计算机图形学课件5

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春如X彘泉

"基本概念

第

5U二维基本几何变换

音

，u二维复合变换

8二维观察

B三维图形变换

投影变换

▼5.1基本概念

在计算机绘图应用中，经常要进行从一个几何

第图形到另一个几何图形的变换，

5例如：

章修图形向某一方向平移一段距离；

将图形旋转一定的角度；

图

或修图形放大或缩小等等，

形

变这种变换过程称为-何变换。

换

图形的几何变换是计算机绘图中极为重要的一

与个组成部分，利用图形变换还可以实现二维图形和

观三维图形之间转换，甚至还可以把静态图形变为动

察态图形，从而实现景物画面的动态显示。

y5.1基本概念

第几何变换

5图形的几何变换：对图形的几何信息经

章过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形,

是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。

5.2二维基本几何变换

y

二维图形几何变换的基本原理

第

5二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连

线次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。

章

图实际上，由于一个二维图形可以分解成点、直

形线、曲线。把曲线离散化，它可以用一串短直线段

来逼近，而每一条直线段均由两点所决定

变

这样，二维平面图形不论是由直线段组成，还

换是由曲线段组成，都可以用它的轮廓线上顺序排列

与的平面点集来描述。

观因此可以说，对图形作几何变换，其实质是对

点的几何变换，通过讨论点的几何变换，就可以理

察

解图形几何变换的原理。

5.2二维基本几何变换

例如，如果要对下图中的四边形ABCD进行平移变换,

只需要对四个顶点A、B、C、D做平移变换，连接平

第移后的四个顶点即可得到四边形平移变换的结果。

5

早

图

形

变

换

与

观

察

5.2二维基本几何变换

▼

第二维图形几何变换的原理

5

二维图形由点或直线段组成

章

直线段可由其端点坐标定义

图

二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换

形

变

尸二卜y]P'=[x'yr_

换

与

观

察

5.2二维基本几何变换

▼

对二维图形进行几何变换有五种基本变换形式,

它们是：平移、旋转、比例、•称和错切，这些图

第

5形变换的规则可以用函数来表示。

章有两种不同的变换形式：

图一种是图形不动，而坐标系变动，即变换前与

形变换后的图形是针对不同坐标而言的，称之为坐标

变模式变换；

换另一种是坐标系不动，而图形改变，即变换前

与与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之

为图形模式变换。

观

实际应用中，后一种图形变换更有实际意义，

察

下面讨论的图形变换是属于后一种变换。

几种典型的二维图形几何变换

1.平移变换(translation)

T平行于x轴的方向上的移动量

第x

T平行于y轴的方向上的移动量

5v

早几何关系

[x'=x+T"

矩阵形式I

£y\~F

平移变换

2.比例变换（scale）

■

指相对于原点的比例变换

J

S平行于x轴方向上的缩放量

5Sy平行于y轴方向上的缩放量

章

几何关系

图

形

变

换

与

观

察

V比例变换的性质

当S、.=s「时，变换前的图形与变换后的图形相似

4y

当s=s〉1时，图形圈放大，并远离坐标原点

x

第y

当O<S.=S,<1时，图形羽1缩小，并靠近坐标原点

5xy

当SYWSJ时，图形将发生畸变

章4y

图

形

变

换

与

观

察

Sx、.Wy

3.旋转变换(rotation)y

点P绕原点逆时针转。度角

(设逆时针旋转方向为正方向)

第几何关系|

5

章{X—KCOSCp

[V="sincp

图£二厂cos(6+o)=rcos"cos6一尸sinesin0

形y'=rsin(6+o)=rcossin0+rsin(pcosO

变整理可得:

换

[x'=xcos9-ysin0

与

[j/=xsin9+ycos9

观

察cos0sin0

矩阵形式[xfy]=L

-sin0cosd

齐次坐标(homogeneouscoordinates)技术

■

JL齐次坐标技术的引入

平移、比例和旋转等变换的组合变换

5

处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。

章

图

2.变换具有统一表示形式的优点

形

-便于变换合成

变

-便于硬件实现

换

与3.齐次坐标技术的基本思想

观

把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中

察

解决。

第齐次坐标(homogeneouscoordinates)

▼齐次坐标表示：用n+1维向量表示一个n维向量。

5

章

-齐次坐标的不唯一性

图

形例：非齐次坐标点P区M：3,5]

齐次坐标点hy川：

变9

换

H骞20,刈；[6,10,21;a5,1]

与

观

察

基本几何变换的齐次坐标表示

■

10o

JV平移变换£y'l]=[xy1]o1o

TxTy1

5

00

章

v比例变换£V1]二Xy1]0Sy0

图001

形

cosOsin0o-

变V旋转变换:.xy'1]=；xy1]-sin0cosO0

换001

与

观

察

常用的二维几何变换

1.对称变换(symmetry)(反射变换或镜像变换)

