702024年中考数学冲刺：动手操作与运动变换型问题(基础)

2024中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(基础)一、选择题

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP为菱形，则t的值为（）

A.

B.2C.

D.3

2．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为（）

A.

B.1C.

或1D.

或1或

3.（2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）.

A．

B．

C．

D．

二、填空题

4．如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP以AP为边在其左侧作等边△APQ

连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是___；

（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是______.

5．如图,矩形纸片ABCD,AB=2，点E在BC上,且AE=EC．若将纸片沿AE折叠,点B恰好落在AC上，则AC的长是______.

6.（2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是______．

三、解答题

7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；

（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________(结果保留根号)；

（3）画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形是何特殊四边形，并说明理由．

8.（1）观察与发现

小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．

9.如图（1），已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N．

①证明：DM＝ND；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；

（2）继续旋转至如图（2）所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）继续旋转至如图（3）所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．

10.（2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．

（1）求直线DE的解析式；

（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．

答案与解析【答案与解析】一、选择题

1.【答案】B；

【解析】

连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝CQ=（6-t），

∴BD=6-（6-t）=3+t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，

∴6-t=（3+t），解得：t=2，故选B.

2.【答案】D；

【解析】

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；

∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，

则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，

故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；

同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；

综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．

3.【答案】D.

【解析】

（1）如图1，

当点N在AD上运动时，

s=AM•AN=×t×3t=t2．

（2）如图2，

当点N在CD上运动时，

s=AM•AD=t×1=t．

（3）如图3，

当点N在BC上运动时，

s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t

综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．

二、填空题

4.【答案】（1）；（2）0，

；

【解析】

（1）由题意知，当AB为梯形的底时，AB∥PQ，即PQ⊥y轴，又△APQ为等边三角形，AC＝2，由几何关系知，

点P的横坐标是.

（2）当AB为梯形的腰时，当PB∥y轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P的横坐标是.

5.【答案】4；

【解析】

由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和为90°，

所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.

6.【答案】①②③．

【解析】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；

②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，

根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；

③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．

又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，

EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：==，

∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（

×3）=≠3．

故答案为：①②③．

三、解答题

7.【答案与解析】

（1）如图所示建立平面直角坐标系．

（2）如图画出点C，C(-1，1)．△ABC的周长是．

（3）如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．

理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，

∴四边形ABA′B′是平行四边形.

