非线性方程求根省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

非线性方程求根1/85引言2/85在科学研究和工程设计中,经常会碰到一大类问题是非线性方程

f(x)=0(1)

求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0根,亦称为函数f(x)零点

假如f(x)能够分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)m重零点,或称方程f(x)=0m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)m重根(m>1)当且仅当3/85记笔记当f(x)不是x线性函数时，称对应函数方程为非线性方程。假如f(x)是多项式函数，则称为代数方程，不然称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。普通称n次多项式组成方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性普通稍微复杂3次以上代数方程或超越方程,极难甚至无法求得准确解。本章将介绍惯用求解非线性方程近似根几个数值解法4/85通常方程根数值解法大致分为三个步骤进行①

判定根存在性。即方程有没有根？假如有根，有几个根？②确定根分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是取得方程各根初始近似值。③根准确化。将根初始近似值按某种方法逐步准确化，直到满足预先要求精度为止5/85本章介绍方程迭代解法，它既能够用来求解代数方程，也能够用来解超越方程，而且仅限于求方程实根。利用迭代法求解方程根应处理以下两个问题：(1)确定根初值;(2)将深入准确化到所需要精度。记笔记6/85二分法7/85二分法又称二分区间法,是求解方程(1)近似根一个惯用简单方法。设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,依据连续函数性质可知,f(x)=0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。

8/85

二分法基本思想是:首先确定有根区间,将区间二等分,经过判断f(x)符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求近似根。9/851确定有根区间方法

①为了确定根初值，首先必须圈定根所在范围，称为圈定根或根隔离。②在上述基础上，采取适当数值方法确定含有一定精度要求初值。③对于代数方程，其根个数（实或复）与其次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或无解，并没有什么固定圈根方法④求方程根问题，就几何上讲,是求曲线y=f(x)与x轴交点横坐标。10/85

由数学分析知识知,设f(x)为区间[a,b]上单值连续,假如f(a)·f(b)<0,则[a,b]中最少有一个实根。假如f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。记笔记由此可大致确定根所在子区间，方法有：(1)画图法(2)逐步搜索法y=f(x)abyx11/85(1)画图法(a)画出y=f(x)略图，从而看出曲线与x轴交点大致位置。(b)也可将f(x)=0分解为

1(x)=

2(x)形式，

1(x)与

2(x)两曲线交点横坐标所在子区间即为含根区间。 比如xlogx-1=0 能够改写为logx=1/x画出对数曲线y=logx,与双曲线y=1/x,它们交点横坐标位于区间[2,3]内12/85023yx13/85对于一些看不清根函数，能够扩大一下曲线y0xy=f(x)y=kf(x)记笔记14/85y0xABa1b1a2b2(2)搜索法

对于给定f(x),设有根区间为[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检验f(xi)符号,如发觉xi与端点x0函数值异号,则得到一个缩小有根子区间［xi-1,xi］。15/85例方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑方法，不难发觉

f(0)<0f(2)>0

在区间（0，2）内最少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根搜索,列表以下xf(x)00.51.01.52–––++能够看出，在[1.0,1.5]内必有一根16/85a用逐步搜索法进行实根隔离关键是选取步长hb要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。c为获取指定精度要求初值,可在以上隔离根基础上采取对分法继续缩小该含根子区间

二分法能够看作是搜索法一个改进。17/85①取有根区间[a,b]之中点,将它分为两半,分点,这么就可缩小有根区间2二分法求根过程

设方程f(x)=0在区间[a,b]内有根,二分法就是逐步收缩有根区间，最终得出所求根。详细过程以下18/85②对压缩了有根区间施行一样手法,即取中点,将区间再分为两半,然后再确定有根区间,其长度是二分之一③如此重复下去,若不出现,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间二分之一,所以长度当k→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x*即为所求根。19/85

每次二分后,取有根区间中点作为根近似值，得到一个近似根序列该序列以根x*为极限只要二分足够屡次(即k足够大),便有这里ε为给定精度,因为,则(因为）20/85当给定精度ε＞0后,要想成立,只要取k满足即可，亦即当:

时,做到第k+1次二分,计算得到就是满足精度要求近似根。在程序中通惯用相邻与差绝对值或与差绝对值是否小于ε来决定二分区间次数。21/85

二分法算法实现22/85例３证实方程在区间[2,3]内有一个根,使用二分法求误差不超出0.5×10-3根要二分多少次？证实令因为f(x)在[2,3]上连续,故方程f(x)=0在[2,3]内最少有一个根。又，当时，,故f(x)在[2,3]上是单调递增函数,从而f(x)在[2,3]上有且仅有一根。给定误差限

