，b=-4

21.1二次根式⑵

第二课时

教学内容

1.8(a20)是一个非负数;

2.(6)2=a(a20).

教学目标

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理解&(a20)是一个非负数和(G)2=a(a20),并利用它

们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出G(a20)是

一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(G)2=a(a

20);最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：4a(a20)是一个非负数；(&)2=a(aNO)及其运

用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出&(a^O)是一个非负

数；•用探究的方法导出(&)2=a(a20).

教学过程

一、复习引入

(学生活动)口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，&叫什么？当a<0时，G有意义吗？

老师点评(略).

二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)

G(a20)是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

«(a—0)是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

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（V4）2=；（V2）2=；（邪）2=；

（6）2=;

（j）2=；（岛2=；（"）2=.

老师点评："是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，74

是一个平方等于4的非负数，因此有（/）2=4.

同理可得：（后）2=2,（也）2=9,（山）2=3,呼）2=\

V33

(&)2=a(a20)

例1计算

1.（舟22.（3A/5）23.(口)24.(五)2

V62

分析：我们可以直接利用（6）2=a(a20)的结论解题.

解：（口）2=3,（36）2=3?

',(75)2-32・5=45,

V22

（P2=3,（直）2=也\)=L

V66222一一“

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（M）2（舟2（平）2(Vo)2(唱)2

（3班）2—（56）2

四、应用拓展

例2计算

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1.(Vx+1)2(xNO)2.(7^)23.(J/+2a+i)2

4.(，4%2—12X+9)2

分析：(1)因为x2O,所以x+l〉O；(2)a2^0；(3)

a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4题都可以运用(&)2=a(a20)的重要结论解

题.

解：(1)因为x20,所以x+l〉O

(Vx+1)2=x+l

(2)a2^0,；.(7^)2=a2

(3)*.*a2+2a+l=(a+1)2

又•:(a+1)2,0,.*.a2+2a+1^0,y/a2+2a+l=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2・2x・3+32=(2x-3)2

又,:(2x-3)22。

.•.4X2-12X+9,0,("/-12九+9)Mx2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3

分析:(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.4a(a20)是一个非负数；

2.(Viz)Ja(a20);反之:a=(6)2(a20).

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六、布置作业

1.教材P8复习巩固2.(1)、(2)P97.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1.下列各式中加5、岛、扬_1、y/a2+b2>1川+20、V-144,

二次根式的个数是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a的取值范围是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

1.(~A/3)2-.

2.已知后有意义，那么是一个数.

三、综合提高题

1.计算

(1)(囱)2(2)-(6)2(3)d#)2(4)(-

2

(5)(273+372)(273-3A/2)

2.把下列非负数写成一个数的平方的形式:

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x，0)

3.已知Jx-y+l+V7M=0,求xy的值.

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4.在实数范围内分解下列因式:

(1)X2-2(2)x4-93x2-5

第二课时作业设计答案:

、I.B2.C

、1.32.非负数

三、1.(1)(@2=9⑵-(6)2=3⑶（依

2」X6=3

42

…3舟2=9x2=6(5)-6

3

2.(1)5-(百)2(2)3.4=(734)2

(3)L(2⑷x=(五)2(x20)

6

%-J+1=0V—3

3.y=34=8i

x—3=0y=4x

4.(1)X2—2=(x+逝)(x-0)

(2)X4~9-(X2+3)(X2-3)=(x2+3)(x+V3)(x-石)

⑶略

21.1二次根式⑶

第三课时

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教学内容

7^=a(a20)

教学目标

理解"=a(a20)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究V7=a(a20),并利用这个结论解

决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：7?=a(a20).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，J户=2才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1.形如G(a20)的式子叫做二次根式；

2.&(a20)是一个非负数；

3.(G)2=a(a20).

那么，我们猜想当a20时，，/=2是否也成立呢？下面我们就来

探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空：

E=；Vo.oi2=；1Gy=；

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(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

V?=2；Vo.oi2=0.01；J(：)2；J(|y=|"；To^-0；

仔j

因此，一般地：4^=a(a20)

例1化简

(1)V9(2)J(-4)2(3)y/25(4)J(-3『

分析：因为(1)9--32,(2)(-4)2-42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用77=a(a20)•去化简.

解：(1)也=后=3(2)J(-4『=E=4

(3)425-4^-5(4)J(-3)2=7^=3

三、巩固练习

教材P7练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，行=；当a<0时，77=,

并根据这一性质回答下列问题.

(1)若J/=a,则a可以是什么数？

(2)若病一a,则a可以是什么数？

(3)必〉a,则a可以是什么数？

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分析：•••J/=a(a20),.•.要填第一个空格可以根据这个结

论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因

为，当aWO时，值=后"，那么—NO.