又∵CA＝CB，

∴CA＝CA′＝CB＝CB′．

∴AA′＝BB′．

∴四边形ABA′B′是矩形．

8.【答案与解析】

解：

（1）同意．

如图所示，设AD与EF交于点G．

由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．

又由折叠知，∠AGE＝∠AGF＝90°，

所以∠AEF＝∠AFE，

所以AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．

（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形∠AEB＝45°，

所以∠BED＝135°．

又由折叠知，∠BEG＝∠DEG，

所以∠DEG＝67.5°．

从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．

9.【答案与解析】

解：

（1）①连接DB，利用△BMD≌△CND或△ADM∽△BDN即可证明DM＝DN．

②由△BMD≌△CND知，，

∴．

即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于，不发生变化．

（2）连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．

（3）连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．

10.【答案与解析】

解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），

∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，

∵DE⊥DC，

∴∠EDO+∠CDO=90°，

∵∠DCO+∠CD∠=90°，

∴∠EDO=∠DCO，

∵tan∠EDO=tan∠DCO=，

∴，

∴OE=，

∴E（﹣，0），

∴D（0，），

∴直线DE解析式为y=2x+，

（2）由（1）得E（﹣，0），

∴AE=AO﹣OE=2﹣=，

根据勾股定理得，DE==，

∴菱形的边长为5，

如图1，

过点E作EF⊥AD，

∴sin∠DAO=，

∴EF==，

当点P在AD边上运动，即0≤t＜，

S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，

如图2，

点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，

S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；

∴S=，

（3）设BP与AC相交于点Q，

在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，

∴DE⊥AB，

∴∠DAB+∠ADE=90°，

∴∠DCB+∠ADE=90°，

∴要使∠EPD+∠DCB=90°，

∴∠EPD=∠ADE，

当点P在AD上运动时，如图3，

∵∠EPD=∠ADE，

∴EF垂直平分线PD，

∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，

∴2t=5﹣，

∴t=，

此时AP=1，

∵AP∥BC，

∴△APQ∽△CBQ，

∴，

∴，

∴，

∴AQ=，

∴OQ=OA﹣AQ=，

在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，

当点P在DC上运动时，如图4，

∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°

∴△EDP∽△EFD，

∴，

∴DP===，

∴2t=AD﹣DP=5+，

∴t=，

此时CP=DC﹣DP=5﹣=，

∵PC∥AB，

∴△CPQ∽△ABQ，

∴，

∴，

∴，

∴CQ=，

∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，

在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，

即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．

当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(提高)一、选择题

1.（2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）

A．B．

C．

D．

2.（2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）

A．1080°B．360°C．180°D．900°

3.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

4.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）

A、

B、C、D、

二、填空题

5.如图（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形．对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：______．

6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=

,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________

7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是______cm．

三、解答题

8．阅读下列材料：

小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．

他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．

请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；

（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．

9.如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．

（1）如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；

第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；

则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；

（3）如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

10.操作与探究

（1）图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；

（2）再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；

（3）请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；

（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?

11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例：

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现：

小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究：

（1）正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：

小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．

当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

12.（2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；

（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．答案与解析【答案与解析】一、选择题

1.【答案】B；

【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．

2.【答案】A；

【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．

3.【答案】B；

【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.

4.【答案】D.

二、填空题

5.【答案】

答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；

②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．

【解析】

拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.

6.【答案】；

【解析】

由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，

此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，

过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，

由圆周角定理可知∠EOH=12

∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=

，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=

∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=OE.sin∠EOH=1×=

，

由垂径定理可知EF=2EH=，

故答案为：

．

7.【答案】10；

【解析】

解：设OE的解析式为y=kt，

∵点M（4，5），

∴k=，

如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，

∵AG⊥BC，

∴四边形ADCG是矩形，

∴AG=DC=6，

∴AB2=BG2+AG2，

∴（）2=t2+62，

解得：t=8，

∴AB=×8=10（cm）．

三、解答题

8.【答案与解析】

解：

（1）拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．

（2）正确画出图形(如图所示)．

平行四边形MNPQ的面积为．

9.【答案与解析】

解：

（1），，．

（2）相等，比值为．

（3）设DG＝x．

在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．

∵∠HGF＝90°，

∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，

∴△HDG∽△GCF，

∴．

∴CF＝2DG＝2x．

同理∠BEF＝∠CFG．

∵EF＝FG．

∴△FBE∽△GCF，

∴BF＝CG＝．

∴．

解得，即．

（4），．

10.【答案与解析】

（1）由对称性可证∠ECB＝∠B．

（2）如图所示，有3种折法．

（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．

（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．

11.【答案与解析】

解：实验探究

（1）

（2）剪拼方法如图（1）（2）（3）．

联想拓展

能，剪拼方法如图（4）(图中BG＝DH＝b)．

(注意；图（4）用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)

12.【答案与解析】

解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，

∴CB与CE重合，

∴∠CBE=∠A=45°，

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，

∵BG=AD=BF，

∴∠BGF=∠BFG=45°，

∴∠A=∠BGF=45°，

∴GF∥AC．

（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，

∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，

∵∠ACD=∠ECF，

∴∠ACE=∠DCF，

∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，

∴∠CAE=∠CDF，

∴A、D、M、C四点共圆，

∴∠CMF=∠CAD=45°，

∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．

②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．

∵AD=DB，CA=CB，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

由①可知A、D、M、C四点共圆，

∴当α从90°变化到180°时，

点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，

∵OA=OC，CD=DA，

∴DO⊥AC，

∴∠DOC=90°，

∴的长==．

∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．中考冲刺：数形结合问题(基础)一、选择题

1．（2016•枣庄）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：

①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲）然后拼成一个平行四边形（如图乙）.那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为（）

A、B、

C、D、

二、填空题

3.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的序号为____________.

①b+c＞0②a+b>a+c③ac＜bc④ab＞ac

4.（2016•通辽）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：

①abc＜0

②b2﹣4ac＞0

③4b+c＜0

④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2

⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，

其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______．

三、解答题

5.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么2个小时时血液中含药最高,达每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含药量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.