＝0.5×10-3,使用二分法时23/85误差限为只要取k满足即可，亦即所以需二分10次便可到达要求。二分法优点是不论有根区间多大,总能求出满足精度要求根,且对函数f(x)要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它不足是只能用于求函数实根,不能用于求复根及重根,它收敛速度与比值为等比级数相同。24/85迭代法25/85对于普通非线性方程,没有通常所说求根公式求其准确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一个逐次迫近方法,用某个固定公式重复校正根近似值,使之逐步准确化，最终得到满足精度要求结果。26/85迭代法基本思想为求解非线性方程f(x)=0根，先将其写成便于迭代等价方程(1)其中为x连续函数即假如数使f()=0,则也有,反之,若,则也有,称为迭代函数。

任取一个初值,代入式右端,得到

27/85再将代入式右端,得到,依这类推,得到一个数列…，其普通表示式(2)称为求解非线性方程简单迭代法。(2)28/85假如由迭代格式产生序列收敛,即

则称迭代法收敛。实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做下去,对预先给定精度要求ε，只要某个k满足即可结束计算并取当然，迭代函数结构方法是各种多样。29/85

例

试用迭代法求方程在区间(1，2)内实根。

解：由建立迭代关系

k=1,0,1,2,3…….计算结果以下:30/85准确到小数点后五位31/85但假如由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列32/85迭代法几何意义通常将方程f(x)=0化为与它同解方程方法不止一个,有收敛,有不收敛,这取决于性态,方程求根问题在几何上就是确定曲线y=与直线y=x交点P*横坐标(如图所表示)33/85(a)(b)34/85迭代法几何意义

35/85

迭代法收敛条件对方程f(x)=0能够结构不一样迭代公式,但迭代公式并非总是收敛。那么,当迭代函数满足什么条件时，对应迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很屡次，而是迭代有限次后就停顿，这就需要预计迭代值误差，方便适时终止迭代36/85定理1设函数在[a,b]上含有连续一阶导数,且满足（1）对全部x∈[a,b]有∈[a,b]（2）存在0<L<1,使全部x∈[a,b]有≤L则方程在[a,b]上解存在且唯一，对任意∈[a,b]，迭代过程均收敛于。并有误差预计式

①

②37/85由连续函数介值定理知,必有∈[a,b],使所以有解存在,即证:结构函数,由条件①对任意x∈[a,b]∈[a,b]有38/85假设有两个解和,、∈[a,b]，则，由微分中值定理有

其中ξ是介于x*和之间点从而有ξ∈[a,b]，进而有由条件(2)有<1,所以-=0，即=，解唯一。39/85按迭代过程,有

因为L<1,所以有,可见L越小,收敛越快再证误差预计式①

②40/85∵

∴

即①得证。

即②得证。

41/85迭代法算法框图42/85例对方程,结构收敛迭代格式,求其最小正根,计算过程保留4位小数。解轻易判断[1,2]是方程有根区间,且在此区间内,所以此方程在区间[1,2]有且仅有一根。将原方程改写成以下两种等价形式。① ,即不满足收敛条件。②,即此时迭代公式满足迭代收敛条件。计算略43/85局部收敛性

当迭代函数较复杂时,通常只能设法使迭代过程在根邻域(局部)收敛。定理2设在根邻域中有连续一阶导数,且则迭代过程含有局部收敛性。44/85证:因为,存在充分小邻域△:,使成立这里L为某个定数,依据微分中值定理因为,又当时,故有由定理1知对于任意都收敛45/85例设,要使迭代过程局部收敛到,求取值范围。解：

由在根邻域含有局部收敛性时,收敛条件成立，所以

46/85迭代法收敛速度

一个迭代法含有实用价值，首先要求它是收敛，其次还要求它收敛得比较快。定义设迭代过程收敛于根,记迭代误差若存在常数p（p≥1）和c（c>0），使

则称序列是p阶收敛,c称渐近误差常数。尤其地,p=1时称为线性收敛,p=2时称为平方收敛。1<p<2时称为超线性收敛。47/85数p大小反应了迭代法收敛速度快慢，p愈大，则收敛速度愈快，故迭代法收敛阶是对迭代法收敛速度一个度量。