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思

想；⑶根据(1)、(2)可知"=|a|,而|a|要大于a,只

有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为疗=a,所以a20；

(2)因为正=-a,所以aWO；

(3)因为当a20时J/=a,要使J户>a,即使a>a所以a不存

在；当a〈0时，J?=-a,要使，户〉a,即使-a〉a,a〈0综上，a<0

例3当x>2,化简例x--J(l-2x)2.

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：J/=a(aNO)及其运用，同时理解当a<0时，

=一a的应用拓展.

六、布置作业

1.教材P8习题21.13、4、6、8.

2.选作课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

1.J(2；)2+J(—2；)2的值是().

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A.0B.-C.4-D.以上都不对

33

2.a20时，笳、后存、-亚，比较它们的结果，下面四个

选项中正确的是().

A.=J(-a)2V?"B.V?)“-a,

C.<^/(-tz)2D.-7?>4^={(-a)。

二、填空题

1.-70.0004=.

2.若丽是一个正整数，则正整数m的最小值是.

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+，l-2°+日的值,甲乙两人的

解答如下：

甲的解答为：原式=a+J(l-a)2=a+(『a)=1；

乙的解答为：原式=a+«-a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是

2.若|1995-a|+，a-2000=a,求aT995?的值.

(提示：先由a-200020,判断1995-a•的值是正数还是负数,

去掉绝对值)

3.若-3WxW2时，试化简|x-2|+J(X+3)2+Jx：-10x+25。

答案：

、1.C2.A

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二、1.-0.022.5

三、L甲甲没有先判定卜a是正数还是负数

2.由已知得a-200020,a22000

所以aT995+血-2000=a,血-2000=1995,a-2000=19952,

所以aT9952=2000.

3.10-x

21.2二次根式的乘除

第一课时

教学内容

\fa,s/b=4ab(a20,b20),反之=G,\fb(a20,b2

0)及其运用.

教学目标

理解&,4b=4ab(a20,bNO),4ab-4a•y/b(a20,b，

0),并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出行•4b=4ab(a20,b20)并运

用它进行计算；•利用逆向思维，得出，石=6,4b(a20,b20)

并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

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重点：4a,4b=4ab(a20,b20),4ab->Ja•s/b(a20,b

20)及它们的运用.

难点：发现规律，导出G-4b=4ab(a20,b20).

关键：要讲清(a<0,b<0)—y[as[b,如

J(—2)X(—3)=J—(—2)X—(—3)或J(—2)X(—3)==叵X6.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)口X邪=,,4x9=；

(2)屈X后=,716x25=.

(3)V100X,00义36=.

参考上面的结果，用“〉、<或="填空.

V4X耶_____74^9,716XV25716x25,^/100X

A/367100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2X73______A/6，(2)V2X75——府,

(3)V5X瓜___—底,(4)V4X75—___而，

(5)V7xVio―___屈.

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律.

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老师点评：(1)被开方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二

次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

G•枇=猴.(a20,b20)

反过来：\=«•&(a20,b，0)

例L计算

(1)非乂出(2)J*百(3)79XV27(4)木X灰

分析：直接利用6-6=疝(a20,b20)计算即可.

解：(1)75X77=735

(2)£*8=J；x9=6

(3)79XV27=V9X27=792X3=9A/3

(4)R*娓=/义

例2化简

(1)79x16(2)716x81(3)>/81x100

(4)^9x2y2(5)V54

分析：利用，拓=&•4b(a20,b20)直接化简即可.

解：(1)A/9716=A/9X716=3X4=12

(2)716x81=V16X781-4X9=36

(3)781x100=781xTioo=9x10=90

(4),9尤2y2-正XJx2y2=正xV?X=3xy

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(5)\/54=J9x6=V?X76=3V6

三、巩固练习

(1)计算(学生练习，老师点评)

①屈X氓(2)376X2V10③回•存^

(2)化简：720;V18；V24；后；J12a&

教材Pu练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(T)X(_9)=QX"

(2)X后=4义居X后=4层X后=4厄=8石

解：(1)不正确.

改正：J(T)x(-9)=J4x9=CXy/9-2X3-6

(2)不正确.

改正：X后=、陛X后=j»x25=y/H^=416x7=46

V25V25V25

五、归纳小结

本节课应掌握：(1)无・&=岚=(a20,b20),

4ab-4a,4b(a20,b20)及其运用.

六、布置作业

1.课本P151,4,5,6.(1)(2).

2.选用课时作业设计.

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3.课后作业：《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1.若直角三角形两条直角边的边长分别为厉cm和屈cm,•那

么此直角三角形斜边长是（）.

A.372cmB.373cmC.9cmD.27cm

2.化简的结果是（）.

Va

A.y/-aB.y[aC.~4~aD.-4a

3.等式Vx+1-JX-1=一1成立的条件是（）

A.x，lB.x^-1C.D.x，l或xW

-1

4.下列各等式成立的是（）.

