高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算省公开课一等奖新名师获奖课件

第3章3.2空间向量应用3.2.3空间角计算1/381.了解直线与平面所成角概念.2.能够利用向量方法处理线线、线面、面面夹角问题.3.掌握用空间向量处理立体几何问题基本步骤.学习目标2/38知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引3/38知识梳理自主学习知识点一两条异面直线所成角(1)定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成锐角(或直角)叫做a与b所成角.(2)范围：两条异面直线所成角θ取值范围是(3)向量求法：设直线a，b方向向量分别为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角余弦值为cosθ＝|cosφ|＝.4/38(1)定义：直线和平面所成角，是指直线与它在这个平面内射影所成角.(2)范围：直线和平面所成角θ取值范围是0≤θ≤.(3)向量求法：设直线l方向向量为a，平面法向量为u，直线与平面所成角为θ，a与u夹角为φ，则有知识点二直线与平面所成角5/38知识点三二面角(1)二面角取值范围：[0，π].(2)二面角向量求法：①若AB，CD分别是二面角α-l-β两个面内与棱l垂直异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角大小就是向量

与

夹角.②设n1、n2是二面角α-l-β两个面α，β法向量，则向量n1与向量n2夹角(或其补角)就是二面角平面角大小.返回6/38例1

如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC中点.求异面直线A1B与C1D所成角余弦值.题型探究重点突破题型一两条异面直线所成角向量求法解析答案反思与感悟7/38解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所表示空间直角坐标系A－xyz，反思与感悟则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，8/38建立空间直角坐标系要充分利用题目中垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思绪简便，要注意角范围.反思与感悟9/38跟踪训练1

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上动点.若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E位置.解析答案10/38解以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所表示.设E(1，t,0)(0≤t≤2)，所以t＝1，所以点E位置是AB中点.11/38题型二直线与平面所成角向量求法解析答案反思与感悟12/38解析答案反思与感悟解建立如图所表示空间直角坐标系，设平面AMC1法向量为n＝(x，y，z).13/38反思与感悟设BC1与平面AMC1所成角为θ，14/38借助于向量求线面角关键在于确定直线方向向量和平面法向量，一定要注意向量夹角与线面角区分和联络.反思与感悟15/38跟踪训练2

如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC中点.解析答案(1)证实MN∥平面PAB；16/38又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.17/38解析答案(2)求直线AN与平面PMN所成角正弦值.(2)解取BC中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，18/38设n＝(x，y，z)为平面PMN法向量，则19/38例3

如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；题型三二面角向量求法解析答案(1)证实延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所表示.20/38因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以，AC⊥平面BCK，所以BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，所以BF⊥平面ACFD.反思与感悟21/38解析答案(2)求二面角B－AD－F平面角余弦值.反思与感悟(2)解如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形.取BC中点O，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK方向为x，z正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.22/38反思与感悟设平面ACK法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK法向量为n＝(x2，y2，z2).23/38反思与感悟24/38设n1，n2分别是平面α，β法向量，则向量n1与n2夹角(或其补角)就是两个平面所成角大小，如图.反思与感悟用坐标法解题步骤以下：(1)建系：依据几何条件建立适当空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立空间直角坐标系下求两个面法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝ .(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.25/38跟踪训练3

在如图所表示圆台中，AC是下底面圆O直径，EF是上底面圆O′直径，FB是圆台一条母线.解析答案返回26/38(1)已知G，H分别为EC，FB中点，求证：GH∥平面ABC；解析答案(1)证实设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE中点，所以GI∥EF.又EF∥OB，所以GI∥OB.在△CFB中，因为H是FB中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.27/38解析答案(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O直径，所以BO⊥AC.以O为坐标原点，建立如图所表示空间直角坐标系O－xyz.28/38返回设m＝(x，y，z)是平面BCF一个法向量.29/38返回因为平面ABC一个法向量n＝(0，0，1)，30/38当堂检测123451.已知向量m，n分别是直线l和平面α方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－

，则直线l与平面α所成角为________.解析答案30°31/38123452.已知两平面法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成二面角大小为________________.∴二面角大小为45°或135°.45°或135°解析答案32/3812345解析答案33/38解析建立如图所表示空间直角坐标系，即AB1与C1B所成角大小为90°.答案90°1234534/38123454.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角余弦值为____.解析设正方体棱长为1，建系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).解析答案35/38123455.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角余