函数知识点复习

函数知识点复习同一函数的概念：构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。=1\*GB2⑴下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与。A、①②B、①③C、③④D、①④=2\*GB2⑵判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，A、⑴、⑵ B、⑵、⑶ C、⑷ D、⑶、⑸2.函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且。如（1）函数的定义域是____。（2）若函数的定义域为R，则_______(答：)；（3）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________(答：)；（4）设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围①；②）2．复合函数的定义域：如（1）若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为________（答：[1,5]）3.求函数值域（最值）的方法：1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（答：[4,8]）；（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___（答：）；（3）已知的图象过点（2,1），则的值域为______（答：[2,5]）2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_____（答：）；（2）的值域为_____（答：）3．函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，，的值域（答：、（0,1）、）；4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，，的值域（答：、、）；5．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；（3）求函数及的值域（答：、）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。6．判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）②型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：）③型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值（答：）④型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）7．不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是__.（答：）。8．导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：－48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？4.求函数解析式的常用方法：1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式。（答：）2．代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_____（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=________（答：）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。3．方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+=,则=_（答：）复合函数定义域和值域练习题求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴⑵⑶2、设函数的定义域为，则函数的定义域为___；函数的定义域为________；3、若函数的定义域为，则函数的定义域是；函数的定义域为。知函数的定义域为，且函数的定义域存在，求实数的取值范围。求函数的值域求下面函数的值域⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾已知函数的值域为[1，3]，求的值。答案函数定义域：1、（1）（2）（3）2、；3、4、函数值域：5、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）6、5.函数的奇偶性：判断函数奇偶性的前提是先看定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点不对称,则直接下结论，为非奇非偶函数.=1\*GB2⑴确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：（f（0）=0，奇偶性的定义，图像）①定义法：如判断函数的奇偶性____（答：奇函数）。②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性___.（答：偶函数）③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。=2\*GB2⑵函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.③若为偶函数，则。如若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。（f（x）为奇函数—>f(0)=0,而f（0）=0不可推出f（x）为奇函数）若为奇函数，则实数=____（答：1）.（直接讲f（0）=0带入）6.函数的单调性。1．确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：）)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等。（1）若函数在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且）)；技巧：形如f（x1）-f（x2）/(x1-x2)>0,为增函数；形如f（x1）-f（x2）/(x1-x2)<0,为减函数。③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。典型例题：单调性与奇偶性的应用：1.设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，的大小关系是（）ABCD2..已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是A．（，）B．（，）C．（，）D．3.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．4.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围是()A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3)5．(2010·温州一模)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．6．(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)<0，则 ()A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)7．(2009·湖南示范性高中一模)函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且x≠0，g(x)≠1，则F(x)＝eq\f(2f(x),g(x)－1)＋f(x) ()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数二填空题8．设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且,则f（7）=______.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.9．f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x≠±1,x∈R}且满足f(x)+g(x)=,则f(x)=____,g(x)=______.10、定义在上的奇函数，则常数____,_____三．判断下列各函数的奇偶性1）f（x）=（x-2）；23456；7四．简答题：函数对一切，都有，求证：为奇函数；若，用表示.2.已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.3、定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.5.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.技巧性做法：如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等1）若，满足，则的奇偶性是______（答：奇函数）；2）若，满足，则的奇偶性是______（答：偶函数）；3）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式.（答：）．7.函数周期性：1．由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；③若恒成立，则.2.①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；习题练习：(1)设是上的奇函数，，当时，，则等于_____(答：)；(2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为_________(答：)；（3）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答：993)；（4）设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有A、B、C、D、（答：A）；（5）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求（答：1）； （6）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是____（答：负数）定义在上的函数满足，当时 （7）定义在上的函数满足，当时，，则（）；；（8）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 （）（9）函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上是减函数，那么在上是 （）增函数减函数先增后减函数先减后增函数10、已知函数是以为周期的周期函数，且当时，，则的值为 （）11、定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（） 12、已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）D2`13.已知是奇函数，，则=____________．14、函数对于任意实数满足条件，若，则15、设的最小正周期且为偶函数,它在区间上的图象如右图所示的线段,则在区间上,1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为()A．－1B．0C．2．已知函数是一个以4为最小正周期的奇函数，则 （） A．0 B．－4 C．4 D．不能确定3.（2009江西）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．4.函数对于任意实数满足条件，若，则等于()A.B.C.D.5.是定义在上的函数，且，则（）A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数7.已知偶函数满足，且当时，，则的值等于()A.B.C.D.8．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A．B．C．D．9（07安徽）定义在R上函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