教育教学论文球体积公式的推导历史及比较

1球体积公式的推导历史及比较广安市邻水实验学校曾祥超摘要：球体积的计算是个相当复杂的问题，不同的时代，在不同的国家，对球体积公式的推导有着细心的研究，有几个杰出的数学家：阿基米德、刘徽、祖冲之父子、关孝和等得出了相应的球体积公式，他们之间有着千丝万缕的联系。关键词：球体积；阿基米德；刘徽；祖冲之父子；关孝和ZengxiangchaoCollegeofMathematicsandinformation,mathematicsandappliedmathematicsAbstract:Ballvolumecalculationisaquitecomplexquestion,indifferebrilliantmathematician:Archimedes,LiuHui,fatherandsonzuchongzhi,GuanXiaoanddrawthecorrespondingvolumeformula,connectedbetweenthetype.Keywords:Ballsize;Archimedes;LiuHui;fatherandsonzuchongzhi;GuanXiaohe0引言球体积公式是非常复杂问题。在《九章算术》中，球的体积公式相当于(是球的直径)。这是一个近似公式，误差很大。张衡曾经研究了这个问题，但没有得到更好的结果。刘徽发现了《九章算术》少广章所说的球与其外切圆柱的体积之比为π:4的结论是错误的，并正确指出球与“牟合方盖”(两个底半径相同的圆柱垂直相交，其公共部分称为“牟合方盖”)的体积之比才是π:4,把对于球体积问题的研究推进了一大步，但他没有能够解决牟合方盖体积的计算问题。二百年后，祖冲之和他的儿子祖才在这个问题上取得了突破。祖胞，字景烁，曾任梁朝员外散骑侍郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝请等，也是南北朝时期著名的数学家和天文学家，著有《漏刻均已失传。有的文献记载说《缀术》也是他所著,说他还曾参加阮孝绪编著《七2录》的工作。祖冲之父子推算出牟合方盖的体积等于，从而得到正确的球体积公式233dV=16d=3π,彻底解决了球体积的计算问题。由于当时用圆周率π,因此他们的球体积公式为。祖氏父子在推导牟合方盖体积公式的过程中，提出了“幂势既同，则积不容异”(即二立体如果在等高处截面的面积相等，则它们的体积也必定相等)的原理。现在一般把这个原理称为“祖胞原理”。在西方，17世纪意大利数学家卡瓦列里重新提出这个原理，即被称为“卡瓦列里公理”,这个原理成为后来创立微积分学的重要的一步阿基米德(公元前287—前212年)在数学上的成就很多，其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导，他为了找到球体积的计算方法，先用一个空心的等边圆柱(就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高)的容器，里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器，再小心地把溢出的水收集起来，量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验，发现球的体积正好等于圆柱容器体积的。因为圆柱的体积是已知的，从而推导出球的体积公式。阿基米德非常重视这个发现，嘱咐别人在他死后，能在他墓碑上刻上这个图形。这就是上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。1球体积公式的推导历史1.1阿基米德球体积公式的推导阿基米德推导球体积公式的思想方法是先利用力学中的杠杆平衡原理得出球体积公式，然后运用几何方法加以论证.他把球体和锥体分成很多窄的平行的条或薄的平行的层，并且把这些片挂在杠杆的一端，使它平衡于容积和重心已知的一个柱体.阿基米德发现球体积公式的具体方法和过程如下：矩形(长为宽的两倍)、角形和圆(半径为r)围绕BT轴旋转，得旋转体(圆柱体、圆锥体积和球体);然后，从这三个立体上切下与A相距x、x的竖立的薄片(并且假定它们是平行体),并把所得锥体和球体的薄片平移到T点(AB=AT=2r),把所得圆柱体薄片放到原来的圆柱体的重心处，当△x很小时，就得到：球体薄片的体积=πx(2r-x)Ax=2πrx△x-πx²△x,柱体薄片的体积=4πr²△x,锥体薄片的体积=πx²Ax经观察可知，球体薄片的体积+锥体薄片的体积=πx(2r-x)△x+πx²△x=2πrxA,消去πx²△x项，把BT视为支点为A的杠杆，则所有球体和锥体薄片的力矩为4pgπr²xA:(假定柱体、锥体、球体取材相同，其中p为同种材料的密度，g为自由落体加速度),而柱体薄片的以2r为力臂的力矩也为pg2πrx△:2r=4pgπr²x△x利用杠杆平衡原理，可把球体和锥体的所有切得的薄片都挂在距A点2r的T处，3也即故球体体积×2r+锥体体积×2r=柱体体积×r式的严格证明.径0C进行n等分(设每等分的长为h),通过各分点作平行于底面的截面，从将半球划分n个截段，再作每个截段的外接和内接圆柱.根据相交弦定理易知A₁D₁²=CDi×DD₁=h(2r-h)=h(2n-1)hA₂D₂²=CD₂×D₁D₂=2h(2r-2h)=2h(2n-2)hAO²=CO×OD=nh×nh=nh(2n-n)h4对任意的有限项，v柱即不能大于3/2V球，也不能小于3/2v球，从而只能出现相等的关系。1.2刘徽、祖冲之父子球体积公式的推导魏晋时数学家刘徽在研究我国古代数学名著《九章算术》时，为《九章》作注，书名为《九章算术注》。在该书中，刘徽明确指出《九章算术》中的球体积公式v=9/16d³(d为球的直径)是错误的，错误的原因在于误以为球和它的外切圆柱的体积的比是π:4。为了纠正这一错误，刘徽在他的《九章算术注》中，提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接求球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积。何谓“牟合方盖”?用一个正方体的土坯，用一与之内切且等高的空心铁圆柱一套，拿出来，正方体变成了圆柱体，底面正好为原正方体底面的内接圆，然后横放此圆柱，再用同样的一个空心铁圆柱一套(如图一),出现了图二中形状的物体——即由两个同样大小但轴心互相垂直的圆柱体相交而成的立体。由于这个立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞(整个造形也像两顶餐桌上挡苍蝇用的桌罩反向迭合而成的),所以就称它为“牟合方盖”。在这个立体里面，可以内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。刘徽指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为π:4(见图三),所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比亦应为π:4。而显然，因为内切圆柱的体积大于合盖的体积，所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比和球体体积与它的外切圆柱的体积的比应不相等，由此说明《九章算术》中的球体积公式是错误的。显然，只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积，但是他坦诚地记下了自己的困惑，表示“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙言，以候能言者”,表现了一位伟大学者实事求是、寄希望于后学的坦荡胸怀。5二百年后，能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖胞!祖眶是南北朝时牟合方盖”(如图四),设OP=h,过P点作平面PQRS平行于OABC。又设内切球体的半径为r,则OS=OQ=r,由勾股定理有PS=PQ=√,²-h²,故如果将图四的立体放在一个边长为r的正立方体之内(如图五),不难证明图五高处，图五中阴影部分的面积与图六中倒立的正立方锥体的横切面的面积总相“缘幂势既同，则积不容异。”于图五的正立方体体积，由此可知八分之一个“牟合方盖”的体积伴随着中国算书陆续东传日本，球积计算问题也受到日本数学界的数学家6中都曾尝试求解球体积,方法大致是:(1)将直径为1尺的球的直径100等分,在这些分点上沿着与直径垂直相交的平面,把球切为100个其厚度为1分的切片;(2)把上下面切口的直径作为底的直径,计算高度为1分的圆柱体的体积;(3)计算100个圆柱体的体积之和，将其作为球体积的近似值，这样会得出两种情况，如图1所示,在图1(I)的情况下,求出的体积比球体积真值要大,而在图1(Ⅱ)的情况下，求出的体积比球体积真值要小。图1求球体积的“切片”法和算家村松茂清(1608—1695)在《算俎》中首次改进了这种球体积方法.《算俎》在求“玉积率(约0.524)”的方法中这样描述，作垂直于球中的某个直径的一组平面，并把这个直径均匀的切成100等分.这时试着由平面切成的球的各个部分看成圆台，分别计算出它们各自的体积，之后求和计算出玉积率，这种方法显然要比以前的方法精确很多.此后，村濑义益借助村松茂清的这一方法在“玉法根源”中把球体切分成一万份，给出了精确度更高的玉积率.村濑义益的生卒年代没有资料可靠，他应是生活在日本江户初期的和算家.根据村濑在自己著作序文中的介绍，可知他出生在佐渡，向佐渡岛的和算家百川治兵卫的弟子或孙弟子学习数学，之后去江户，拜比自己年龄还小但知名度很大的和算家义村吉德(?—1710年)为师.经过多年的刻苦努力，通晓了当时许多日本数学和从中国传来的数学算书,并于1673年完成自己的数学著作《算法勿惮改》,共有5卷,在卷中给出了一种球体积近似公式.“玉贯法五二三六の根源八贯老尺の玉を老万枚にヘぎてき枚の厚さき毛宛也凡うすやうの紙の厚さに等き也如此径矢弦の術をもツて其径を知銘銘に坪を見て老万枚合て五百贰拾三坪六分と成故二定法とする也切又周法五九二老七九八周三尺老寸四分老厘六毛を再自因而為実以贯法除き知也”.这段话的大意是:玉贯法五二三六(π/6≈0.5236)的根源，是把直径为一尺的球削成一万枚圆台，每枚的厚度为一·,·当于一张纸的厚度，利用径矢弦术可知每枚圆台的底面半径，再求得每枚圆台体积，最后把一万枚圆台体积相加起来，共为五百二拾三坪六分.这是一种求证球体积的方法，其中重要一步是径矢弦术，村濑给出了径矢弦公式，如图2所示.“今有弓形，弦长八寸，矢二寸，问径几何.答曰：径一尺.法曰：弦八寸自因，得7六十四步，另外矢二寸乘定法四，与前面的步法相除，得八，再与矢二寸相加得到径长”.这里给出公式：μ=a²(4)+h,其中d为直径，a为弦，h为矢.濑在“径矢弦四之起”中验证了此公式的正确性.例如，直径(弦)为一尺的圆，内切长方形.又知矢一寸，由勾股定理，可得股为八寸，勾为六寸，用边长为直径(弦)的正方形面积(100步)减去中央边长为股的正方形面积(64步),得这4个相等的面积重新组成一个长方形，长为4h,宽为d-h。由此可以得出下式：a³=4h(d-h),经过整理就得出公式a=a²(4h)+h。实际上这一公式很早就在中国《九章算术》中有了记载，遗憾的是村濑义益没有给出求解球体积计算方法的具体过程，不过关孝和(?—1708)在《括要算法》中给出了明确的计算过程.首先，把直径1尺的球切成50片，每片的厚度为2分，用径矢弦术求出每片弦幂(弦的平方),再把相邻两个弦幂相加后，乘以厚度，再除以2,得到“截积”,把各个截积相加起来，得到“初积”,这里的初积为v₁=666.4;得到初积后，关氏又将球体积分割成100片，每片的厚度为1分，利用同样的计算方法，得到结果为v₂=666.6立方寸，,称为“中积”;之后，再将球切成200片，每片的厚度为5厘，得到“后积”v;=666.65立方寸。由这里已知但这还仍是一个近似的求解方法，直到松永良弼(1693—1744)《立圆率》首次用极限的概念求出了球体的公式，才使这一问题在日本得到最终解决.松永良弼的《算法集成》中的《立圆率》是一部试图解说和证明关孝和《括要算法》(求立圆积术)的著作.他引入自己的具有普遍性的新方法，证明关孝和的球体积计算方法的正确性.在《立圆率》中，松永概述了自己的方法.“切球为数万片，以切口之径为弦.自之各和，以圆法及厚相乘，便得球形.”这一思想方法显然是继承于关氏，为了求出圆柱的体积，松永利用径矢弦术并对这个公式一矢为一寸(h·1=h),弦幂则为三十六(a⁴);若二矢二寸(h·2=2h),则弦幂为六十四(a₂²).但因二矢为一二之和，故为二寸；若三矢三(h·3=3h),8a²=4h(d-h)(k=1,2,……,n)接着，松永把k=1,k=2,…,k=10代入，计算结果为4hd-4h₂,8hd一16h₂,…,40hd-400h:.此后，又把这些算式加起来，“将其得数乘以厚，乘以圆积法，便得球之泛积”.所谓泛积，即“未竟的概略之积”.所谓圆积法，就是4.它对球的泛积v的计算整理后得：V,=π/6d³(1+6/4n-1/n²),得到此式后，松永进一步解释说：“截数(是指n)至亏多则此两数微ナリ故截多极)数习增约シテ此两数习消ス”[4].这即指n→,得到v=116πd³.松永就此导出了球的体积公式，从而证明了关孝和方法的正确性.