（1）分别求出x≤2和x≥2时y与x的函数解析式；

（2）如果每毫升血液中含量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有多长?

6．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_____；

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．①______②_______；

（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？

（4）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值．

（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值．

7.为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图所示：

（1）分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；

（2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜．

8.（长宁区二模）如图，一次函数y=ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（2，1），点B的坐标（﹣1，n）．

（1）分别求两个函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

9.请同学们仔细阅读如图所示的计算机程序框架图，回答下列问题：

（1）如果输入值为2，那么输出值是多少？

（2）若要使输入的x的值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围；

（3）若要使开始输入的x的值经过两次运行才能输出结果，那么x的取值范围又是多少？

10.观察如图所包含规律（图中三角形均是直角三角形，且一条直角边始终为1，四边形均为正方形．S1，S2，S3，…Sn依次表示正方形的面积，每个正方形边长与它左边相邻的直角三角形斜边相等），再回答下列问题．

（1）填表：直角边A1B1A2B2A3B3A4B4…AnBn长度1…（2）当s1+s2+s3+s4+…+sn=465时，求n．

11.某报社为了了解读者对该报社一种报纸四个版面的认可情况，对读者做了一次问卷凋查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，并将调查结果绘制成如下的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题．

（1）在这次活动中一共调查了多少读者？

（2）在扇形统计图中，计算第一版所在扇形的圆心角度数；

（3）请你求出喜欢第四版的人数，并将条形统计图补充完整．

答案与解析【答案与解析】一、选择题

1．【答案】C；

【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，∴c=0，∴abc=0∴①正确；

∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，

又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；

∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，∴△＞0，

∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正确；

综上可得，正确结论有3个：①③④．

2．【答案】D；

二、填空题

3．【答案】②③④；

4．【答案】②③⑤；

【解析】由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．

∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．

∵B（，y1）、C（，y2）为函数图象上的两点，点C离对称轴近，∴y1＜y2，故④错误，

由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．

∴②③⑤正确.

三、解答题

5．【答案与解析】

解：

（1）当x≤2时，设y=kx，

把（2，6）代入上式，得k=3，

∴x≤2时，y=3x；

当x≥2时，设y=kx+b，

把（2，6），（10，3）代入上式，得

k=，b=

∴x≥2时，y=x+

（2）把y=4代入y=3x，得x1=

把y=4代入y=x+得x2=

则x2-x1=6（小时）．

答：这个有效时间为6小时．

6．【答案与解析】

解：

（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；

（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，还可以表示为（m+n）2-4mn；

（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；

（4）∵mn=-2，m-n=4，

∴（m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4×（-2）=16-8=8；

（5）x2+2x+y2-4y+7，

=x2+2x+1+y2-4y+4+2，

=（x+1）2+（y-2）2+2，

∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，

∴（x+1）2+（y-2）2≥2，

∴当x=-1，y=2时，代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值是2．

故答案为：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．（4）8

（5）最小值是2.

7.【答案与解析】

解：

（1）设y1=kx+b，将（0，29），（30，35）代入，

解得k=，b=29，∴y1=x+29，

又24×60×30=43200（min）（属于隐含条件）

∴y1=x+29（0≤x≤43200），

同样求得y2=x(0≤x≤43200)；

（2）当y1=y2时，

x+29=x，

x=；

当y1＜y2时，

x+29＜x，x＞．

所以，当通话时间等于min时，两种卡的收费一致，

当通话时间小于

min时，“如意卡便宜”，

当通话时间大于

min时，“便民卡”便宜．

8.【答案与解析】

解：（1）一次函数y=ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（2，1），

，

解得

一次函数的解析式是y=x﹣1，

反比例函数的解析式是y=；

（2）当x=0时，y=﹣1，

S三角形AOB=|﹣1|×2+|﹣1|×|﹣1|

=1+

=．

9.【答案与解析】

解：

（1）依据题中的计算程序列出算式：3×2+1，

∵3×2+1=7，7＜9，

∴应该按照计算程序继续计算，3×7+1=22＞9，

∴如果输入值为2，那么输出值是22．

（2）依题意，有3x+1＞9，

解得x＞；

（3）依题意，有

解得＜x≤.

