河北省石家庄市平山县北冶中学高三数学理模拟试题含解析

河北省石家庄市平山县北冶中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数的图象向左平移个单位得到的图象（如图），则（

）A．

B．

C.

D.

参考答案：C略2.函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只需将函数的图象A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

参考答案：C3.已知集合（i是虚数单位），B={1,－1}，则A∩B=A．{－1} B．{1} C．{1,－1} D．?参考答案：C4.若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f等于()A．0B．1C.D．－参考答案：C5.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（

）A．11010

B．01100

C．10111

D．00011参考答案：C6.已知集合，，则＝A．

B.

C.

D．参考答案：D,，所以，选D.7.已知双曲线的离心率为，则其渐近线为(

)A.2x+y=0 B.C. D.参考答案：D本题由双曲线的标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型．请在此填写本题解析!解因为,=25,因为+,所以，+=25即化简得=,所以答案为D.8.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知实数，满足约束条件’则的取值范围是（

）A．[0，1]B．[1，2]C．[1，3]D．[0，2]参考答案：D10.若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为A．24

B．48 C.72

D．78参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ=

．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）=0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ=﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，?2sinθcosθ+sinθ=0，?sinθ（2cosθ+1）=0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，∴tanθ=﹣=﹣，∴tan2θ==．故答案为：．12.类比是一个伟大的引路人。我们知道，等差数列和等比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列的结论，类似的得出等比数列的两个结论：等差数列等比数列

若

，则数列为等差数列若

，则数列为等比数列

参考答案：，（2分）

13.（本题满分12分）设函数。（Ⅰ）设函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的最大值及取得最大值时的x的值。参考答案：（Ⅰ）因为 4分， 6分所以。函数的最小正周期为。 7分（Ⅱ）因为，所以。所以，当，即时 10分函数的最大值为1。 12分14.（文）

．参考答案：-1略15.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若，则的值域为

.参考答案：16.函数的定义域为

.

参考答案：(,1)17.设x，y满足约束条件，则的最小值为_______．参考答案：-5

不等式组表示的平面区域如图所示

由得，

求的最小值，即求直线的纵截距的最大值

当直线过图中点时，纵截距最大由解得点坐标为，此时

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.20．(本小题满分13分)已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．参考答案：19.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2,BC=EF=1,,DE=3,，G为BC的中点.（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：BD⊥平面AED；（3）求点F到平面BED的距离.参考答案：（1）证明：取BD的中点O，连接OE，OG在中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC且，……………1分因为EF∥AB，AB∥DC，，所以EF∥OG且，……2分所以四边形是平行四边形，所以∥，

………3分又平面，平面，所以∥平面．

……………4分（2）证明：在中，，，，由余弦定理得，

…………5分因为，所以.

…………6分因为平面平面，平面,平面平面，所以平面.

……………7分（3）解法1：由（1）∥平面，所以点F到平面的距离等于点G到平面的距离，

……8分设点G到平面的距离为，过E作，交的延长线于M，则平面，所以是三棱锥的高．

……9分由余弦定理可得，所以,.

…………10分.因为，………………11分即，解得.所以点F到平面的距离为．

………………12分解法2：因为∥，且,所以点F到平面的距离等于点A到平面的距离的，

……………8分由（2）平面.因为平面，所以平面平面．过点作于点，又因为平面平面，故平面.所以为点到平面的距离．…9分在中，，由余弦定理可得所以，…10分因此，

……………………11分所以点F到平面BED的距离为．

………………12分20.已知x=1是函数f（x）=1+（1﹣x）ln（kx）的极值点，e自然对数底数．（Ⅰ）求k值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）是否存在m∈（1，+∞），使得当a＞m时，不等式（a+x）ln（a+x）＜aexlna对任意正实数x都成立？请说明理由．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）求导，从而令f′（1）=0解得k=1；从而由导数的正负确定函数的单调性；（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜aexlna可以化为，设，则h（a+x）＜h（a），即判断是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是减函数，从而求导，由导数的正负确定函数的单调性．从而说明m值存在．解答： 解：（I），由题意f′（1）=0，得k=1；此时f（x）=1+（1﹣x）lnx，定义域是（0，+∞），令，，∵g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）是减函数，且g（1）=0，因此当x∈（0，1）时，f′（x）=g（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）=g（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；（II）不等式（a+x）ln（a+x）＜aexlna可以化为，设，则h（a+x）＜h（a），即判断是否存在m∈（1，+∞），使h（x）在（m，+∞）是减函数，∵，∵，f（1）=1＞0，f（e）=2﹣e＜0，∴h′（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，分别设为x1和x2，列表：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）h'（x）﹣0+0﹣h（x）↓极小↑极大↓∴h（x）在（x1，x2）是增函数，在（x2，+∞）是减函数，∵x2∈（1，+∞），∴存在这样的m值，且m=x2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，注意“当a＞m时，不等式h（a+x）＜h（a）对任意正实数x都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，证明h（x）在（m，+∞）是减函数即可，属于中档题．21.已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列bn=an·log2an，求数列{bn}前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由数列的递推公式，可得所以数列{an}为等比数列，且公比，首项a1=1，（Ⅱ）根据错位相减法，即可求出数列的数列{bn}前n项和Tn．【解答】解：（I），因为数列{an}各项均为正数，所以an+1≠0，所以an=2an+1，所以数列{an}为等比数列，且公比，首项a1=1所以；（Ⅱ），，①②①﹣②得，所以．22.已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x