青岛市中选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知，，若是函数的极小值点，则实数的取值范围为（）A．且 B． C．且 D．2．已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]4．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，不等式恒成立”的只有（）A． B． C． D．5．已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知函数f(x)在x=x0处的导数为12，则（）A．-4 B．4 C．-36 D．367．若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式的解集为（）A． B．C． D．或9．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．若是函数的极值点，则（）A．有极大值 B．有极小值C．有极大值0 D．有极小值011．已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A． B．C． D．12．已知函数，则（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.14．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是________.15．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；②在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；③在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；④在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.其中所有正确结论的序号是_____．16．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.17．已知函数在上不单调，则的取值范围是_________．18．已知函数（m∈R）在区间[－2，2]上有最大值3，那么在区间[－2，2]上，当x=_______时，取得最小值。19．已知函数fx=ex-ax(a≤0)，函数gx=-20．已知函数，是的导函数，若，则______．三、解答题21．已知函数．（1）求的最大值；（2）设实数，求函数在上的最小值．22．设为实数，已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.23．已知函数.(1)当时，求函数的单调递减区间；(2)若对于任意都有成立，求实数的取值范围.24．求函数在闭区间上的最大值、最小值.25．已知，函数.（1）若有极小值0，求a的值；（2）若存在、，使得不等式成立，求实数a的取值范围.26．已知函数．（1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数m的取值范围；（3）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】由既是的极小值点，又是零点，且的最高次项系数为1，因此可设，这样可求得，然后求出，求得的两个零点，一个零点是，另一个零点必是极大值点，由可得的范围．【详解】因为，是函数的极小值点，结合三次函数的图象可设，又，令得，，即，，由得，，是极小值点，则是极大值点，，所以．故选：B．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．2．B解析：B【分析】构造函数，根据题意，可得函数的奇偶性，根据时，对函数求导，可得函数的单调性，将，左右同乘，可得，即，利用的性质，即可求得答案.【详解】∵，∴，令，则，即为偶函数，当时，∴，即函数在上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，∵，∴，∴，即，解得，，故选：B.【点睛】解题的关键是将题干条件转化为，根据左右相同的形式，构造函数，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于，不符合函数的形式，需左右同乘，方可利用函数的性质求解，属中档题.3．B解析：B【分析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4．故选:B．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.4．A解析：A【分析】可化成，表示的是函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值，而四个选项中的函数都是上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是或是的子集即可．【详解】解：因为对于区间上的任意，，恒成立”所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是上的可导函数，则在内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为在上四个函数的导数绝对值是否满足恒在取值即可，对于，当时，，故符合题意；对于：由题意，，故不满足题意；对于：函数，所以，故不满足题意；对于，当时，，，故不满足题意．故选：．【点睛】本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．5．D解析：D【分析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.【详解】根据可知，令由知为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，在时有最大值为，故.故选：D【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题.6．A解析：A【分析】根据题意，由极限的性质可得则，结合导数的定义计算可得答案．【详解】根据题意，函数在处的导数为12，则；故选：A．【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．7．A解析：A【分析】由函数在区间上单调递减，得到不等式在恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t的取值范围.【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在恒成立，所以即解得：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.8．C解析：C【分析】根据题意，设，求导分析可得，即函数在上为减函数，则原不等式可以转化为，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，其导数，又由，即，则，即函数在上为减函数，又由（3），则（3）（3），，又由函数为减函数，则有，则不等式的解集为；故选：．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．9．D解析：D【分析】构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.【详解】构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项.由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项.由得，即，D选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.10．A解析：A【分析】先根据极值定义得a,再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值.【详解】因为是函数的极值点，所以，当时，当时，因此有极大值，选A.【点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.11．B解析：B【分析】结合函数图象比较与的大小，求出成立的的范围，求出的导数，判断其与的关系即可.【详解】结合图象：和时，，即，而，故在，递减，故选B．【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断与的大小是解题的关键，属于中档题.12．A解析：A【分析】求导，将代入即可求出..【详解】已知函数则故选A.【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．