材料力学(I)第4章

材料力学(I)第4章§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积3§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图I.关于弯曲的概念

受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。

变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。4弯曲变形动画演示5工程实例6

对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内,因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。

非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。7本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。8II.梁的计算简图对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。F9(1)支座的基本形式1.固定端——实例如图a，计算简图如图b,c。102.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b、e。3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c、f。11(2)梁的基本形式(三种)简支梁外伸梁悬臂梁12在竖直荷载作用下，图a、b、c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3)静定梁和超静定梁图d、e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。13§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图I.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)图a所示跨度为l的简支梁其约束力为梁的左段内任一横截面m-m上的内力，由m-m左边分离体(图b)的平衡条件可知：14它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是m-m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。故根据作用与反作用原理，m-m左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m-m右边分离体的平衡条件加以检验：15从而有16梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。17为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。18综上所述可知：

(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。

(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。(a)不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。19(b)截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。20II.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。21下图所示悬臂梁受集度为q的均布荷载作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。示例221.列剪力方程和弯矩方程由分离体（图b）的平衡，得剪力方程和弯矩方程分别为(b)FS(x)M(x)解:示例232.

作剪力图和弯矩图由(1)式可知FS图为斜直线，由x=0，FS=0；x=l，FS=ql可画出FS图如图c所示。由(2)式可知，M图为二次抛物线，由x=0，M=0；x=l/2，M=-ql2/8；x=l，M=-ql2/2可画出M图如图d所示

(c)(d)

示例24按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁的受拉侧)。

(c)(d)

示例25

由图可见，该梁横截面上的最大剪力为:FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)为:,它们都发生在固定端右侧横截面上。

(c)(d)

示例26图a所示简支梁受集度为q的均布荷载作用。写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。例题4-2271.求约束力例题4-22.列剪力方程和弯矩方程由分离体（图b）的平衡，得FS(x)M(x)(b)283.作剪力图和弯矩图由(1)式可知，FS图为斜直线，由x=0，x=l的FS值可画出FS图。由(2)式可知，M图为二次抛物线，由x=0，l/4，l/2，的M值可画出M图。例题4-229由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为发生在跨中横截面上。例题4-230图a所示简支梁受集中荷载F作用。写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。例题4-3F311.列剪力方程和弯矩方程AC和CB两段的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。求约束力为例题4-3解:F32AC段梁例题4-333CB段梁FS(x)M(x)例题4-3342.作剪力图和弯矩图由(1)和(3)式可见FS图为平行于x轴的水平线，如图b所示例题4-335由(2)和(4)式可见M图为斜直线如图c所示例题4-336由图b和图c可见，在b>a的情况下，例题4-337在集中力F作用（C截面）处，其左、右两侧的剪力发生突变，且二者的差值等于F，即其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成为集中力所造成的。若集中力F视为作用在Dx段上的分布力，就不存在突变现象了（图d）。例题4-338图a所示简支梁，在C截面受集中力偶矩Me作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。例题4-4391.求约束力例题4-4解:2.列剪力方程和弯矩方程由分离体图可见，作用于AC段和BC段上的集中力相同，从而两段梁的剪力方程相同，即40至于两段梁的弯矩方程则不同：AC段梁：例题4-441CB段梁：例题4-4423.作剪力图和弯矩图由FS，M方程画出FS图和M图，分别如(b)，(c)所示例题4-443由图b和图c可见，梁的所有横截面上的剪力相同，均为FS=Me/l。在b>a的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，且值为Mmax=Meb/l。在集中力偶作用处弯矩图有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在微范围内的分布力偶的简化。例题4-444思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如上图所示。试问：(a)此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？(b)荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。45思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问：

(a)如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？

(b)如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？C46思考3：根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称；结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。47III.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x),FS(x)与q(x)间微分关系的导出从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。48从而得：由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项，即得49应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得50常见荷载下FS，M图的一些特征或51若某截面的剪力FS(x)=0，根据，该截面的弯矩为极值。

集中力作用处集中力偶作用处52

总口诀一分二定三连线，注意正负和突变。弯矩斜率是剪力，形状大小多检验。

剪力图

弯矩图无荷区间水平线，无荷区间直线行，均布荷载斜率现。均布荷载抛物线。力偶似乎不管用，力偶作用要突变，集中力处有突变。集中力处是尖点。53利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：(1)求支座约束力；(2)分段确定剪力图和弯矩图的形状；(3)求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；(4)确定|FS|max和|M|max。54一简支梁在其中间部分受集度为

q=100kN/m的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。例题4-7（修改）x(b)+-100kN100kNFSxFS

图yFAFBABCDE2m1m4mq(a)+100150100xMM图（kN·m）(c)55该梁的荷载及约束均与跨中对称，可得约束反力FA和FB为1.

