平面向量总复习

平面向量

复习课1平面向量总复习5/8/2024知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度2平面向量总复习5/8/2024二、向量的表示AB2、坐标表示：xyO(x,y)Axy一、向量的概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量、向量的夹角等.1、字母表示：3平面向量总复习5/8/2024三、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：1、作图（二）向量的减法2、坐标运算：1、作图平行四边形法则：abab+ab+4平面向量总复习5/8/2024（1）长度：（2）方向：

（三）数乘向量4、平面向量基本定理5平面向量总复习5/8/20241、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABθB1(四)数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算6平面向量总复习5/8/2024①e·a=a·e=|a|cosθ②a⊥ba·b=0③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|

a2=a·a=|a|2(a·a=)④cosθ=⑤|a·b|≤|a|·|b|平面向量的数量积a·b的性质:7平面向量总复习5/8/2024四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定)六、向量的长度七、向量的夹角向量表示坐标表示向量表示坐标表示8平面向量总复习5/8/2024特别注意：由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应排除夹角为0或的情况，也就是要进一步说明两向量不共线。9平面向量总复习5/8/2024例1e1、e2不共线，a=e1+e2b=3e1－3e2a与b是否共线。典型例题分析:解：假设,a与b共线则

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

这样λ不存在。

∴a与b不共线。10平面向量总复习5/8/2024例2设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴11平面向量总复习5/8/2024例3、已知a=(3,-2)

b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b12平面向量总复习5/8/2024例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a解：设a=(x,y)

则x2+y2=100

-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8

a=(6,-8)或(-6,8)13平面向量总复习5/8/2024例5、设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则|3a+b|=____解：法1

a=(x1y1)b=(x2,y2)

x12+y12=1x22+y22=1

3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9x1x2+y1y2=

3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12∴(3a+b)=214平面向量总复习5/8/2024法29=9a2+4b2-12a·b∴a·b=

又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12

∴|3a+b|=215平面向量总复习5/8/2024解：∵∴同理可得

∴θ=120°16平面向量总复习5/8/2024（1）k=19（2）,反向17平面向量总复习5/8/202418平面向量总复习5/8/2024[解][答案]

C19平面向量总复习5/8/2024[解]20平面向量总复习5/8/2024考点归纳

1、向量的概念

2、实数与向量的积

3、平面向量的坐标运算

4、线段的定比分点

5、平面向量的数量积21平面向量总复习5/8/2024练习一、选择题：1、如图所示，G为ABC的重心，则GA+GB-GC等于（）

A.0

B.GEC.4GD

D.4GF2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.λ>B.λ≥C.λ<D.λ≤3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，则a和b的夹角θ是（

）

A.120。B.150。C.60。D.30。ABDCGFEDAA22平面向量总复习5/8/20244、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（）

A.-6

B.6

C.3

D.-35、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33，则a与b的夹角为（）

A.30。B.60。C.120。D.150。6.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,则a·b=()A.10B.-10C.10D.10BCA23平面向量总复习5/8/2024二、解答题：7、已知e1与e2是夹角为60。的单位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a与b的夹角α。解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。

∴e1.e2=|e1||e2|cos60。=∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1·e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。24平面向量总复习5/8/20248、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角；(2)已知|a|=,|b|=，且a与b的夹角为，试求a+2b与a-b的夹角θ的余弦值。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。25平面向量总复习5/8/2024（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=326平面向量总复习5/8/20249、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC27平面向量总复习5/8/2024（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共线

∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0