广东省广州市增城市新塘镇永和中学高三数学理摸底试卷含解析

广东省广州市增城市新塘镇永和中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（

）A．圆锥

B．三棱锥C．三棱柱

D．三棱台参考答案：C略2.函数（）的图象如右图所示，为了得到,只需将的图像（

）A、向右平移个单位长度

B、向右平移个单位长度C、向左平移个单位长度

D、向左平移个单位长度参考答案：B略3.抛物线的准线方程是（

）A. B. C. D.参考答案：D抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.4.将函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（

）A．

B.C.D.参考答案：D5.下列说法错误的是

A．如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题一定是真命题；

B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；

C．若命题，，则，；

D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：D略6.设，，则（

）A． B．C． D．参考答案：B由题得，，所以．故选B．7.=（）A．i B． C． D．i参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】由于i4=1，可得i2013=（i4）503?i=i，i2015=﹣i，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵i4=1，∴i2013=（i4）503?i=i，i2015=（i4）503?i3=﹣i，∴原式===，故选：D．8.已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【专题】导数的综合应用．【分析】可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，可转化成“f（x）﹣ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解”，最后转化成y=a与h（x）=的图象有三个交点，根据函数的单调性画出函数h（x）的图象，即可求出所求．【解答】解：设x∈[3，9），则∈[1，3）∵x∈[1，3），f（x）=lnx，∴f（）=ln，∵函数f（x）满足f（x）=f（3x），∴f（）=f（x）=ln，∴f（x）=，∵在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，∴f（x）﹣ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解，则y=a与h（x）=的图象有三个交点，当x∈[1，3），h（x）==，则h′（x）==0，解得x=e，∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）==在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减，∴当x=e处，函数h（x）==在[1，3）上取最大值，当x∈[3，9），h（x）==，则h′（x）==0，解得x=3e，∴当x∈[3，3e）时，h′（x）＞0，当x∈（3e，9）时，h′（x）＜0即函数h（x）==在[3，3e）上单调递增，在（3e，9）上单调递减，∴当x=3e处，函数h（x）==在[3，9）上取最大值，根据函数的单调性，以及h（1）=0，h（e）=，h（3）=0，h（3e）=，h（9）=，画出函数的大值图象，根据图象可知y=a与h（x）在[1，3）上一个交点，在[3，3e）上两个交点，∴在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（，）．故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，同时考查了运算求解的能力，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于难题．9.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（则△ABC的形状是（

）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形参考答案：B10.指数函数y=b·在[b,2]上的最大值与最小值的和为6.则a值为A.2

B.-3

C.2或-3

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O.若，则______.参考答案：【分析】首先用、表示出、，结合得，进一步可得结果．【详解】由题得，，因为，所以，，．故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查三角形加法和减法法则和平面向量的基底法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若，则=

。参考答案：3013.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为．参考答案：5π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．14.已知是常数，，且，则

．参考答案：315.设当时,函数取得最小值,则_______。参考答案：略16.曲线和曲线围成的图形的面积是

.参考答案：17.设，，且，则当取最小值时，______.参考答案：12【分析】当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．【详解】解析：∵，，∴当取最小值时，取得最小值，∵，又，∴，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴当取最小值时，，，∴，∴.【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组得到的频率分布直方图如图所示，（1）求第三、四、五组的频率；

（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。

（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。参考答案：解：（1）由题设可知，第三组的频率为0．06×5=0．3第四组的频率为0．04×5=0．2第五组的频率为0．02×5=0．1………3分（2）第三组的人数为0．3×100=30第四组的人数为0．2×100=20第五组的人数为0．1×100=10……6分因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．……………9分（3）设第三组的3位同学为,第四组的2位同学为，第五组的1位同学为则从6位同学中抽2位同学有：,,,,,,,,,,,,,共15种可能………………10分其中第四组的2位同学中至少1位同学入选有,，,，,,,共9种可能……11分所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为……12分略19.（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1，n∈N*（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列bn=，试求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由于数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1，n∈N*．利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得出．2）bn==，利用“裂项求和”即可得出．解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn=2n﹣1，n∈N*．∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1．当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，上式也满足．∴an=2n﹣1．（2）bn===，则数列{bn}的前n项和Tn=+…+=1﹣=．【点评】：本题考查了递推式的应用、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本小题满分14分）已知焦点为，的椭圆经过点，直线过点与椭圆交于、两点，其中为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的范围；（III）若直线的斜率存在且不为零，向量与向量平行，求的值及的外接圆的方程。参考答案：（1）设椭圆方程为，点在椭圆上，，所以所以，又，所以，于是，椭圆方程为（2）①若直线的斜率不存在，即直线与轴垂直，此时、两点的坐标分别为，，则=②若直线的斜率存在，设直线的方程为，此时，满足，消去，得，易知，

而，则==（）令，故，易知（否则不存在），于是，由，得，即综合①②，（3）===由与向量平行，得解得（舍去），，此时由（）得所以⊥，此时的外接圆的圆心为线段的中点，即，半径，此时，的外接圆的方程21.（12分）如图,在长方体,中,,点在棱AB上移动.（Ⅰ）证明:;（Ⅱ）当为的中点时,求点到面的距离;

（Ⅲ）等于何值时,二面角的大小为.