2022-2023学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期中数学试卷含解析

2022-2023学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.式子(−2)2的值为A.4 B.−4 C.2 D.−22.下列二次根式为最简二次根式的是(

)A.12 B.12 C.3.下列计算正确的是(

)A.2+3=5 B.4.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(

)A.1，3，2 B.1，1，2 C.2，3，4 D.4，5，5.在四边形ABCD中，AB/​/CD，要判定四边形ABCD为平行四边形，可添加条件(

)A.AD=BC B.∠CDB=∠ABD

C.AC平分∠DAB D.AO=CO6.如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1=40°，则∠2的度数为(

)A.130°

B.120°

C.100°

D.90°7.如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于(

)A.22.5°

B.45°

C.30°

D.135°8.如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=8，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，取AB的中点D，则△DEF的周长是(

)A.12

B.14

C.16

D.189.如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：

①分别以点A、C为圆心，以大于12AC为半径作弧，两弧交于点E、F；

②作直线EF，交AC于点O；

③作射线BO，在射线BO上截取OD(B与D不重合)，使得OD=OB；

④作直线AD．

下列结论中错误的是(

)A.AD//BC

B.BD平分∠ABC

C.EF是AC的垂直平分线

D.S

10.如图，正方形ABCD的面积为8，菱形AECF的面积为4，则EF的长是(

)A.4

B.5

C.2

D.

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若2−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．12.一直角三角形两边长为a，b，且满足a−1+|b−13.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成▱ABCD的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则▱ABCD的最小内角的度数为______．14.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49

15.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D为边BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，G为EF中点，则DG的最小值为______．

三、计算题：本大题共1小题，共9分。16.有一道练习题是：对于式子2a−a2−4a+4先化简，后求值．其中a=2．

小明的解法如下：

四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

计算：

(1)48−(9118.(本小题9分)

周末，小丽和小红相约到C地参加青春励志报告会，C地在小丽家A的北偏东60°的方向，也在小红家的北偏西30°的方向上.AB=10千米，二人骑车同时从各自家出发，小丽的速度为每分钟32千米，小红的速度为每分钟12千米，那么二人能否同时到达C19.(本小题9分)

如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC边上的中点，连接DE、BF、AF．

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．

(2)若AF平分∠DAB，BC=3，求EB的长．20.(本小题9分)

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，FF⊥AB于点F，OG/​/EF交AB于点G．

(1)求证：四边形EFGO是矩形；

(2)若AD=10，EF=4，则BG=

．21.(本小题9分)

如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

(1)求证：矩形DEFG是正方形；

(2)当点E从A点运动到C点时，∠DCG的大小是否会改变？请说明理由．22.(本小题10分)

勾股定理是数学史上的两个宝藏之一，小亮学习了数方格、借助于面积的方法知道了勾股定理，学习之余，他又对)进行了一系列的探究、猜想、验证和运用，请你和他一起完成下面的过程：

(1)填空：

①如图1，将Rt△ABC放置在边长都为1的正方形网格中，则S1、S2、S3之间的关系是______．

②如图2，假设以Rt△ABC的三边向形外作等边三角形为：△ACD、△BCF、△AEB，若AC=6，BC=8，则S1、S2、S3之间的关系是______．

(2)如图3，以Rt△ABC的三边为直径向形外作半圆，若BC=a，AC=b，AB=c，那么你在(1)中所发现的S1、S2、S3之间的关系是否还成立，并说明理由．

(3)如图4，以Rt△ABC的三边为直径向形外作半圆，已知阴影部分的面积为23.(本小题10分)

实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．

(1)折痕BM______(填“是”或“不是”)线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答______；进一步计算出∠MNE=______；

(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN=______；

拓展延伸：

(3)如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA′交ST于点O，连接AT、A′S.求证：四边形SATA′是菱形．

解决问题：

(4)如图④，矩形纸片ABCD中，AB=10，AD=26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．

请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．

答案和解析1.【答案】C

解：(−2)2=4=2．

2.【答案】C

解：A、12=4×3=23，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、11是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：C．3.【答案】C

