高中数学函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型省公开课一等奖新名师获奖课件

§3.2函数模型及其应用3.2.1几类不一样增加函数模型学习目标1.掌握常见增加函数定义、图象、性质、并体会增加快慢；了解直线上升，对数增加，指数爆炸含义(重点).2.会分析详细实际问题，并进行数学建模处理实际问题(重点)．1/27y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上增减性______________________________图象改变趋势随x增大逐步近似与_____平行随x增大逐步近似与_____平行随n值而不一样增加速度①y＝ax(a>1)：伴随x增大，y增加速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)增加速度，y＝logax(a>1)增加速度__________②存在一个x0，当x>x0时，有__________增函数增函数增函数y轴x轴越来越慢ax>xn>logax2/273/274/27【例1】

(1)以下函数中，增加速度最快是(

) A．y＝2017x

B．y＝x2017 C．y＝log2017x

D．y＝2017x (2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x改变数据以下表： 则关于x呈指数型函数改变变量是________．题型一几类函数模型增加差异x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.9075/27解析(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增加速度最快，故选A．(2)以爆炸式增加变量呈指数函数改变．从表格中能够看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始改变，且都是越来越大，不过增加速度不一样，其中变量y2增加速度最快，画出它们图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数改变．答案

(1)A

(2)y26/27规律方法常见函数模型及增加特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)增加特点是直线上升，其增加速度不变．(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表示函数模型，其增加特点是伴随自变量x增大，函数值增加速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．7/27(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表示函数模型，其增加特点是开始阶段增加得较快，但伴随x逐步增大，其函数值改变得越来越慢，常称之为“蜗牛式增加”．(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表示函数模型，其增加情况由a和α取值确定．8/27

解析指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增加，而且a值越大，增加速度越快，应选A． 答案

A9/27【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝x3图象如图所表示．设两函数图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.典例迁移题型二指数函数、对数函数与幂函数模型比较(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2011)，g(2011)大小．10/27解(1)C1对应函数为g(x)＝x3，C2对应函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2011>x2，从图象上能够看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2011)>g(2011)．又因为g(2011)>g(6)，所以f(2011)>g(2011)>g(6)>f(6)．11/27【迁移1】

(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又怎样求解第(1)题呢？ 解由图象改变趋势以及指数函数和幂函数增加速度可知：C1对应函数为g(x)＝x3，C2对应函数为f(x)＝3x.【迁移2】

(变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2015)，g(2015)大小． 解因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<8<x2，2015>x2，从图象上能够看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)，当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2015)>g(2015)，又因为g(2015)>g(8)，所以f(2015)>g(2015)>g(8)>f(8)．12/27规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数方法依据图象判断增加型指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即伴随自变量增加，图象最“陡”函数是指数函数，图象趋于平缓函数是对数函数．13/27【例3】某化工厂开发研制了一个新产品，在前三个月月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月生产量，需要以这三个月月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间关系．对此模拟函数可选取二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月月产量为137t，则选取这两个函数中哪一个作为模拟函数很好？题型三函数模型选择问题14/2715/27再将x＝4分别代入①与②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为靠近第四个月实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更加好，故选取函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数很好．16/27规律方法建立函数模型应遵照三个标准(1)简化标准：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要原因，主要变量，尽可能建立较低阶、较简便模型．(2)可推演标准：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反应性标准：建立模型，应与原型含有“相同性”，所得模型解应含有说明问题功效，能回到详细问题中处理问题．17/27【训练2】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，六个月到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购置者，分析这三种债券收益，假如只能购置一个债券，你认为应购置哪种？18/2719/271．如表是函数值y随自变量x改变一组数据，由此判断它最可能函数模型为(

) A．一次函数模型 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型 解析伴随自变量每增加1函数值增加2，函数值增量是均匀，故为线性函数即一次函数模型．故选A． 答案

A课堂达标x45678910y1517192123252720/272．当x越来越大时，以下函数中，增加速度最快应是(

) A．y＝3x

B．y＝log3x C．y＝x3

D．y＝3x

解析几个函数模型中，指数函数增加最快，故选D． 答案

D21/273．某林区森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%，要增加到原来x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)图象大致是(

)

解析设该林区森林原有蓄积量为a， 由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)， ∴y＝f(x)图象大致为D中图象． 答案D22/274．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x大小关系是(

) A．2x＞x2＞log2x

B．x2＞2x＞log2x C．2x＞log2x＞x2

D．x2＞log2x＞2x

解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x图象，所以x2＞2x＞log2x.

法二比较三个函数值大小，作为选择题，能够采