校核剪力图yFAFBABCDE2m1m4mq(a)解:例题4-7（修改）56AC段和DB段内无荷载作用，该两段的剪力图均为水平线。其剪力值分别为+-100kN100kNFSxFS

图(b)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例题4-7（修改）57CD段内有向下（负值）的均布荷载作用，该段的剪力图为向右下方倾斜的斜直线。可见图b所示剪力图是正确的。+-100kN100kNFSxFS

图(b)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例题4-7（修改）58因为AC和DB段内无分布荷载作用所以该两段的弯矩图均为斜直线。控制点的弯矩分别为MA=0，MC=(100kN)(1m)=100kN·m；2.校核弯矩图+100150100xMM图（kN·m）(c)MB=0，MD=100kN·m；yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例题4-7（修改）59因为CD段内有向下的均布荷载作用，其弯矩图为下凸的二次抛物线。由FS图并根据对称关系可知，梁跨的中央截面即x=2m处的FS=0，该处M有极值，其值为可见图示的弯矩是正确的。+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq例题4-7（修改）60已知：图中梁的约束力为思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：61图中梁的约束力为正确答案：62图中梁的约束力为正确答案：63IV.按叠加原理作弯矩图64(1)在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为65这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也可以利用叠加的方法作出。66(2)叠加原理当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。67(3)示例图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载F=ql/4作用的悬臂梁，其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c所示，该梁分别受集中荷载F和满布均布荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)68○-﹢○﹢○○-F﹢○﹢○F○-○-F(a)F=ql/4(b)(c)69图d为直接将图b和图c中两个弯矩图叠加后的图形，将图中斜直线作为弯矩图的水平坐标轴时，它就是图a的弯矩图。○-○-﹢○○-(d)(c)70作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理作弯矩图。由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为(负值),最大弯矩为(负值)，而极值弯矩并非最大弯矩。○-﹢○﹢○○-FF(a)71§4-3平面刚架和曲杆的内力图I.平面刚架

平面刚架——由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。平面刚架杆件的内力——当荷载作用于刚架所在的平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。72作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。73试作图a所示刚架的内力图。例题4-11741.列各杆的内力方程CB杆(0≤x≤a)(杆的外侧受拉)BA杆(0≤x1≤a)(杆的外侧受拉)例题4-11解:752.绘内力图绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号；弯矩图则画在杆件的受拉一侧。不需注明正负号。由内力方程分别画出FN，FS，M图。如图b、c、d所示。例题4-1176取刚性结点B为分离体如图e所示。当结点B处无集中力偶作用时，由平衡条件可以判定，AB杆的B截面和BC杆的B截面的弯矩值必相等，并且同为杆的外侧受拉。2.也可以用简易法画FS图和M图。BC和BA段内均无分布荷载作用，其FS图均为与杆轴线平行的直线，M图均为斜直线，再计算出相应的控制点的坐标，即可画出FS图和M图。BF1F1aF1aF1(e)例题4-1177思考：能根据概念绘出图示平面刚架(框架)的内力图吗？78II.平面曲杆（例题4-12）平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力。79图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m-m上的内力有以上方程即内力方程。根据内力方程将内力值在与q相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。80(d)

FS

图+○-○+(c)

FN图81§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件纯弯曲(purebending)━━梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。82横力弯曲(bendingbytransverseforce)━━梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。83I.纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导(1)几何方面━━找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：84弯曲变形动画851.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；862.相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。87根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。88横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向面只弯曲而长度没有任何改变的中性层(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴(neutralaxis)。89令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义有纵向线应变在横截面范围内的变化规律

图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为90即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离y成正比。弯曲变形动画91小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。(2)物理方面━━藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律找出横截面上正应力的变化规律。梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。M92(3)静力学方面━━藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即93将代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而其中94为截面对于z轴的静矩(staticmomentofanarea)或一次矩，其单位为m3。为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。为截面对于z轴的惯性矩(momentofineritiaofanarea)或二次轴矩，其单位为m4。95由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴z通过横截面的形心；2.横截面对于y轴和z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)96由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：(c)97

应用此式时，如果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。98中性轴z为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)99中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(sectionmodulusinbending)，其单位为m3。hbzyodzyo100中性轴z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为101简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数(1)矩形截面102思考:一长边宽度为b，高为h的平行四边形，它对于形心轴z的惯性矩是否也是？103(2)圆截面在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：zoyyzdA而由图可见，ρ2=y2+z2,

从而知104而弯曲截面系数为根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是有zoyyzdA105(3)空心圆截面由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有式中，。dOyzD106根据对称性可知：思考：空心圆截面对形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？而空心圆截面的弯曲截面系数为dOyzD107型钢截面及其几何性质：参见型钢表需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴实际上是教材中所标示的z轴。108II.纯弯曲理论的推广工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即109图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。例题4-131101.

