专题06 直角三角形的妙用（原卷版）

专题06直角三角形的妙用 实战训练一．直角与斜中线1．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为D，且BD=12AC，则△ABC顶角的度数为2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．80°3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，O为BC的中点，连接OD、OE，则∠DOE的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．65°4．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是．5．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．6．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC=127．如图，△ABC，点E是边AB上的中点，AD是边BC上的高，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B＝2∠BCE．8．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是．9．如图，在Rt△ABC中，点D为AB的中点，连接CD，若∠B＝60°，则∠ACD＝°．10．已知：如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）AB＝6，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF⊥AD．二．直角与30度---二分之一或2倍11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．12．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线OC上的任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，如果OD＝8cm，求PE的长．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E求证：AE＝2CE．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．15．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求证：BE＝EF．17．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？三．直角与勾股18．勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝．勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（）个．A．1 B．2 C．3 D．419．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．20．公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（）A．1 B．3 C．4 D．921．小明打算测量学校旗杆的高度，他发现旗杆顶部的绳子垂到地面后还多出1m，当他把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是m．22．如图，点B，C，D共线，∠C＝∠ABE＝∠D＝90°，BC＝DE．（1）求证：AB＝BE；（2）连接AE，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．23．如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．（1）判断△ACD的形状；（2）求这块绿地ABCD的面积．24．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝8m，AD＝6m，CD＝24m，BC＝26m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．25．如图，货船和快艇分别从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以15海里/小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东36°方向以36海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．26．为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A处60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A处100m的B处．（1）求BC的长；（2）已知该段城市街道的限速为70km/h，这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明．27．学过《勾股定理》后，八年级某班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB