2024年同步备课高中数学3.3.2抛物线的几何性质1课件苏教版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的几何性质（1）(一)圆锥曲线的统一定义平面内，到定点

F

的距离与到定直线l的距离比为常数

e

的点的轨迹，当e＞1时，是双曲线，当0<e<1时，是椭圆；(定点

F

不在定直线l上)．当e=1时，是抛物线．(二)抛物线的标准方程（1）开口向右：

y2

＝

2px(p>0)；（2）开口向左：

y2

＝

－2px(p>0)；（3）开口向上：

x2

＝

2py(p>0)；（4）开口向下：

x2

＝

－2py(p>0)．复习引入范围1．由抛物线

y2

＝2px（p>0）．所以抛物线的范围为x≥0．如何研究抛物线

y2

＝2px（p＞0）的几何性质?数学建构有

≥0

≥

对称性2．关于x轴对称即点(x，－y)

也在抛物线上，故抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称．则(－y)2＝2px．若点(x，－y)在抛物线上,即满足y2＝2px，数学建构顶点3．

定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．

y2

＝2px(p＞0)中，令y＝0，则x＝0.即抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点（0，0）．数学建构离心率4．P(x，y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定义知，抛物线y2＝2px(p＞0)的离心率为e＝1．数学建构xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图．|AB|＝2p．通径5．2p越大，抛物线张口越大.数学建构基本点：顶点，焦点．基本线：准线，对称轴．基本量：P（决定抛物线开口大小）．xy抛物线的基本元素：y2＝2px．数学建构方程图形范围对称性焦点准线顶点

y2＝2px（p＞0）y2

＝－2px（p＞0）x2

＝2py（p＞0）x2

＝－2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于y轴对称

（0，0）抛物线的几何性质数学建构归纳：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；（4）抛物线的离心率e是确定的为1；（5）抛物线的通径为2p，2p越大，抛物线的张口越大．数学建构因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，），解所以设方程为：又因为点

M

在抛物线上，所以

．因此所求抛物线标准方程为：．例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，），求它的标准方程．数学运用探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面．抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面．灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理．平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据．数学运用例2

探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．xyO(40，30)解在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为y2＝2px．由条件可得A(40，30)，代入方程，得302＝2p·40．解得

p＝故所求抛物线的标准方程为

y2＝

x，焦点为(，0)．数学运用24l

例3

图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？xoAy2BA（2，－2）x2＝－2yB（1，y），y＝－0.5．B到水面的距离为1.5米．不能安全通过．y＝－3代入得数学运用解

（1）已知点A（－2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P

＝

．

（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|＝

，则焦点到AB的距离为

．

42（3）已知直线x－y＝2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是

．课堂练习（4，2）（5）点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|＋|PF|的最小值为()．(A)3(B)4(C)5(D)6（4）求满足下列条件的抛物线的标准方程：1．焦点在直线x－2y－4＝0上．2．焦点在轴x上且截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为（6）已知Q(4，0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.BC课堂练习抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线．抛物线只有一条