从和算求解球体积的整个历史发展过程中看出，其主要思想方法是：(1)将球的直径d分为n等分，在这些分点上沿着与直径直交的平面，把球切为n个其厚废为n的切片；(2)把上下面的弦长(切口的径)作为底的直径，计算高度为n的圆柱体的体积，取两个圆柱体积的平均数作为近似的各切片的体积；(3)计算n个切片的体积之和，将其作为球体积的近似值；(4)作为n→~时的极限值，以此决定球的体积.2.球体积公式的推导之比较在中国，《九章算术》给出了球体积的经验公式，这一公式很不精确，东汉刘徽试图找到求解球体积的正确方法，但在求解“牟合方盖”的问题上受到阻碍，没有进行下去.这一方法被南北朝数学家祖胞所沿续，并在研究中发现了“祖原理”,最终得到球体积公式.刘祖剖分球体积的方法与日本和算家切分方法相比，不具有均匀性，是一种不规则的剖分方法.这种方法在特定情况下很有效，但很难成为一般性的方法来推广.之后中国古代对球体积的研究基本上是停顿状态，甚至到后来刘祖剖分球体积的方法已经失传.明清的时候，已经无人知道这一方法，不过受西方数学传入的刺激，中算家另辟蹊径，重新开始球体积的研究.方中通的方法，是将球的一个直径作为中轴，对球体积作一种均匀剖分，可其剖分出来的小体积不规则，很难用当时的数学知识得出结论.梅文鼎是将球体积分成4个等体积的球扇形体，再求出球扇形体的体积，而得到球体积公式.从证明过程中可以看出，他的一些理论是受西方数学知识的影响，另外，在证明上还有不严谨的地方，被后来晚清数学家徐有壬所完善。在日本，最初的思想方法是把球体切成薄片，再把薄片视为圆柱体，通过对圆柱体体积累加，近似得到球体积，不过这种方法从直观上就可判断出不准确，即不是大于球体积就是小于球体积.这种缺陷并没有使和算家放弃此种方法，而是对这种缺陷进行改进.首先是村松茂清在《算俎》中把切片视为圆柱体的作法改为圆台，这使计算精度大为提高，也为这种方法进一步研究给予启发.到了关9氏的《括要算法》,不仅在球体切分上有了大的改进，而且在算法上还发现了其中内含的规律，即每次均匀切分50、100、200……后，把所得到的两个相邻近似球体积值作差运算，发现它们之间存在着等比关系，关氏猜测若如此无限继续下去的话就能得到球的体积，但关氏没有把这一思想方法进行到底，到了关流三传松永良弼彻底解决这一问题，即在继承关氏的思想基础上，最终利用取极限的方法得到球体积公式.在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但“祖胞原理”是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。“祖胞原理”从方法至推导都是由刘徽及祖氏父子自行创出，这不能不算是一项杰出的成就。这一球体体积公式比欧洲阿基米德的虽然出现较迟，但二者有异曲同工之妙。所用“缘幂势既同，则积不容异”的原理，其中“势”即是“祖胞原理”在17世纪由意大利数学家卡瓦列里重新发现，现在一般认为于受刘徽的启发，祖氏父子比卡瓦列利早一千年就用到了这个原理，所以我认为称之为“刘祖原理”可能更切合实际。3.结束语从古代球体积研究历史可知以下几点：首先，中算家的方法是多种多样的，虽有一定的继承，但多数是中算家独立完成的.而日本球体积发展过程确有很强的继承性，逐渐深入，在和算家几代人不懈的努力下，最终完成了球体积公式的证明.其次，中算家证明球体积的方法，集中运用几何知识来证明，而和算家在证明时，不仅运用几何知识，还发现了计算中存在的数量规律，表现出了几何的代数化倾向.还有，中算家方法的特点只局限于对特定问题的特殊证明，他们的方法很难再平移或推广到其它类似数学问题的解决上来.和算家的方法就不同，他们的方法不仅可以解决球体积，而且稍做改进就可以推广到很多类似问题的解决上来.被称为和算中兴之祖的安岛直圆(1732—1798)就是继承了这种方法，开创和发展和算中的缀术理论，而且，这种方法也为后来微积分在和算中的产生做出了准备.古希腊著名科学家阿基米德在其毕生的科学研究中，十分注重理论与实践的紧密结合.他的所有成就几乎都是在理论产生的同时便应用于实践，或在实践的同时产生严密的科学理论，所以阿基米德堪称是把技术实践和严密科学理论相结合的典范.他在物理上卓有成就，譬如《论杠杆》和《论平板的平衡》等著作；他同时也是整个数学史上最伟大的数学家之一，其几何著作堪称古希腊数学的顶峰.从他推导球体积公式的思想方法，我们或许能窥见一斑。美国学者怀尔德(R.Wilder)曾写有《数学概念的进化》和《作为文化系统的数学》两部著作[11].其中主要提出所谓的数学文化论，这是指把数学看成是一个由于其内在力量