在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为例题4-13解:111由型钢规格表查得56a号工字钢截面于是有危险截面上点a处的正应力为例题4-13112

该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：例题4-13113显然，梁的自重引起的最大正应力仅为而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为例题4-13114III.梁的正应力强度条件等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形式来建立梁的正应力强度条件：式中，[s]为材料的许用弯曲正应力。115对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作由拉、压许用应力[st]和[sc]不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力[st]和许用压应力[sc]。116图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的型号。示例117画M图，并确定Mmax。弯矩图如图c所示解:示例118强度条件要求：

此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为2.求Wz，选择工字钢型号示例119图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心C的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴z的惯性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。铸铁的许用拉应力[st]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许用荷载[F]。例题4-16120铸铁的拉压强度不等，其强度条件为st,max≤[st]

，sc,max≤[sc]。由M图可知，B、C截面上正应力的分布规律如图d所示。B、C截面上的最大拉应力分别为，。可见全梁的最大拉应力为。显然。86134C截面D截面(d)例题4-16解:1211.由st,max≤[st]确定[F]。F1≤19200N=19.2kN例题4-16122F2≤36893N=36.893kN2.由sc,max≤[sc]确定[F]。[F]=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。例题4-16123该题的st,max和最大压应力均发生在B截面处，当

st,max=[st]时，，而[sc]=3[st]。可见，当st,max=[st]，sc,max<[sc],所以该题由拉应力强度控制，仅需由st,max≤[st]求[F]即可。例题4-16124§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件I.梁横截面上的切应力1.矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO125由于m-m和n-n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mm'A1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。126它们分别为式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。127即由于，故纵截面AA1B1B上有切向内力dF'S(图b)：128为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dF'S对应的切应力t'，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t的情况：1291.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。130从而对于狭长矩形截面可以假设：1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy131于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t

‘均与横截面正交，且大小相等。而t'在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t'在该纵截面范围内是没有变化的。于是有132根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t

必与t

'互等，从而亦有以上式代入前已得出的式子得133矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式式中，FS为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t

的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。zyy134横截面上切应力的变化规律

前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t

在与中性轴垂直方向的变化规律。上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t

沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。135bhdy1yyzOy1136可见：1.t

沿截面高度系按二次抛物线规律变化；2.同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):1372.

工字形截面梁(1)腹板上的切应力其中138可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。139(2)在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：140

对于轧制的工字钢，上式中的就是型钢表中给出的比值，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。141(3)翼缘上的切应力

翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。142

但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力

和

不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1′构成的合力udx

A*自由边143根据可得出

从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为u处有平行于翼缘横截面边长的切应力t1，而且它是随u按线性规律变化的。udx

A*自由边144思考题:试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。1453.薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：(1)由于d<<r0，故认为切应力t

的大小和方向沿壁厚d

无变化；(2)由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；146(3)根据与y轴的对称关系可知：

(a)横截面上与y轴相交的各点处切应力为零；(b)y轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与y轴对称。147薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0d，其形心离中性轴的距离(图b)为，故求tmax时有148及得出：整个环形截面对于中性轴z的惯性矩Iz可利用整个截面对于圆心O的极惯性矩得到，如下：149从而有式中，A=2pr0d为整个环形截面的面积。1504圆截面梁圆截面梁在竖直平面内弯曲时,其横截面上切应力的特征如图a所示：认为离中性轴z为任意距离y的水平直线kk‘上各点处的切应力均汇交于k点和k'点处切线的交点O'，且这些切应力沿y方向的分量ty相等。因此可先利用公式求出kk'上各点的切应力竖向分量ty，然后求出各点处各自的切应力。151圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处，其计算公式为152由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力ta

。不计梁的自重。例题4-17153求tmax

梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例题4-17解:154例题4-17155其中：于是有：2.求ta例题4-17156腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。tmax例题4-17157II.梁的切应力强度条件图a所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(stateofuniaxialstress)(图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件158该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态

(shearingstateofstress)(图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为亦即式中，[t]为材料在横力弯曲时的许用切应力。159梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。160图a所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态(stateofplanestress)。161需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a、b、c)(或分别接近各自的最大值)则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大(图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。162但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第七章中例题7-7。163此外，在最大弯矩所在的横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。164一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30kN，跨长

l=5m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力[s]=170MPa，许用切应力[t]=100MPa。试校核梁的强度。示例1651.校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。荷载移至跨中C截面处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，解:示例166

由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为示例1672.校核切应力强度。荷载移至紧靠支座A处(图d)时梁的剪力为最大。此时的约束力FA≈F，相应的剪力图如图e所示。FS,max=FA=30kN对于20a号钢，由型钢规格表查得：示例168于是有由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。(e)示例169简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时，F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。也可用公式推导，即FAABFFBxl示例170§4-6梁的合理设计

171172II.合理选取截面形状(1)尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。由四根100mm×80mm×10mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：173图a所示截面图b所示截面图c所示截面图d所示截面174(2)对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料(例如建筑用钢)制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。dzyO(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyO(a)175为充分发挥材料的强度，最合理的设计为因即176III.合理设计梁的外形可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。177§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应