10.【答案与解析】

解：

（1），

，直角边A1B1A2B2A3B3A4B4…AnBn长度12…（2）S1=（）2=2，

S2=（）2=3，

S3=22=4，

S4=（）2=5，……..

Sn=（）2=n+1；

由s1+s2+s3+s4+…+sn=465可得：1+2+3+4+5+…+n=465，

(1+n)×n=465

解得：n=-31（不合题意舍去）或n=30，

故：n=30．

11.【答案与解析】

解：

（1）这次活动中一共调查了500÷10%=5000（人）；

（2）第一版所在扇形的圆心角度数=360°×（1-20%-40%-10%）=108°；

（3）喜欢第四版的人数是：5000×20%=1000（人），如下图所示：

中考冲刺：数形结合问题(提高)一、选择题

1．（2016•黄冈模拟）如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）

A．注水的速度为每分钟注入cm高水位的水

B．放人的长方体的高度为30cm

C．该容器注满水所用的时间为21分钟

D．此长方体的体积为此容器的体积的

2.若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅图像分别表示变量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的①、②、③、④对应顺序.

①小车从光滑的斜面上滑下(小车的速度与时间的关系)

②一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物(弹簧长度与所挂重物的重量的关系)

③运动员推出去的铅球(铅球的高度与时间的关系)

④小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回(路程与时间的关系)

正确的顺序是()

A．③④②①B．①②③④C．②③①④D．④①③②

二填空题

3.如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有______个.

4.（2015秋•江阴市期中）如图1，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q．如图2，先将圆周上表示p的点与数轴原点重合，然后将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示﹣2014的点与圆周上重合的点对应的字母是______．

5.（2016•鄂州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图（2），当t=____________时，△ABE与△BQP相似．

三、解答题

6.将如图所示的长方体石块（a＞b＞c）放入一圆柱形水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为v

cm3/s，直至注满水槽为止．石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图所示．

在这三种情况下,水槽内的水深h

（cm）与注水时间

t（s）的函数关系如上图1-6所示,根据图象完成下列问题

（1）请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的函数关系图象用线连接起来；

（2）水槽的高h=______cm；石块的长a=______cm；宽b=______cm；高c=______cm；

（3）求图5中直线CD的函数关系式；

（4）求圆柱形水槽的底面积S．

7.在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形．

（1）请你利用这个几何图形求的值为_______；

（2）请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形．

8.（2015秋•北京校级期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B是y轴正半轴上一个定点，D是BO的中点．点C在x轴上，A在第一象限，且满足AB=AO，N是x轴负半轴上一点，∠BCN=∠BAO=α．

（1）当点C在x轴正半轴上移动时，求∠BCA；（结果用含α的式子表示）

（2）当某一时刻A（20，17）时，求OC+BC的值；

（3）当点C沿x轴负方向移动且与点O重合时，α=______，此时以AO为斜边在坐标平面内作一个Rt△AOE（E不与D重合），则∠AED的度数的所有可能值有______．（直接写出结果）

9．阅读材料，解答问题．

利用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．

又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．

∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是_________；

（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0（画出草图）.

10．（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高1.5米，路灯的灯柱高4.5米．①如图1，若小明在相距10米的两路灯AB、CD之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为FM=x米，FN=y米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？

②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图箭头），以0.8米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度．

（2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图（实线表示乌龟，虚线表示兔子）.

答案与解析【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；

【解析】设AB的解析式为y=k1t+b1，BC的解析式为y=k2t+b2，由题意得

，，解得：，，

∴y=，

A、当0≤t≤3时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水，

当3＜t≤21时，注水的速度为每分钟注入cm高水位的水；

B、由图象知，那样放置在圆柱体容器内的长方体的高为50﹣30=20cm；

C、令y=0，则﹣x+35=0，解得：x=21，∴该容器注满水的时间为21秒．

D、设每秒钟的注水量为mcm3．

则下底面中未被长方体覆盖部分的面积是：m÷=（cm2），

圆柱体的底面积为：m÷=cm2．

二者比为：=1：4，∴长方体底面积：圆柱体底面积=3：4．

∵圆柱高：长方体高=20：50=2：5，∴长方体体积：圆柱体体积=6：20=3：10，

∴圆柱体的体积为长方体容器体积的；

故选C．

2.【答案】A；

二、填空题

3.【答案】5.

【解析】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理

可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，

根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知