48/85定理3设迭代过程,若在所求根邻域连续且

则迭代过程在邻域是p阶收敛。49/85证:因为即在邻域

,所以有局部收敛性,将在处泰勒展开依据已知条件得由迭代公式及有

50/85例已知迭代公式收敛于证实该迭代公式平方收敛。证:迭代公式对应迭代函数为依据定理3可知，迭代公式平方收敛。将代入，51/85为了使迭代过程收敛或提升收敛速度,可设法①提升初值精度以降低迭代次数②提升收敛阶数p52/85迭代过程加速*

（1）加权法设是根某个近似值,用迭代公式校正一次得又依据中值定理有其中

当范围不大时,设改变不大,其预计值为L,则有53/85可见,若将迭代值与加权平均,则可得到是比更加好近似根54/85例用加权法加速技术求方程在0.5附近一个根。解：因为在附近取L=-0.6，建立以下迭代公式仍取,逐次计算得=0.56658…=0.56714。迭代4次便可得到精度结果,而不用加速技术需迭代18次,效果显著。55/85（2）埃特金（Aitken）方法在加权法中,预计L值有时不太方便。假设在求得以后,先求出由,利用中值定理可得(在求根区间改变不大,用某个定值L近似地替换之)L

56/85

将迭代值再迭代一次,得新迭代值则

将上述两个方程联立消去常数L化简可得

57/85这么得到埃特金加速公式58/85例用埃特金方法求方程在初值附近一个根,精度要求，取迭代格式解埃特金方法迭代格式为只迭代二次就得到满足精度要求解。59/85牛顿迭代法60/85

用迭代法可逐步准确方程根近似值，但必须要找到等价方程,假如选得不适当,不但影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一个迭代方法,既结构简单,收敛速度快,又不存在发散问题。这就是本节要介绍牛顿迭代法牛顿迭代法61/85牛顿迭代法基本思想

牛顿迭代法一个主要和惯用迭代法,它基本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化,从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。

62/85对于方程,设其近似根为,函数f(x)可在附近作泰勒展开忽略高次项,用其线性部分作为函数f(x)近似，63/85设根,则有,即将右端取为,即是比更靠近于近似值

求出这就是著名牛顿迭代公式64/85牛顿迭代法几何解释65/85方程f(x)=0根x*是曲线y=f(x)与x轴交点横坐标,设xk是根x*某个近似值,过曲线y=f(x)横坐标为xk点Pk=(xk,f(xk))引切线交x轴于xk+1,并将其作为x*新近似值,重复上述过程,可见一次次用切线方程来求解方程f(x)=0根,所以亦称为牛顿切线法。66/85牛顿迭代法收敛性定理4设是方程单根,且f(x)在某邻域内有连续二阶导数,则牛顿法在附近局部收敛,且最少二阶收敛,并有

67/85证:牛顿迭代公式对应迭代函数为若是方程单根,则有,从而由定理2知,牛顿迭代法在附近局部收敛。又由定理3知,迭代公式最少含有二阶收敛速度。68/85利用泰勒公式所以

证毕69/85yx0B=x0f´´(x)>0xn+1X*ayx0Bf´´(x)>0a=x0yx0B=x0f´´(x)<0ayx0Bf´´(x)<0a=x0牛顿迭代法收敛性70/85yx10x0X*0x0X*x2

不满足迭代条件时，可能造成迭代值远离根情况而找不到根或死循环情况71/85牛顿迭代法算法实现72/85例用牛顿迭代法求x=e-x根,ε=10-4解：因f(xk)=xex–1,f´(xk)=ex(x+1) 建立迭代公式

取x0=0.5,逐次计算得x1=0.57102,x2=0.56716，x3=0.5671473/85牛顿下山法

通常,牛顿迭代法收敛性依赖于初始值选取,假如偏离所求根比较远,则牛顿法可能发散。为了预防迭代发散,我们对牛顿迭代法迭代过程再附加一项要求,即含有单调性

满足这项要求算法称下山法。74/85将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山法确保函数值下降前提下,用牛顿迭代法加紧收敛速度。把这一算法称为牛顿下山法。即其中λ(0<λ<1)为下山因子75/85下山因子选择是个逐步探索过程，设从λ=1开始重复将λ减半进行试算,即逐次取λ为从中挑选下山因子，直至找到其中某个λ使单调性条件成立，则称“下山成功”，不然“下山失败”，这时需另选初值重算。76/85牛顿迭代法即使含有收敛速度快优点，但每迭代一次都要计算导数,当比较复杂时,不但每次计算带来很多不便，而且还可能十分麻烦，假如用不计算导数迭代方法，往往只有线性收敛速度。