2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）新高考模拟试题重组冲刺卷（19题结构）解析

2024届新高考模拟试卷（考试时间:120分钟试卷满分:150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2024·河南焦作·二模）设集合，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【详解】由集合，因为，所以或，解得或，当时，，不符合题意；当时，，符合题意．故选：C．2.（2024·福建福州·二模）若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以，所以，所以.故选：B.3.（2024·黑龙江哈尔滨·二模）2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】A【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位；因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有种，又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有种，故选：A.4.（2024·吉林·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，为锐角，且，两边同时除以得，，，为锐角，，，当且仅当，即时取等号，最大值为．故选：A．5．（2024·河南开封·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】由可得，，故为公比为2的等比数列，故，所以，故，因此故，要使，则，当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6，故选：B6.（2024·陕西·二模）已知，且时，，则下列选项正确的是（

）A．B．当时，C．若，为常函数，则在区间内仅有1个根D．若，则【答案】D【详解】对于A中，由函数，可得，因为，所以，所以A错误；对于B中，由，可得，，又由，且，所以，所以B错误；对于C中，由，则，，则，，则，可得，则，令，则恒成立，可得，所以，所以，即在区间内无实根，所以C错误；对于D中，，令，可得；再令，，则，令，可得或，因为，所以函数在单调递减，所以，所以成立，所以D正确．故选：D．7.（2024·河北衡水·二模）记椭圆：与圆：的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由题意可知点，分别为椭圆的左右顶点，所以，，设点在第一象限，设点，所以，，所以，.故选：.8.（2024·河南信阳·二模）若函数在定义域上存在最小值，则当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以，当时，恒成立，则在定义域上单调递增，不存在最小值，故舍去；当时，若，则，又在上单调递增，则当时，所以无最小值，故舍去；所以，又，易知在定义域上单调递增，且，所以存在唯一零点，即，且，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，即，又，所以，令，，所以，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值，即最小值，所以，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.（2024·山西·二模）下列说法中正确的是（

）A．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被抽到的概率是0.2B．已知一组数据2，2，，5，7的平均数为4，则这组数据的方差是C．数据76，69，87，65，62，96，92，81，76，82的第70百分位数是82D．若样本数据的标准差为5，则数据，，，的标准差为20【答案】AB【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确；B选项，已知一组数据的平均数为4，则，解得，，则这组数据的方差是，故B正确；C选项，这10个数据从小到大排列为，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是84.5，故C错误；D选项，若样本数据的标准差为5，则的方差为25，设的平均数为，则，，又，故，则的标准差为，故D错误．故选：AB10.（2024·广东深圳·二模）已知函数（，）的最大值为，其部分图象如图所示，则（

）A．B．函数为偶函数C．满足条件的正实数，存在且唯一D．是周期函数，且最小正周期为【答案】ACD【详解】因为（其中、），又，解得，又，所以，故A正确；则，又，即，结合图象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正确；所以，则为奇函数，故B错误；是周期函数，且最小正周期，故D正确.故选：ACD11．（2024·湖南·二模）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（

）A．若点满足，则动点的轨迹长度为B．三棱锥体积的最大值为C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为【答案】CD【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；对于B，因为，而等边的面积为定值，要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，易知点是正方体到平面距离最大的点，所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，其高为，所以，B错误；对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，又，弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；对于D，取的中点分别为，连接，如图2所示，因为平面平面，故平面，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面与平面是同一个平面.则点的轨迹为线段：在三角形中，则，故三角形是以为直角的直角三角形；故，故长度的最大值为，故正确.故选：.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.（2024·上海普陀·二模）若向量在向量上的投影为，且，则.【答案】【详解】在上的投影为，，则，即又，平方得，则即．故答案为：．13．（2024·浙江·二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧所对的圆心角为.设圆的圆心在点与弧中点的连线所在直线上.若存在圆满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆也相切，则弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.（参考数据：）【答案】【详解】如图，设弧的中点为，弧所对的圆心角为，圆的半径，在弧上取两点，则，分别过点作圆的切线，并交直线于点，当过点的切线刚好是圆与圆的外公切线时，劣弧上一定还存在点，使过点的切线为两圆的内公切线，则圆的圆心只能在线段上，且不包括端点，过点，分别向作垂线，垂足为，则即为圆的半径，设线段交圆于点，则弧上的点与圆上的点的最短距离即为线段的长度.在中，，则，即弧上的点与圆上的点的最短距离的取值范围为.故答案为：.14.（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上．现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为________；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（2024·湖南·二模）（13分）如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，为的中点，且.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由是直径可知，则是等腰直角三角形，故，由圆柱的特征可知平面，又平面，所以，因为，平面，则平面，而平面，则，因为，则，所以，.所以，因为，，，平面，所以平面，又平面，故.（2）由题意及（1）易知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，由（1）知平面，故平面的一个法向量是，设是平面的一个法向量，则有，取，可得设平面与平面夹角为，所以，则平面与平面夹角的余弦值为.16.（2024·上海松江·二模）（15分）某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出.【答案】(1)(2)(3)先派出甲【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，则；（2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布为：所以；（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，由（2）可知，，若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，则，则，因为，所以，，所以，即，所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．17.（2024·山东聊城·二模）（17分）已知椭圆的短轴长为2，离心率为.(1)求的方程；(2)直线与交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且.（ⅰ）当时，求的值；（ⅱ）当时，求点到的距离的最大值.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）2【详解】（1）由题意得，解得，所以的方程为．（2）（ⅰ）由题意得，由，得，即，由，得，即，将的坐标分别代入的方程，得和，解得，又，所以.（ⅱ）由消去，得，其中，设，则，由，得，所以，由，得，即，所以，因此，又，所以.所以的方程为，即过定点，所以点到的最大距离为点与点的距离，即点到的距离的最大值为2.18.（2024·江苏南通·模拟预测）（17分）设函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；(3)求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，.【答案】(1)减区间，增区间(2)在内有一个极值点(3)证明见解析【详解】（1）当时，，，令，，列表分析10单调递减单调递增故的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），，其中，令，，令，，列表分析：0单调递减单调递增，而，，，若，则，，，因此在上有一个零点，所以在内有一个极值点；（3）猜想：，恒成立．证明如下：由（2）得在上单调递增，且，．因为当时，，所以．故在上存在唯一的零点，设为．由0单调递减单调递增知，，，又，而时，，所以（1）．即，．所以对任意的正数，都存在实数，使对任意的，使．补充证明令，．，所以在上单调递增．所以时，，即．补充证明令，．，所以在上单调递减．所以时，，即．19.（2024·河南开封·三模）（17分）点S是直线外一点，点M，N在直线上（点M，N与点P，Q任一点不重合）．若点M在线段上，记；若点M在线段外，记．记．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，点D是射线上一