2023苏教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3 . 3 抛物线

3.3抛物线

►3.3.1抛物线的标准方程

基础过关练

题组一抛物线的定义及其应用

1.（2021江苏南京人民中学月考）设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上

且横坐标为5,则PF等于（）

A.4B.6C.8D.10

2.（2021江苏徐州铜山大许中学调研测试）在平面直角坐标系xOy中,直线1过抛

物线y2=4x的焦点,交抛物线于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为3,则线段AB

的长为（）

A.6B.7C.8D.10

3.（2022安徽淮南第一中学期中）已知抛物线C:y=2px（p>0）的焦点为F,准线为1,

且1过点（-3,2）,M在抛物线C上，若点N（2,4）,则MF+MN的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

题组二抛物线的标准方程和准线方程

4.（2021江苏泰州中学质量检测）若抛物线x2=ay的准线与椭圆t+y?=l相切,则

4

a=（）

A.-4或4B.4

C.-8或8D.8

5.（2020江苏南通启东中学检测）中国古代的桥梁建筑有不少是世界桥梁史上的

创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.有一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶

2m时,水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为（）

A.2V6mB.4乃m*

C.4V2mD.12m

6.（2021江苏镇江中学检测）若双曲线的方蒙?■程为则

以双曲线右准线（即直线％=为准线的抛物线的标准方程是（）

A2口Q

A.y=—12^7―5xB.yz=--12-^5x

C「.x21275y^D.xz=--1-27-5y

题组三直线与抛物线的位置关系

7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点，则AB=（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px（p>0）,则（）

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

9.（2021江苏南京江浦高级中学检测）过点（0,-3）的直线1与抛物线y2=4x只有一

个公共点,则直线1的方程为.

10.（2022安徽淮北第一中学期中）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,点M（2,m）

为其上一点，且MF=4.

（1）求P与m的值；

⑵如图,过点F作直线1交抛物线于A,B两点,求直线OA,0B的斜率之积.

能力提升练

题组一抛物线的定义及其应用

1.（2022河南名校联盟模拟）若点P是抛物线y2=8x上一点,且点P到焦点F的距

离是它到y轴距离的3倍,则线段PF的中点到y轴的距离等于（）

A.1B.-3C.2D.3

2

2.（2020湖南长沙长郡中学期中）已知抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为F,抛物线C

的准线与y轴交于点A,点M（l,y。）在抛物线C上,MF=^,则tanNFAM=（）

4

2ss4

A.-B.-C.-D.-

5245

3.（2021江苏南京人民中学月考）已知点A（-2,1）,y2=-4x的焦点为F,P是y2=-4x

上的点，则使PA+PF取得最小值的点P的坐标是.

题组二抛物线的标准方程及其应用

4.（2022四川成都第七中学期中）A,B是抛物线x2=2y上的两点,0为坐标原点.若

OA=OB,MAAOB的面积为12V3,贝ZAOB=（）

A.30B.45°C.60°D.120°

5.(2021江苏南通海安期中)已知点F(l,0),直线l:x=-1,动点P与点F间的距离

等于它到直线1的距离.

⑴试判断点P的轨迹C的形状,并写出其方程；

⑵若曲线C与直线m:y=x-1相交于A、B两点,求AOAB的面积.

题组三抛物线的综合应用

6.(2020江苏南通第一次教学质量调研)如图，已知AOAP和4ABQ均为等边三角

形,它们的边长分别为叫n,抛物线y2=2px(p>0)恰好经过点P,Q,则竺二.

n

7.设抛物线y2=2x上两点A,B位于x轴的同侧,且A,B两点的横坐标之积为4,则

直线AB经过的定点坐标是.

8.(2022江苏南通如皋中学月考)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为y=-l,

直线1过点P(0,-1)且与抛物线C交于A,B两点•点A关于y轴的对称点为A',连

接A'B.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)问直线A'B是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.C因为抛物线方程为y2=12x,所以p=6,由抛物线的定义可得PF=x*=5+1=8.故选C.

2.C设A(xi,yi),B(X2,yz),贝！Ixi+x?=6,由题意知，p-2,贝AB=xi+：+x2+j=xi+x2+p=6+2=8.故选C.

3.D由题可得，准线1的方程为x=-3,则抛物线的方程为y?=12x,...点N(2,4)在抛物线内,

如图所示.

由抛物线的定义可知,MF=x“+3,

；.MN+MF=MN+XM+32XN+3=2+3=5.故选D.

4.A易知抛物线x2=ay的准线方程为y=小，

4

2

因为抛物线x?=ay的准线与椭圆号+yW相切,所以-白土1,所以a=±4,故选A.

44

5.答案B

信息提取(1)抛物线型拱桥；(2)当水面离拱顶2m时,水面宽8m.

数学建模本题以中国古代的桥梁建筑为背景构建抛物线模型，以拱桥顶点为原点建立平面直角坐标系，设

出抛物线的标准方程,进而求解.