A.475X2V5=875B.58X40=20百

C.473X3V2=7T5D.5A/3X4V2=20V6

二、填空题

1.J1014=.

2.自由落体的公式为S=；gt2（g为重力加速度，它的值为

10m/s2）,若物体下落的高度为720m,则下落的时间是

三、综合提高题

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1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一

部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水

时，容器中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米?

2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.

+3

验证：3忐

3(32-1)+3f3(32-l),3

32-132-132-1

同理可得：4

5

5

24

通过上述探究你能猜测出：a(a>0)，并验证你的

结论.

答案:

一、1.B2.C3.A4.D

二、1.13762.12s

三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,

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则x?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=j30x30X72=3072.

21.2二次根式的乘除

第二课时

教学内容

*=甘（a20,b>0）,反过来有（a20,b>0）及利用它

们进行计算和化简.

教学目标

理解率=口（a，0,b>0）和（a，0,b>0）及禾U用它们

y[b\b4b

进行运算.

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规

定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.

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教学重难点关键

4a_a同=*(a20,b>0)及

1.重点：理解(a20,b>0)，

访一收b4b

利用它们进行计算和化简.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题:

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

邪9

(1)

V1616

(2)16

V36-36

(3)旃=5

736_36

(4)

V81-81

代叵.亘

规律：＞

16'病36，V165

叵36

A/8181

3.利用计算器计算填空:

(1)£=

⑵*(3)

V4'

V2_（4）*

忑一

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规律：若B72[2V2

h耳

且a

?8-------V8

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.

(老师点评)

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据

大家的练习和回答，我们可以得到:

一般地，对二次根式的除法规定:

而4a_寸（a20,b>0）,

反过来,巨=*（a》0,b>0）

b4b

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

分析：上面4小题利用亨=聆

(aNO,b>0)便可直接得出答

案.

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(4)

例2.化简:

⑷J彘

分析：直接利用。=事

(a20,b>0)就可以达到化简之目的.

解:

三、巩固练习

教材P14练习1.

四、应用拓展

例工已知小言=岩’且x为偶数，求。+x)"丁+4的

值.

分析：式子「=1，只有a20,b〉0时才能成立.

因此得到9-xNO且x-6>0,即6〈xW9,又因为x为偶数，所以

x=8.

19-壮0,即,x<9

解：由题意得

%-6>0x>6

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•\6<xW9

•••x为偶数

.♦.x=8

[(x-4)(x-1)

；•原式=(1+x)

\(x+l)(x-l)

x-4

=(1+x)

x+1

=(1+x)-«+%)(%—4)

J(x+1)

当x=8时，原式的值=J4x9-6.

五、归纳小结

同=里(a20,b>0)及

本节课要掌握'I(a20,b>0)和

b4b

其运用.

六、布置作业

1.教材P15习题21.22、7、8、9.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

1.计算jq-jg/g的结果是().

A.-V5B.-C.0D.正

777

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2.阅读下列运算过程:

1_73_732_2A/5_2A/5

A/36义6375A/5x755

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那

么，化简京的结果是（）.

A.2B.6C.-V6D.R

3

二、填空题

1.分母有理化:⑴力:--------。)卡=——；◎)

2^5~----------,

2.已知x=3,y=4,z-5,那么正的最后结果是

三、综合提高题

1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为

右：1,•现用直径为3厉cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那

么加工后的房染的最大截面积是多少？

2.计算

(1)工三•(」、H)(m>0,n>0)

mV2m'm\mV2m

(2)—3师-3〃2.(』J")Xp—(a>0)

Y2a22\a2\m-n

答案：

一、1.A2.C

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叵⑵立.⑶屈_也义小二叵

6'6''2卮2后—2

三、1.设：矩形房梁的宽为x(cm),则长为出xcm,依题

忌，

得：(逐X)2+x2=(3V15)2,

4x2=9X15,x=-V15(cm)，

2

73x•X=A/3x2=^-V3(cm2).

4

2.(1)原式=一J、匹+、匹三五

-八八2\1C.八八5\1G,“13-2\15

(2)原式=-2p(m+")^2x上x二=-2叵=-&a

\2crm+nm—nV2

21.2二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式

的化简运算.

教学目标

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理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化

成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据

它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1.计算（1）回，（2）婆，（3）上

V5V27V2a

老师点评：电叵,矍二色器;如

y55J273a

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别

是hikm,h2km,那么它们的传播半径的比是.

它们的比是

yj2Rh2

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根

式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

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那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化

成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

)2取V2^一包一4，

例L(1)3后；(2)G7K^；(3)标了

例2.如图，在RtaABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,

求AB的长.

