上海民办日日学校高三数学理上学期摸底试题含解析

上海民办日日学校高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于 A． B． C． D．参考答案：A圆的标准方程为，所以圆心坐标为,半径，双曲线的渐近线为，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，所以，，即，所以，选A.2.方程的实数根的个数是

（

）

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B略3.已知抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l，且l与x轴交于点E，A是抛物线上一点，AB⊥l，垂足为B，|AF|=，则四边形ABEF的面积等于（）A．19 B．38 C．18 D．36参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，求出A的坐标，而四边形ABEF为直角梯形，直角梯形的面积可求．【解答】解：∵抛物线y2=2x的焦点为F，准线为l，∴F（，1），准线l为x=﹣，∴|EF|=1，|AB|=|AF|，设A（x0，y0），∴|AB|=x0+，∵|AF|=，∴x0+=，解得x0=8，∴y02=2x0=16，∴|y0|=4，∴|BE|=|y0|=4，∴S四边形ABEF=（|EF|+|AB|）×|BE|=（1+）×4=19，故选：A4.“a=1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略5.已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是……（

）．.

.

.

参考答案：B如图，直线l即是线段OA的垂直平分线，P0的对称点即是(0,1)，

其对应的复数为i.选B.6.一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(

)A． B． C．2 D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7.过椭圆(a>b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：B8.设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且，则（

）A． B． C． D．参考答案：C

9.已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D结合双曲线的方程可得双曲线的渐近线为：，则双曲线的一条渐近线为：，据此有：.本题选择D选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．10.已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数的单调递增区间为A.

B.C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AS=AB=1，，则球O的表面积为

．参考答案：5π．【考点】球的体积和表面积．【分析】四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，由此有求出球O的表面积．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，∵SA=AB=1，BC=，∴2R==，即R=，∴球O的表面积S=4πR2=5π．故答案为：5π．12.已知等比数列的各项都为正数，且当时，，则数列，，，，…，，…的前项和等于_______________.参考答案：略13.已知正数满足，则的最大值为

，当且仅当

.参考答案：

试题分析:由题设可得,故,解之得,此时,故应填.考点：二次不等式和二次方程的解法及运用．14.在的二项展开式中，的系数是

（结果用数字作答）.参考答案：415.在△ABC中，∠B=300，AC=1，，则BC的长度为_____.参考答案：1或216.不等式+2x＞0的解集为

{．参考答案：x|x＜﹣3或x＞1}【考点】二阶矩阵；其他不等式的解法．【专题】矩阵和变换．【分析】由二阶行列式的展开法则，把原不等式等价转化为x2+2x﹣3＞0，由此能求出不等式+2x＞0的解集．【解答】解：∵+2x＞0，∴x2+2x﹣3＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式+2x＞0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣3或x＞1}．【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．17.若非零向量，满足：2=（5﹣4）?，则cos＜，＞的最小值为．参考答案：由题意可得?=（2+42），由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小值．解：非零向量，满足：2=（5﹣4）?，可得?=（2+42）=（||2+4||2）≥?2=||?||，即有cos＜，＞=≥?=，当且仅当||=2||，取得最小值．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点G(0，)的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的存在性问题；轨迹方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．19.已知数列{an}中，有an+1=an+4，且a1+a4=14． （1）求{an}的通项公式an与前n项和公式Sn； （2）令bn=，若{bn}是等差数列，求数列{}的前n项和Tn． 参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）由an+1=an+4可知数列{an}是以4为公差的等差数列，再由a1+a4=14求得a1=1然后直接代入等差数列的通项公式与前n项和公式求解； （2）由bn==，且{bn}是等差数列列式求得k的值．然后分k=0和k=﹣利用裂项相消法求得数列{}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）由an+1=an+4，得an+1﹣an=4，可知数列{an}是以4为公差的等差数列， 又a1+a4=14，得2a1+3×4=14，解得a1=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=1+4（n﹣1）=4n﹣3． ； （2）由bn==，且{bn}是等差数列，得2b2=b1+b3， 即，解得：k=0或k=﹣． 当k=0时，，=， ∴=； 当k=﹣时，，=， ∴=． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了裂项相消法求数列额前n项和，是中档题． 20.（14分）已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明；（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求∠的正切值；若不存在，请说明理由．

参考答案：解析：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以

……3分证法二：设点P的坐标为记则由，得．证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

由椭圆第二定义得，即

由，所以

……3分

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是

……7分

解法二：设点T的坐标为

当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F2Q的中点.

设点Q的坐标为（），则

因此

①

由得

②

将①代入②，可得

综上所述，点T的轨迹C的方程是

……7分③④

（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M.

……11分

当时，，

由，

，

，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是③④

由④得

上式代入③得

于是，当时，存在点M，使S=；

当时，不存在满足条件的点M.

……11分

当时，记，

由知，所以

……14分21.(本小题满分14分)已知数列{}的前n项和(n为正整数)。(I)令，求证数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式；(Ⅱ)令，，求并证明：<3．参考答案：（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即..............1当时，，...............................................4......................................................5

...........................................................6又数列是首项和公差均为1的等差数列.............................................7于是...........................................9(II)由（I）得，所以……….10由①-②得

所以………………1422.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【分析】（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可．（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果；【解答】解：（1）∵2bcosC+c=2a．由正弦定理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin（B