陕西省宝鸡市渭滨区2020-2021学年高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列求导数运算错误的是（）A．（x2021+e）'＝2021x2020 B．（3x）'＝3xln3 C．（sinx）'＝cosx D．3．曲线f（x）＝ex+x在（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣14．物体运动的位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位为m；t的单位为s），则物体在t＝3s的瞬时速度是（）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s5．用反证法证明“已知直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a∥b”时应假设（）A．a与b相交 B．a与b异面 C．a与b相交或异面 D．a与b垂直6．若随机变量X～B（6，p），DX＝，则EX＝（）A．1 B．2 C．3 D．47．的展开式中常数项为（）A．160 B．184 C．192 D．1868．由曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A．2π B．3π C．4π D．9π9．在平面直角坐标系中，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为（）A． B． C．4 D．510．下列说法中错误的是（）A．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立 B．线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，） C．空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体 D．利用合情推理得出的结论一定是正确的11．（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4＝（）A．49 B．52 C．56 D．5912．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（）A．2f（1）＜f（2） B．2f（1）＞f（2） C．2f（1）＝f（2） D．2f（1）≤f（2）二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数的单调减区间是．14．已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且EX＝3，则DX＝．Xa34P0.10.7b15．若函数在x＝0和x＝1时取极小值，则实数m的取值范围是．16．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有种．三、解答题（共5小题，满分70分）17．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．18．已知函数f（x）为一次函数，若函数f（x）的图象过点（1，3），且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）＝x2，求函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积．19．已知函数有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．20．某企业在产品出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（1）求该产品不能销售的概率；（2）如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利η元，求η的分布列．21．为了迎接期末考试，学生甲参加考前的5次模拟考试，下面是学生甲参加5次模拟考试的数学成绩表：x12345y90100105105100（1）已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程＝x+，若把本次期末考试看作第6次模拟考试，试估计该考生的期末数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值的个数为η，求出η的分布列与数学期望．参考公式：＝＝，＝x+．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵，∴z在复平面内z对应的点为（3，1），在第一象限．故选：A．2．下列求导数运算错误的是（）A．（x2021+e）'＝2021x2020 B．（3x）'＝3xln3 C．（sinx）'＝cosx D．解：（x2021+e）′＝2021x2020，（3x）′＝3xln3，（sinx）′＝cosx，．故选：D．3．曲线f（x）＝ex+x在（0，f（0））处的切线方程为（）A．y＝x+1 B．y＝x﹣1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1解：由f（x）＝ex+x，得f′（x）＝ex+x＝ex+1，∴f′（0）＝e0+1＝2，又f（0）＝e0＝1，∴曲线f（x）＝ex+x在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1．故选：C．4．物体运动的位移方程是S＝10t﹣t2（S的单位为m；t的单位为s），则物体在t＝3s的瞬时速度是（）A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s解：∵S′＝10﹣2t，S′|t＝3＝10﹣6＝4，∴物体在t＝3s的瞬时速度是4m/s．故选：B．5．用反证法证明“已知直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a∥b”时应假设（）A．a与b相交 B．a与b异面 C．a与b相交或异面 D．a与b垂直解：a与b的位置关系有a∥b和a与b不平行两种，因此用反证法证明“a∥b”时，应先假设a与b不平行，即a与b相交或异面．故选：C．6．若随机变量X～B（6，p），DX＝，则EX＝（）A．1 B．2 C．3 D．4解：由于随机变量X～B（6，p），DX＝，则6p（1﹣p）＝，得p＝，E（X）＝6p＝6×＝3，故选：C．7．的展开式中常数项为（）A．160 B．184 C．192 D．186解：∵的展开式的通项公式为Tr+1＝•26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中常数项为•23＝160，故选：A．8．由曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A．2π B．3π C．4π D．9π解：曲线，x＝1，x＝3，x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是V＝πxdx＝π×x2＝×（23﹣12）＝4π．故选：C．9．在平面直角坐标系中，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为（）A． B． C．4 D．5解：根据题意，类比可得在空间直角坐标系中，点（1，2，3）到平面x+2y+2z﹣4＝0的距离为＝．故选：A．10．下列说法中错误的是（）A．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立 B．线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，） C．空间正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体五个多面体 D．