解：A、2与3不能合并，故A不符合题意；

B、32−2=22，故B不符合题意；

C、2×3=6，故4.【答案】A

解：A、∵12+(3)2=22，

∴以1，3，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；

B、1+1=2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、∵22+32≠42，

∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

D、∵42+525.【答案】D

解：判定四边形ABCD是平行四边形添加的条件是OA=OC，

理由如下：

∵AB/​/CD，

∴∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠OCD，

∵OA=OC，

∴△AOB≌△COD(AAS)，

∴OB=OD，

又∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故选：D．

根据平行四边形的判定方法即可得出答案．

本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．6.【答案】A

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB/​/CD，

∴∠BAE=∠1=40°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠2=∠BAE+∠ABE=40°+90°=130°，

故选：A．

由平行四边形的性质得AB/​/CD，再由平行线的性质得∠BAE=∠1=40°，易证∠ABE=90°，然后由三角形的外角性质即可得出答案．

本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形的外角性质是解题的关键．7.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查正方形的性质和菱形的性质知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．

首先根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=12∠CAB，即可解决问题．

【解答】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CAB=12∠DAB=12×90°=45°，

∵四边形8.【答案】B

解：∵BE⊥AC，

∴BE是△ABC的中线，

∵AF⊥BC，D是AB的中点，

∴DF=12AB=12×10=5，EF=12AC=12×8=4，

∵BE是△ABC的中线，D是AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE=12BC=12×10=5，

∴△DEF的周长=5+4+5=14．

故选：B．9.【答案】B

解：由作图知，EF是AC的垂直平分线，故选项C不符合题意；

∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，S△ABC=S△DBC，故选项A不符合题意；

∵AD/​/BC，

∴∠DBC=∠ADB，

∵AD不一定等于AB，

∴∠ABD不一定等于∠ADB，

∴∠ABD不一定等于∠DBC，故选项B符合题意．

故选：B．

由作图知，EF是AC的垂直平分线，根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，求得AD//BC，S△ABC=S△DBC，故选项A不符合题意；根据平行线的性质得到∠DBC=∠ADB，由AD不一定等于AB，得到∠ABD不一定等于∠ADB，于是得到10.【答案】C

解：连接AC，

∵正方形ABCD的面积为8，

∴AC=4，

∵菱形AECF的面积为4，

∴EF=2×44=2，

故选：C．

连接AC，根据正方形ABCD的面积为8，求得AC=411.【答案】x≤2

【解析】【分析】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】

解：由题意得，2−x≥0，

解得，x≤2，

故答案为：x≤2．12.【答案】3或1解：当a，b是两直角边，

∵a−1+|b−2|=0，

∴a−1=0，b−2=0，

解得，a=1，b=2，

由勾股定理得，第三边=a2+b2=3，

当b=2为斜边时，第三边=13.【答案】30°

解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底BC，

∴平行四边形ABCD的高AE是矩形宽AB的一半．

在直角三角形ABE中，AE=12AB，

∴∠ADC=30°．

故答案为：30°．

要使其面积为矩形面积的一半，平行四边形ABCD的高必须是矩形宽的一半，根据直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半可知，这个平行四边形的最小内角等于3014.【答案】①②③

解：①∵△ABC为直角三角形，

∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，

故本选项正确；

②由图可知，x−y=CE=4=2，

故本选项正确；

③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，

列出等式为4×12×xy+4=49，

即2xy+4=49；

故本选项正确；

④由2xy+4=49可得2xy=45①，

又∵x2+y2=49②，

∴①+②得，x2+2xy+y15.【答案】65解：如图，连接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴四边形AEDF是矩形，

∴EF、AD互相平分，且EF=AD，

∵G为EF中点，

∴EF、AD的交点就是G点．

∵当AD的值最小时，DG的值最小，

过A作AD′⊥BC于点D′，

∵S△ABC=12BC⋅AD′=12AB⋅AC，

∴5AD′=3×4，

∴AD′=125，

即AD的最小值为125，

∴DG的最小值=12AD=65，

故答案为：65．

连接AD，由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°16.【答案】解：小明的解法不对．改正如下：