解析由题意，以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),

由题意知,抛物线经过点A(-4,-2)和点B(4,-2),

代入抛物线方程,解得p=4,

所以抛物线的标准方程为x?=-8y,

水面下降1m,即尸-3,代入方程,解得xi=2V6,x2=—2A/6,所以此时水面宽度d=2xi=4V6m.

故选B.

6.B由双曲线方程得a2=3,b2=2,

则c=Va2+萨=孤.•.双曲线的右准线方程为x=?=靠=誓,

可知抛物线的准线方程为x=等，

设抛物线的标准方程为y=-2px(p>0),

则:=手，故2P与金

则抛物线的标准方程是黄=-学x,故选B.

7.D由条件知,直线y=x-l过抛物线的焦点，

将y=x-l代入抛物线方程y2=4x,整理得x2-6x+l=0,

设A(xi,yi),B(x2,y2),则xi+x?=6,

AB=XI+X2+2=8.

8.C因为直线方程为y=kx-k=k(x-1),

所以直线恒过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y=2px(p>0)的内部,

所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点；

当kWO时,直线与抛物线有两个公共点.

故选C.

9.答案x=0或y=-3或x+3y+9=0

解析当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为x=0,满足题意.

当直线1的斜率存在时,设直线1的方程为y=kx-3,与y2=4x联立，

可得k2x2-(6k+4)x+9=0,

当k=0时,直线1的方程为y=-3,

满足题意；

当kWO时，由A=[-(6k+4)]2-36k2=0,解得k=f,

此时直线1的方程为x+3y+9=0.

综上,直线1的方程为x=0或y=-3或x+3y+9=0.

10.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fg,o),准线方程为x=£,

由抛物线的定义知，点M⑵m)与点F间的距离等于点M到准线的距离，

所以MF=2+g=4,所以p=4,

故抛物线C的方程为y?=8x.

因为点M(2,m)在抛物线C上,所以m2=16,所以m=±4.

(2)由(1)知,抛物线C的方程为yJ8x,焦点为F(2,0),

当直线1的斜率不存在时,直线1的方程为x=2,将x=2代入y2=8x,可得y=±4,则A(2,4),B(2,-4),

II-r7114-0-4-0.

从irnK()A•koB——x—=—4;

2-02-0

当直线1的斜率存在时,设直线1的斜率为k(kWO),则其方程为y=k(x-2),

联立4=47消去％得y=k("-2),

即ky2-8y-16k=0,其中kWO,

则△=64+64k2>0,

设A⑶yJ,B(X2,矽，则加*-16,

所以X|X2=(U•，羽)=](yly2)2=*X(-16)=4,

从而koA•k后%x织=*=主=-4.

Xi-0X2-V4

综上,直线OA,OB的斜率之积为-4.

能力提升练

1.B根据题意,得抛物线的准线方程为x=-2,F⑵0）,设P（x。,y„）,

由抛物线的定义及已知条件,得xo+2=3xo,解得xo=l,

所以线段PF的中点的横坐标为?=|,所以线段PF的中点到y轴的距离等于|.

2.D如图,过M向抛物线的准线引垂线,垂足为N,则MN=y0+§=也，故y0=2p.

24

又在抛物线上，域，于是2P喘，解得p］（负值舍去），，MNe券/

tanZFAM=tanZAMN=——AN=4

MN5

故选D.

3・答案（-祠

解析如图，过P作PKXld为抛物线的准线）于K,则PF=PK,・・・PA+PF=PA+PK,・,•当点P的纵坐标与点A的

纵坐标相同时,PA+PK的值最小,此时点P的纵坐标为1,把y=l代入y?=-4x,得x=-：,

4

即当点P的坐标为时,PA+PF取得最小值.

4.C如图，由OA=OB,知A,B两点关于y轴对称,设A（-a,y）,Ba>0,

1n2

贝!ISAAOB=|x2axy=12V3,解得a=2g,

所以B(2百,6),

设NFOB=e,O°<0<90°,

则tan。咨=宜，所以e=30°，所以NA0B=29=60°.故选C.

63

5.解析(1).••点P与点F间的距离等于它到直线1的距离，；.点P的轨迹C是以F为焦点,直线1为准线的

抛物线,其方程为y=4x.

-2

⑵设A(xi,yj,B(xz,yz),联立？x-6x+l=0,.*.XI+X2=6.

(y=x-1,

:直线m经过抛物线C的焦点F(1,0),

AB=xi+x2+p=6+2=8.

•••点。到直线m的距离d=%=号

SAOAB^AB•d-ix8x—=2V2.

222

6.答案|

解析由已知得A(m,0),B(m+n,0),则P(p-等),Q(加+冷),

因为抛物线yJ2px(p>0)恰好经过点P,Q,

2

两式相除可得9=

nz2m+n

设竺=t(t>0),则三,解得t=；(负值舍去)，即巴=i

n2t+l2n2