山西省太原市尖草坪区第三中学高三数学理知识点试题含解析

山西省太原市尖草坪区第三中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列有关命题的叙述，①若为真命题，则为真命题；②“”是“”的充分不必要条件；③命题，使得，则，使得；④命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”。其中错误的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略2.已知命题p：xAB，则非p是

A．x不属于AB

B．x不属于A或x不属于B

C．x不属于A且x不属于B

D．xAB参考答案：【知识点】命题的否定

A3C由知或，所以非p是：不属于A且不属于B．故选择C【思路点拨】因即或．是由“或”连接的复合命题，它的否定是由“且”连接的复合命题．3.已知偶函数f（x）对任意x∈R满足f（2+x）=f（2﹣x），且当﹣3≤x≤0时，f（x）=log3（2﹣x），则f（2015）的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2015参考答案：B【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知关系式以及函数的奇偶性求出函数的周期，然后化简所求f（2015）为f（﹣1），通过函数表达式求出函数值即可．【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），函数的周期为：4，∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．故选：B．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．4.若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()．A.a2＋b2＞2ab

B.a＋b≥2

C.

D.参考答案：D略5.已知，且，则等于

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由茎叶图知：这组数据的中位数是，故选B．考点：1、茎叶图；2、样本的数字特征．7.已知三棱锥P﹣ABC四个顶点都在半径为2的球面上，PA⊥面ABC，PA=2，底面ABC是正三角形，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A． B．2π C． D．3π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵PA⊥面ABC，PA=2，∴球心O到平面ABC的距离为O1O==1，∴Rt△O1OA中，O1A=，∴又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=，故选：C．8.如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答： 解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P==，故选：C．点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．9.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a参考答案：B【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：

如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选：B【点评】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．10.已知全集，集合，，则（

）A． B．

C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______________.参考答案：略12.在三棱锥中，,,PA与平面ABC所成角的余弦值为，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

．参考答案：12π13.直线截得的弦AB的长为

。参考答案：8试题分析：由题意可得：圆心到直线的距离，所以被圆截得弦长为。考点：圆的性质.14.已知函数，则

．参考答案：e15.已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为

.参考答案：.试题分析：在同一坐标系中作出函数与的图象如下图所示，当时，，，16.函数的定义域是

参考答案：略17.若函数，则不等式的解集为

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知圆C：，直线过定点(4，0)．

（1）若直线与方向向量为a=(l，3)的直线1垂直，求原点到直线的距离

（2）直线与圆C相交于A，B两点，若△ABC的面积为，求直线的方程参考答案：19.（12分）（2012?石景山区一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

专题： 综合题．分析： （Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．解答： 解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积．由可得k2=2，∴，所以直线或．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．20.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170～175cm的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？

总计男生身高

女生身高

总计

（3）在上述100名学生中，从身高在175～185cm之间的男生和身高在170～175cm之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，设男生数为，则，得.由男生的人数为40，得女生的人数为.（2）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：

总计男生身高301040女生身高65460总计3664100

，所以能有的把握认为身高与性别有关；（3）在175～185cm之间的男生有12人，在170～175cm之间的女生人数有6人.按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.设男生为，，，，女生为，.从6人任选2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8种可能，故所求概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.设f（x）=|x|+|x+10|．（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；（Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a，b∈M时，等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0，结合题意可得（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0成立，从而得出结论．【解答】解：（I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得：①，或②，或③．解①求得x∈?，解②求得﹣5≤x≤0，解③求得5≥x＞0，故原不等式的解集为M={x|﹣5≤x≤5}．（II）当a，b∈M时，﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，不等式5|a+b||≤|ab+25|，等价于25（a+b）2≤（ab+25）2，即25（a2+b2+2ab）≤a2?b2+50ab+625，即25a2+25b2﹣a2?b2﹣625≤0，等价于（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0．而由﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，可得a2≤25，b2≤25，∴a2﹣25≤0，25﹣b2≥0，∴（a2﹣25）?（25﹣b2）≤成立，故要证的不等式5|a+b|≤|ab+25|成立．22.某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数78910命中次数2783（1）求此运动员射击的环数的平均值；（2）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m次、n次，每个基本事件为（m，n），求事件“m+n≥10”的概率．参考答案：解：（1）运动员射击的总次数为