江西省上饶市石门街中学高三数学理知识点试题含解析

江西省上饶市石门街中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（

）

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形参考答案：D2.函数f（x）=，g（x）=x2?f（x﹣1），则函数g（x）的递减区间是（）A．[0，+∞） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）参考答案：B考点： 分段函数的应用；函数单调性的判断与证明．专题： 函数的性质及应用．分析： 由题意可得g（x）=x2?f（x﹣1）=，结合二次函数分别研究各段的单调性可得．解答： 解：∵f（x）=，∴f（x﹣1）=，∴g（x）=x2?f（x﹣1）=，当x＞1时，y=x2单调递增，当x＜0时，y=﹣x2单调递增，只有当0≤x＜1时，y=﹣x2单调递减．故选：B．点评： 本题考查分段函数的单调性，涉及复合函数和二次函数的单调性，属中档题．3.已知满足，则的最大值等于A．

B．

C．

D．

参考答案：C4.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（

）A.

B.

C.

D.2参考答案：D5.设函数Ｒ）满足，则的值是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0参考答案：D6.

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D7.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在第（

）号座位上

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B略8.已知数列{}是等比数列，且a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋＝

A．16（1－）B．16（1－）

C．（1－）D．（1－）参考答案：C略9.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：D10.下列命题是真命题的是（）A．?φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；?α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”?“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝，则{an}的公比为

参考答案：-112.已知函数f（x）=4lnx+ax2﹣6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点，则a的值为

．参考答案：1【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=+2ax﹣6，x=2为f（x）的一个极值点，∴f'（2）=2+4a﹣6=0，∴a=1，故答案为：1．【点评】本题考查了函数的极值的意义，考查导数的应用，是一道基础题．13.设，则二项式展开式中含项的系数是

．参考答案：-19214.在(ax–)8的展开式中含x2项的系数为70，则实数a的值是_________.参考答案：±115.关于、的二元线性方程组的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为，则二阶行列式=

.参考答案：由增广矩阵可知是方程组的解，所以解得，所以行列式为。16.设a=（sinx+cosx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式的常数项是

．参考答案：﹣160考点：二项式系数的性质；定积分．专题：导数的概念及应用；二项式定理．分析：求定积分求得a的值，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r值，代入通项求得常数项．解答： 解：a=（sinx+cosx）dx==2．∴（a﹣）6=．其通项==．由3﹣r=0，得r=3．∴二项式（a﹣）6的展开式的常数项是．故答案为：﹣160．点评：本题考查了定积分，考查了二项式定理，关键是熟练掌握二项展开式的通项，是基础题．17.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，，P为C的准线l上一点，则的面积为

．参考答案：36不妨设抛物线方程为，，，∴准线方程为，到直线的距离为6，∴.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四面体P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．（Ⅰ）在四面体各表面所成的二面角中，指出所有的直二面角，并说明理由；（Ⅱ）若PA=AB=1，AC=2，求四面体各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，得到二面角P﹣AC﹣B，P﹣AB﹣C都是直二面角，再推导出BC⊥平面PAB，得到A﹣PB﹣C是直二面角．（Ⅱ）以A为顶点，AC，AP所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四面体各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥PA⊥平面ABC，∴二面角P﹣AC﹣B，P﹣AB﹣C都是直二面角，由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴A﹣PB﹣C是直二面角．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，得二面角P﹣BC﹣A的平面角为∠PBA=45°，由PA⊥平面ABC得二面角B﹣PA﹣C的平面角为∠BAC=60°，以A为顶点，AC，AP所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（，，0），C（0，2，0），=（，，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（），平面PAC的法向量=（1，0，0），cos＜＞===，∴四面体各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值为．19.已知函数f（x）=x3﹣x﹣．（I）求函数y=f（x）的零点的个数；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零点，从而x＞0时，f（x）=x（x2﹣1﹣），设φ（x）=，利用导数及零点判定定理可求函数零点个数；（Ⅱ）化简得g（x）=lnx+，其定义域是（0，1）∪（1，+∞），求导得g'（x）=，令h（x）=x2﹣（2+a）x+1，则问题转化为h（x）=0有两个不同的根x1，x2，从而△=（2+a）2﹣4＞0，且一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，再由x1x2=1，得0＜x1＜＜e＜x2，根据零点判定定理可知只需h（）＜0，由此可求a的范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）内的最小值为g（x2），y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x1），由（Ⅱ）同时可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），故g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），令k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，利用导数可判断k（x）在（e，+∞）内单调递增，从而有k（x）＞k（e），整理可得结论；解答：解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一个零点，当x＞0时，f（x）=x（x2﹣1﹣），设φ（x）=，φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增．又φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，故φ（x）在（1，2）内有唯一零点，因此y=f（x）在（0，+∞）内有且仅有2个零点；（Ⅱ）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，其定义域是（0，1）∪（1，+∞），则g'（x）===，设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函数y=g（x）在（0，）内有极值，则h（x）=0有两个不同的根x1，x2，∴△=（2+a）2﹣4＞0，得a＞0或a＜﹣4，且一根在（0，）内，不妨设0＜x1＜，又x1x2=1，∴0＜x1＜＜e＜x2，由于h（0）=1，则只需h（）＜0，即+1＜0，解得a＞e+﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当x∈（1，x2）时，g'（x）＜0，g（x）递减，x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，故y=g（x）在（1，+∞）内的最小值为g（x2），即t∈（1，+∞）时，g（t）≥g（x2），又当x∈（0，x1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（x1，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故y=g（x）在（0，1）内的最大值为g（x1），即对任意s∈（0，1），g（s）≤g（x1），由（Ⅱ）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），因此，g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），设k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，k'（x）=+1+＞0，∴k（x）在（e，+∞）内单调递增，故k（x）＞k（e）=2+e﹣，即g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．点评：本题考查利用导数研究函数的零点、极值、最值，考查转化思想，考查学生综合运用数学知识分析解决问题的能力，综合性强，能力要求比较高．20.已知函数（a为常数）是R上的奇函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.

（1）求的值；

（2）若上恒成立，求的取值范围；

（3）讨论关于的方程的根的个数.参考答案：解：（1）是奇函数，,,故a=0.

（2）由（1）知：，上单调递减，,在[-1，1]上恒成立，.

（其中）恒成立，令，则恒成立，

（3）由令当时，上为增函数；当时，上为减函数；当而

方程无解；当时，方程有一个根；当即时，方程有两个根.

21.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{an·3n-1}的前n项和．参考答案：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an=2-n

………………5分

（II）设数列{an·3n-1}的前n项和为Sn，即

Sn=1·30+0·31-1·32-···+(3-n)3n-1+(2-n)3n3Sn=

1·31+0·32-1·33-···+(3-n)3n+(2-n)3n+1所以2Sn=30+31+32-···+3n-1+(2-n)3n所以Sn=综上，数列{an·3n-1}……………