2a−a2−4a+4=2a−(a−2)2=2a−|a−2|，

∵a=2，

∴a−2<0，【解析】根据二次根式的性质得到原式=2a−(a−2)2=2a−|a−2|，由于a=2，即a−2<017.【答案】解：(1)原式=43−(33+12×23)

=43−(33+【解析】(1)先化简为最简二次根式后，合并同类二次根式；

(2)利用平方差公式和完全平方公式解答即可．

本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和合并同类二次根式的法则是解题的关键．18.【答案】解：二人能同时到达C地，理由如下：

由题意可知，∠BAC=90°−60°=30°，∠ABC=90°−30°=60°，

∴∠ACB=180°−30°−60°=90°，

∴BC=12AB=12×10=5(千米)，

∴AC=AB2−BC2=102−52=53(千米)，

∵小丽的速度为每分钟32千米，小红的速度为每分钟12千米，

∴【解析】求出∠ACB=90°，由含30°角的直角三角形的性质得BC=5千米，再由勾股定理得AC=53千米，然后求出小丽和小红到达C地的时间，即可得出结论．

本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和含19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC/​/AB，DC=AB，

∵E，F分别是AB，DC边上的中点，

∴DF=12DC，EB=12AB，

∴DF=EB，

∵DF//EB，

∴四边形DEBF是平行四边形；

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=3，DC/​/AB，

∴∠DFA=∠FAB，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF=∠FAB，

∴∠DAF=∠DFA，

∴AD=DF=3，

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴DF=EB=3，【解析】(1)利用平行四边形的性质可得DC/​/AB，DC=AB，再根据线段中点的定义可得DF=12DC，EB=12AB，从而可得DF=EB，然后利用平行四边形的判定，即可解答；

(2)利用平行四边形的性质可得AD=BC=3，DC/​/AB，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△ADF是等腰三角形，从而可得20.【答案】2

【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD，

∵E是AD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴OE/​/FG，

∵OG/​/EF，

∴四边形OEFG是平行四边形，

∵EF⊥AB，

∴∠EFG=90°，

∴平行四边形OEFG是矩形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=10，AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∵E是AD的中点，

∴OE=12AD=AE=5，

由(1)可知，四边形EFCO是矩形，

∴FG=OE=5，

∵EF⊥AB，

∴∠EFA=90°，

∴AF=AE2−EF2=52−42=3，

∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2，

故答案为：2．

(1)证OE是△ABD的中位线，得OE/​/FG，再证四边形OEFG21.【答案】(1)证明：过E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图

则∠EPC=∠EQC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠DCA=∠BCA，

∴EQ=EP，四边形CPEQ是矩形，

∴∠PEQ=90°，

∵DE⊥EF，

∴∠DEF=90°=∠PEQ，

∴∠PEQ−∠PEF=∠DEF−∠PEF，

即∠QEF=∠PED，

∴△EQF≌△EPD(ASA)，

∴EF=ED，

∴矩形DEFG是正方形．

(2)①证明：∵四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，

∴DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，

∴∠ADC−∠CDE=∠EDG−∠CDE，

即∠ADE=∠CDG，

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴∠DCG=∠DAE=45°，

∴∠DCG的大小始终不变．

【解析】(1)过E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明△EQF≌△EPD(ASA)，得到EF=ED，再根据正方形的判定定理证明即可；

(2)求证△ADE≌△CDG(SAS)，可得出∠DCG的大小不会改变．

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．22.【答案】S1=S2+解：(1)①S1=S2+S3，理由如下：

由网格可知：S1=22+32=13，S2=22=4，S3=32=9，

∴S1、S2、S3之间的关系是S1=S2+S3，

故答案为：S1=S2+S3；

②S1=S2+S3，理由如下：

∵S1=34AB23.【答案】是

等边三角形

60°

15°

7，9

解：(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，

∴EF垂直平分AB，

∴AN=BN，AE=BE，∠NEA