13【分析】由题可得在的导数值等于0可求得再根据导数讨论函数的单调性即可求出最值【详解】当时函数有极值解得当时单调递增当时单调递减当时单调递增在处取得极大值且在上的最大值为13故答案为：13【点睛】解析：13【分析】由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】，当时，函数有极值，，解得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在处取得极大值，且，，在上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.14．【分析】首先设切点坐标利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率从而可得将问题转化为与存在两个不同的交点通过导数研究的图象从而得到的取值范围【详解】由题意得的定义域为且设切点坐标为则过原点解析：【分析】首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围.【详解】由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，当时，，单调递减，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得.故答案为：【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解：直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解；数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍；15．①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义结合图象判断选项【详解】①在时刻为两图象的交点即此时甲乙两人血管中的药物浓度相同故①正确；②甲乙两人在时刻的切线的斜率不相等即两人的不相同所以甲乙两人血解析：①③④【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.16．1【分析】根据函数的奇偶性确定在上的最大值为求导函数确定函数的单调性求出最值即可求得的值【详解】是奇函数时的最小值为1在上的最大值为当时令得又令则在上递增；令则在上递减得故答案为：1【点睛】本题考查解析：1【分析】根据函数的奇偶性，确定在上的最大值为，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得的值．【详解】是奇函数，时，的最小值为1，在上的最大值为，当时，，令得，又，，令，则，在上递增；令，则，在，上递减，，，得．故答案为：1．【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．【分析】由题意知函数在区间上存在极值点利用导函数在区间上单调可得出有关实数的不等式组解出即可【详解】则函数在上单调递减因为函数在上不单调所以在上有解所以解得因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】由题意知，函数在区间上存在极值点，利用导函数在区间上单调，可得出有关实数的不等式组，解出即可.【详解】，，则函数在上单调递减，因为函数在上不单调，所以在上有解，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数在区间上不单调求参数的取值范围，一般转化为函数在区间上有极值点，考查运算求解能力，属于中等题.18．－2【解析】【分析】利用导数求得函数的单调区间结合函数在上的最大值为求得的值根据区间端点的函数值求得函数在上的最小值【详解】故函数在或时单调递增在时单调递减故当时函数在时取得极大值也即是这个区间上的解析：－2【解析】【分析】利用导数求得函数的单调区间，结合函数在上的最大值为求得的值，根据区间端点的函数值，求得函数在上的最小值.【详解】，故函数在或时单调递增，在时单调递减.故当时，函数在时取得极大值，也即是这个区间上的最大值，所以，故.由于，.故函数在时取得最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间以及最值，考查函数在闭区间上的最大值和最小值的求法，属于中档题.19．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a的不等式解得即可【详解】∵函数f（x）＝ex﹣ax函数g（x）＝﹣x3﹣ax2∴f′（解析：[-1,0]【解析】【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），得到关于a的不等式解得即可．【详解】∵函数f（x）＝ex﹣ax，函数g（x）＝﹣x3﹣ax2，∴f′（x）＝ex﹣a＞﹣a，g′（x）＝﹣x2﹣2ax＝﹣（x+a）2+a∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），∴-a≥a解得-1≤a≤0，故答案为-1,0．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．20．【分析】求出导函数后由可得再结合可得又化简可得代入求值可得即为所求【详解】∵∴由得∴∵由得又∴把代入得：∴故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系式解题时注意公式的灵活应用和变形同时注意整体代换在解解析：【分析】求出导函数后由可得，再结合可得．又化简可得，代入求值可得，即为所求．【详解】∵，∴，由，得，∴，∵由，得，又，∴把代入得：．∴．故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，解题时注意公式的灵活应用和变形，同时注意整体代换在解题中的作用，属于基础题．三、解答题21．（1），（2）时，，当时，，【分析】（1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值（2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在处取得，最小值在端点处取得，通过对的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值【详解】解：（1）因为，所以（），令，得，因为当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，（2），因为，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，因为，所以当时，，，当时，，【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，考查计算能力和分类讨论思想，属于中档题22．（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）.【分析】（1）由得，对函数求导，根据导数的方法，即可求出单调区间；（2）先对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，得到，为使有两个不同的零点，首先，解得，再判断和时，函数都有零点，即可得出结果.【详解】（1）当时，，则，令，则，所以当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增；即函数的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）因为，所以，因为，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增；因此，要使有两个不同的零点，则首先，即，所以，解得；当时，，令，，则，，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因此在上单调递增，因此，即在上恒成立，所以当时，，此时；当时，，令，可得；取且知，故满足在和各有一个零点；综上，的取值范围为.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；构造新函数法：将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；分离参变量法：即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题.23．（1）和；（2）.【分析】（1）求出函数的导数，令导数小于0，解出不等式即得单调递减区间；（2）可得不等式等价于对于任意恒成立，讨论对称轴的范围，令在的最小值大于0即可求出.【详解】（1）当时，，则，令，解得或，的单调递减区间为和；（2），则，即对于任意恒成立，令，对称轴为，开口向上，当，即时，在单调递增，，解得，；当，即时，，解得，，综上，.【点睛】方法点睛