(1)相对于y轴对称斗

第X=——X

、=y

5

X

早

Ch*y

图

形(2)相对于x轴对称

变

换

与

观

察

（3）相对于原点对称（即中心对称）V,

第

5

0

章£y10——x对称变换（3）

1

图（4）相对于直线y=x对称

形

变

换

与

观

对称变换（4）

察

x1

(5)相对于直线y=-x对称

y

第几何关系

5

章

图

形矩阵形式对称变换(5)

变

换

0-io

与卜'yA=[xyL-io0=[-y-X1]

观o01

察

2.错切变换（shear）

（1）沿x轴方向关于y轴错切

将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成8角的

倾斜线，而保持y坐标不变。

第

y*

5几何关系

早

图

形

变

换

与错切变换（1）

矩阵形式

观

100

察

人£yM111一-\人xy1]a10=\x+ayy1]

001

(2)沿y轴方向关于x轴错切

一、将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成甲角的

■倾斜线，而保持x坐标不变。

第

5几何关系

章

图\X-X

IW=y+Av

形令》=ctgcp有Ay=xctgcp—

变

X=X错切变换(2)

换代人得

y=y^bx

与

矩阵形式

观

1b0

察

，/l]=[xy1]010=[xbx+y

001

5.3二维复合变换

■

复合变换是指：

第

5图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变

换矩阵相乘。

章

任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的

图组合形式。

形复合变换具有如下形式：

变

换

与

观

察

■5.3.1二维艮合平移

两个连续平移是相加的。

第

5

章

图

形

变

换

与

观

察

▼5.3.2二维复合比例

连续比例变换是相乘的。

第

5

章

图

形

变

换

与

观

察

5.3.3二维复合旋转

两个连续旋转是相加的。可写为:

COS0J

sin。]0cos02sin^20

COS0j

。二1八工2二-sin40-sin^cos020

001001

C0SC1+%)sing+W)0

二-sin^+^2)cosOi+2)0

_001

R=R)•R)=R(v9]1+优2)7

(必3)3(02)

5.3.4相对于任意点(X。，y0)的比例变换

▼

对任意点比例变换的步骤：

第

5(1)平移变换

章(2)相对于原点的比例变换

图(3)平移变换

形

当(xo,yo)为图形重心的坐标时，这种

变变换实现鬲是相对于重心的比例变换。

换

与

观

察

|-

Y100

T1=010

__xo一歹0L

Soo-

S=OSy0

001

-10o-'

%二010

3o%1_

T=T.ST2

则有

口yi]=[%4j4i]

二L1必

1\T{ST2=[X,y1I]T

任意点比例变换示意图

5.3.5绕任意点（x°,y0）的旋转变换

J绕任意点旋转变换的步骤：

第（1）平移变换

5（2）对图形绕原点进行旋转变换

章（3）平移变换

图

形

变

换

与

观

察相对于任意点（X0,y。）的旋转变换

"比H

令100

010平移

-X。一%1

100

。

cossin30超y2U=ki必Uoio

R=-sincos。0-xo-Jo1

001旋转

100

cos。sin00

010

%1]=卜2%1]-sin。cos。0

1

Jo001

T=T}RT2平移

则有100

10

\x居1卜4乂1]=卜3%1]0

LL

_______________________/比L

-Pi\\TXRT2不必1T

旋转变换示意图■

，

干5.4二维观察

■

第

基本概念

5

章在计算机图形学中，将在用户坐标系中

图需要进行观察和处理的一个坐标区域称为

窗口(Window)

形

变将窗口映射到显示设备上的坐标区域称

换为

与

观

察

第

5

章

图

形

变

换

与

观图4-4坐标系的分:

察

要将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过

将窗口到视区的变换(Window-Viewport

Transformation)处理,这种变换就是观察变换

(ViewingTransformation)。

第

5

章

图

形

变

换

与

用户坐标系中非矩形窗口用户坐标系中旋转的窗

观

察

观察坐标系(ViewCoordinate)和规格化设备坐标系

(NormalizedDeviceCoordinate):

观察坐标系是依据窗口的方向和形状在用户坐标平面中定义

的直角坐标系。

规格化设备坐标系也是直角坐标系，它是将二维的设备坐标

系规格化到(0.0,0.0)到(1.0,1.0)的坐标范围内形成的。

O

1

视区

1xNDC

⑸观察坐标系(b)规格化设备坐标系

引入了观察坐标系和规格化设备坐标系后，观

第察变换分为如下图所示的几个步骤，通常称为二维

5观察流程。

早

图

应

用

窗

到视

口

形

户

坐

察

坐

视图

用

观

区

程

序

规范

区I

系

下

规

到

系

范

标

标

化

到

变

备坐

图

化

设在图形

窗

口

标

坐

观

察

系

对

VCNDC到

形

中定

的

标