1-4-空间向量的应用(精讲)(原卷版)

1.4空间向量的应用（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一求平面的法向量【例1】（2021·全国高二课时练习）已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量．【一隅三反】1．（2021·福建）四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量．2．（2021·山东）正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：（1）平面BDD1B1的一个法向量；（2）平面BDEF的一个法向量．考点二利用空间向量证空间位置【例2-1】（2021·浙江湖州市·高二期末）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）A． B． C．或 D．l与斜交【例2-2】（2021·四川省内江市第六中学高二月考（理））如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：（1）平面；（2）平面平面.【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）下列命题中，正确命题的个数为（）①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔；③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·福建）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.3.（2021·广东肇庆）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE.4．（2021·云南）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．（1）求证：BM∥平面ADEF；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）证明：平面BCE⊥平面BDE.考点三利用空间向量求空间角【例3】（2021·浙江）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为线段，，的中点．（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【一隅三反】1．（2021·浙江）如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．（2021·天津高三二模）如图，在三棱柱中，平面，，，侧棱，是的中点．（1）求证：；（2）求直线与所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值．3．（2021·新安县第一高级中学）已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，．（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值．考点四利用空间向量求空间距离【例4】（2021·全国高二课时练习）长方体中，，，，是的中点，在线段上，且，是的中点，求：（1）到直线的距离；（2）到平面的距离．【一隅三反】1．（2021·河北）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上．点到直线的距离的最小值为______．2．（2020·邵东市第一中学高三月考）在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则点到直线距离的最小值为______3．（2021·周至县第二中学高二期末（理））如图，正方体，棱长为，为的中点；

（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离；4．（2021·上海高三二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．考点五 求参数【例5】（2021·全国高二单元测试）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.（1）求证：AC⊥BC1；（2）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD?（3）在AB上是否存在点D，使得AC1//平面CDB1?【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．（1）求证：平面．（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；2．（2021·山西）如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．（1）求证：ADBF；（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平