利用合情推理得出的结论一定是正确的解：对于A：对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A，B相互独立，故A正确；对于B：线性回归直线＝b+a一定过样本中心点（，），故B正确；对于C：设正多面体的顶点数为V，棱数为E，面数F，每个面是正m变形（其中整数m≥3），每个顶点有n条边与之交汇（其中整数n≥3），则mF＝2E，nV＝2E，与欧拉公式V﹣E+F＝2联立，消去F，V得﹣E+＝2，即﹣1+＝，则＝＞0，则mn﹣2m﹣2n＜0，即（m﹣2）（n﹣2）＜4（其中整数m≥3，n≥2），则或或或或，则F＝•E＝•＝＝4或8或6或20或12，所以正多面体只有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，这五种，故C正确；对于D：合情推理得到的结论不一定正确，它是由特殊到一般，其本质就是由特殊猜想一般性结论，结论是否正确可判断，一般前提为真，结论可能为真，故D错误；故选：D．11．（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4＝（）A．49 B．52 C．56 D．59解：∵（1+x）4+（2+x）3+（1+2x）2＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24+33+32＝52，故选：B．12．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf'（x），则（）A．2f（1）＜f（2） B．2f（1）＞f（2） C．2f（1）＝f（2） D．2f（1）≤f（2）解：因为f（x）＞xf′（x），所以f（x）﹣xf′（x）＞0，设F（x）＝，F′（x）＝＜0，所以F（x）在R上单调递减，所以F（2）＜F（1），所以＜，即f（2）＜2f（1），故选：B．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．函数的单调减区间是（﹣2，4）．解：f′（x）＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2），令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜4，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，4）．14．已知某一随机变量X的概率分布列如表所示，且EX＝3，则DX＝0.6．Xa34P0.10.7b解：由题意可得：0.1+0.7+b＝1，解得b＝0.8，EX＝3，可得3＝0.1a+3×0.7+4×0.2，解得a＝1，DX＝0.1×（1﹣3）2+07×（3﹣3）2+0.2×（4﹣3）2＝0.6，故答案为：0.6．15．若函数在x＝0和x＝1时取极小值，则实数m的取值范围是（0，1）．解：f′（x）＝x3﹣（m+1）x2+mx＝x（x﹣m）（x﹣1），当m＜0时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（m，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0处取得极大值，在x＝1处取得极小值，不合题意，当m＝0时，f′（x）＝x3﹣x2，f″（x）＝3x2﹣2x，所以在（﹣∞，0）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，在（0，）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，在（，+∞）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又因为f′（0）＝0，f′（）＝（）3﹣（）2＝﹣，f′（1）＝0，所以在（﹣∞，0），（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x＝1处取得极小值，x＝0处没有取得极值点，不合题意，当0＜m＜1时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，m）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（m，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0，x＝1处取得极小值，合题意，当m＝1时，f′（x）＝x3﹣2x2+x，f″（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），在（﹣∞，）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，在（，1）上，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，在（1，+∞）上，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又f′（）＝（）3﹣2（）2+＝，f′（1）＝0，f′（0）＝0，所以在（﹣∞，0）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以在x＝0处取得极小值，x＝1处不是极值点，当m＞1时，在（﹣∞，0）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，m）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（m，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝0处取得极小值，x＝1处取得极大值，不合题意，故答案为：（0，1）．16．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有119种．解：根据题意，“我爱大中华”五个字排成一排，有＝120种不同的顺序，其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120﹣1＝119种；故答案为：119．三、解答题（共5小题，满分70分）17．用数学归纳法证明：对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．【解答】证明：（1）当n＝1时，4n+15n﹣1＝18，能被9整除，故当n＝1时，4n+15n﹣1能被9整除．（2）假设当n＝k时，命题成立，即4k+15k﹣1能被9整除，则当n＝k+1时，4k+1+15（k+1）﹣1＝4（4k+15k﹣1）﹣9（5k﹣2）也能被9整除．综合（1）（2）可得，对任意正整数n，4n+15n﹣1能被9整除．18．已知函数f（x）为一次函数，若函数f（x）的图象过点（1，3），且．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若函数g（x）＝x2，求函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积．解：（1）根据题意，f（x）为一次函数，设f（x）＝kx+b（k≠0），又因为函数f（x）的图象过点（1，3），则有3＝k+b，①又由，即f（x）dx＝（kx+b）dx＝（kx2+bx）＝+3b＝，②由①②得：k＝1，b＝2，故f（x）＝x+2；（2）由，解可得x1＝﹣1，x2＝2，所以f（x）与g（x）围成的图形面积为，即S＝（x+2﹣x2）dx＝（x2+2x﹣）＝；故函数f（x）与g（x）的图象围成图形的面积为．19．已知函数有三个极值点．（1）求c的取值范围；（2）若存在c＝27，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围．解：（1）因为函数有三个极值点，则f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c＝0有三个不等的实根，设g（x）＝x3﹣3x2﹣9x+c，则g'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）或（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（﹣1，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故，即，解得﹣5＜c＜27，所以c的取值范围为（﹣5，27）；（2）当c＝27时，f'（x）＝x3﹣3x2﹣9x+27＝（x﹣3）2（x+3），由f'（x）＜0，可得x＜﹣3，所以f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，又函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，所以a+2≤﹣3，故a的取值范