黑龙江省哈尔滨市第十三高级职业中学高三数学文下学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市第十三高级职业中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={}，集合B为整数集，则AB=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边的中点，则（）A．

B．C．

D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则即可求出【解答】解：如图=﹣=﹣=×（+）﹣=﹣+，故选：A．3.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A4.已知动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为（）A．3 B．2 C．2 D．﹣3参考答案：A【考点】向量在几何中的应用．【分析】由题意设动直线l为y=（x+2），表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出【解答】解：动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，则△OAB为等边三角形，于是可设动直线l为y=（x+2），根据题意可得B（﹣2，0），A（﹣1，），∵M是线段AB的中点，∴M（﹣，）设C（x，y），∵，∴（﹣2﹣x，﹣y）=（﹣1﹣x，﹣y），∴，解得，∴C（﹣，），∴=（﹣，）?（﹣，）=+=3，故选：A．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，关键构造直线，考查了向量的坐标运算和向量的数量积，属于中档题5.已知集合，集合，且，则=(

)A.

B．

C．

D．参考答案：C略6.设集合,,则 （

）A． B． C． D．参考答案：C略7.与抛物线相切于坐标原点的最大的圆的方程为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C8.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B依题意，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1；如图所示，当点M为线段BC的中点时，由题意可知，截面为四边形AMND1，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段BM的取值范围为，故选B.9.复平面内表示复数z＝的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C解：∵z＝＝＝，∴复平面内表示复数z＝的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．10.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=a存在2个实数根，则a的取值范围为（）A．[﹣24，0） B．（﹣∞，﹣24）∪[0，2） C．（﹣24，3） D．（﹣∞，﹣24]∪[0，2]参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，数形结合分类讨论，可得不同情况下方程f（f（x））=a根的个数，综合可得答案．【解答】解：f（x）=的图象如下图所示：令t=f（x），则t∈（﹣∞，3]，当a＞3时，方程f（f（x））=f（t）=a无实根，方程f（f（x））=a存在0个实数根，当2≤a≤3时，f（t）=a有1实根，t∈[0，1]，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x））=a存在1个实数根，当0≤a＜2时，f（t）=a有1实根，t∈[﹣2，0），f（x）=t此时有2实根，故方程f（f（x））=a存在2个实数根，当﹣24≤a＜0时，f（t）=a有2实根，t1∈[﹣26，﹣2），f（x）=t此时有2实根，t2∈（1，3]，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x））=a存在3个实数根，当a＜﹣24时，f（t）=a有2实根，t1∈（﹣∞，﹣26），f（x）=t此时有2实根，t2∈（3，+∞），f（x）=t此时无实根，故方程f（f（x））=a存在2个实数根，综上所述：a∈（﹣∞，﹣24）∪[0，2），故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，若，，则线段的长为

．参考答案：设AF=4k，BF=2k，BE=k，DF?FC=AF?BF，即，所以∴AF=4，BF=2，BE=1，AE=7，,所以。12.集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=m2+1，m∈R}，则A∩B=．参考答案：{1}略13.展开式中的常数项为

.参考答案：试题分析：，，故常数项为.考点：二项式定理.14.若存在实数满足，则实数的取值范围是

.参考答案：15.函数，若，则

.参考答案：16.已知实数，若，那么的最小值为▲。参考答案：4略17.已知则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：学生编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10（x，y，z）（2，2，3）（3，2，3）（3，3，3）（1，2，2）（2，3，2）（2，3，3）（2，2，2）（2，3，3）（2，1，1）（2，2，2）（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：X12345P∴=．19.（本题满分13分）中角所对的边之长依次为，且，（Ⅰ）求和角的值；

（Ⅱ）若求的面积．参考答案：解：(I)由，，得

………………1分由得，

………………3分，，，………………5分∴………………7分∴，

………………8分∴，∴．

………………9分(II)应用正弦定理，得，

………………10分由条件得

………………12分．

………………13分略20.（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．参考答案：【考点】椭圆的参数方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）通过两个表达式的消去参数t，即可将直线l的参数方程化简为普通方程．椭圆C的极坐标方程化成：12=3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ，最后再化成普通方程即可；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出求点F1、F2到直线l的距离，最后求和即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x﹣2；…曲线C的普通方程为．…（Ⅱ）∵F1（﹣1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离，…点F2到直线l的距离，…∴．…【点评】本题是基础题，考查简单曲线的极坐标方程，椭圆C的极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查计算能力，易考题型．21.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=?．（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，然后求值；（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A的范围，然后求三角函数值的范围．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sin，1），=（cos，cos2），记f（x）=?=sincos+cos2=sin+cos+=sin（）+，因为f（x）=1，所以sin（）=，所以cos（x+）=1﹣2sin2（）=，（Ⅱ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC所以2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，所以cosB=，又0＜B＜，所以B=，则A+C=，即A=﹣C，又0＜C＜，则＜A＜，得＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，又f（2A）=sin（A+），所以f（2A）的取值范围（]．22.（本题满分13分）如图，两条过原点的直线分别与轴、轴成的角，已知线段的长度为，且点在直线上运动，点在直线上运动．(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过定点的直线与(Ⅰ)中的轨迹交于不同的两点、，且为锐角,求直线的斜率的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由已知得直线，：，：

----2分在直线上运动，直线上运动，,，