解：因为AB2=AC?+BC2

所以AB=J2S+62我)2+36=秒=噜=+6.5(cm)

因此AB的长为6.5cm.

三、巩固练习

教材儿练习2、3

四、应用拓展

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的

化成最简二次根式：

1_lx(V2-l)V2-l_后7

-

访(A/2+1)(V2-1)TT"'

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1_lx(V3-V2)_V3-V2_

(G+4(G-扬―丁二

]

同理可得:—yfi-,\/3

■\/4+sfi

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

(-^―+广1厂+/厂+...I——1]_=)(V2002+1)的

A/2+1V3+V2V4+V3V2002+J2001

值.

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因

此，分母有理化后就可以达到化简的目的.

角军：原式二(A/2-1+V3-V2+V4-V3+...+V2002-72001)X

(V2002+1)

=(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作业

1.教材P15习题21.23、7、10.

2.选用课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

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1.如果戊（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是

（）.

A.4（y>0）B.而（y>0）C.叵（y>0）

D.以上都不对

2.把（aT）、匚工中根号外的（aT）移入根号内得（）.

Va-1

A.y]ci—1B.Jl—aC.-yjci—1D.-Jl—a

3.在下列各式中，化简正确的是（）

A.#=3而B.Q=土；0

C.而4二尴\fbD.Jr3=xJx-i

4.化简挈的结果是（）

V27

A.-巫B.-二C.--D.-V2

3733

二、填空题

1.化简Jx4+Jy2=.（x20）

2.2、5军化简二次根式号后的结果是_______.

Va

三、综合提高题

1.已知a为实数，化简："-a、口，阅读下面的解答过

Va

程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程:

—J—〃=(cL~1)J-a

a

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2.若X、y为实数，且y=&4++1,求Jx+y的

人I乙

答案:

、1.C2.D3.C4.C

二、1.xJx2+.22.-y/-a-l

三、L不正确，正确解答：

-tz3>0

因为1，所以a〈0,

——>0

、a

aN—a+J—a=(1-a)J—a

r2-4>01

2.V-.*.x-4=o,.*.x=±2,但•.•x+2W0,，x=2,y=-

4-x2>0

164

21.3二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

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理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行

加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5x2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-

2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项

合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)20+30(2)278-3^/8+578

(3)币+2币+3际i(4)3V3-2V3+V2

老师点评：

(1)如果我们把应当成x,不就转化为上面的问题吗？

20+30=(2+3)0=50

(2)把我当成y；

2瓜-3瓜+5瓜=(2-3+5)瓜=4瓜=86

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(3)把S当成z；

+2S+也#i

=2^/7+2^/7+3V7=(1+2+3)V7=677

(4)也看为x,夜看为y.

3V3-2V3+V2

=(3-2)百+0

=V3+V2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2虎与掂表

面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.

(板书)372+78=372+272=572

3月+后=3有+3省=66

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根

式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

例1.计算

(1)V8+A/18(2)7167+7647

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；

第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

解：(1)^+718=272+372=(2+3)V2=572

(2)J16x+，64x=4Vx+8y/x=(4+8)A/X=12s[x

例2.计算

(1)3748-9^1+3A/12

(2)(V48+^)+(V12-A/5)

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解：(1)3M—9J+3a二126一3石+6班=(12-3+6)

y/3=15-^3

(2)(748+^20)+(712-75)=/+而+疵-百

=4月+2有+2省-石=6百+君

三、巩固练习

教材P19练习1、2.

四、应用拓展

例3.已知4x?+y2-4x-6y+10=0,求(.|x79x+y2^^-)-

(xz[-5XR)的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，

2

得(2x-l)+(y-3)2=0,即x=Ly=3.其次，根据二次根式的加

2

减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后

代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)2=0

x=-,y=3

2

原式专反+丫213.+5*@

=2xVx+yjxy_xVx+5^xy

=xVx

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当X=-,y=3时，

2

原式3X©6启『3n

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根

式；（2）相同的最简二次根式进行合并.

六、布置作业

1.教材P21习题21.31、2、3、5.

2.选作课时作业设计.

3.课后作业：《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

1.以下二次根式：①也；②后；③岛④后中，与g是

同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=6百；②二币二1；③

7

V2+V6=A/8=2V2；④华=20,其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

1.在次、-V75a>2瓦、V125>26/、3^/02>-2、口中，

33a\8

与后是同类二次根式的有.

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2.计算二次根式5&-3酩-76+96的最后结果是

三、综合提高题

1.已知君72.236,求（胸—仁）-（旧+［痛）的

值.（结果精确到0.01）

2.先化简，再求值.

（6xp+3jxy3）-（4x『+'36町）,其中x=-1,y=27.

答案：

一、1.C2.A

二、1.—y/15a2J3/2.64b_24a

3a

三、1.M^=4V5A/575-yA/5=1A/5X2.236^0.