江苏省南通市区第二中学高三数学理模拟试卷含解析

江苏省南通市区第二中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若时，恒成立，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.某学校需要把6名实习老师安排到A，B，C三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（

）A．24

B．36

C．48

D．72参考答案：C3.已知函数，则实数a的值等于（

）A．-3

B．-1

C．1

D．3参考答案：A4.设，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A.故选A.5.对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得对，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有(

)A①②

B①③

C②③

D①②③参考答案：B略6.已知，则等于（

）A．

B．

C．

D．1参考答案：C略7.已知函数满足关系式，则实数的值是A.1

B.

C.

D.-1参考答案：B8.同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是A. B. C. D.参考答案：C9.已知B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可知，B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，代入可得m=a，利用tan60°=，解得=，从而求得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意得，B（m，2b）是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一点，代入可得m=a∵A为右顶点，O为坐标原点，∠AOB=60°，∴tan60°=，∴=，∴此双曲线的渐近线方程是y=±x，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，利用tan60°=是解题的关键．10.若A为△ABC的内角，且sin2A=﹣，则cos（A+）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由题意可得sin2A=2sinAcosA=﹣，sin2A+cos2A=1联立结合三角形内角的范围可得可得sinA和cosA的值，代入cos（A+）=（cosA﹣sinA），计算可得．【解答】解：∵A为△ABC的内角，且sin2A=2sinAcosA=﹣，结合sin2A+cos2A=1可得sinA=，cosA=﹣，∴cos（A+）=（cosA﹣sinA）=﹣故选：B．【点评】本题考查两角和与差的余弦公式，涉及同角三角函数基本关系，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列的前项和为，若，则

.参考答案：答案：

12.（5分）已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*），定义：使乘积a1?a2?…?aK为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．（1）若k=3时，则a1?a2?a3=；（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为．参考答案：2,2024.【考点】：数列的求和．【专题】：新定义．【分析】：利用an=logn+1（n+2），化简a1?a2?a3…ak，得k=2m﹣2，给m依次取值，可得区间[3，2015]内所有简易数，然后求和．解：（1）当k=3时，则a1?a2?a3=1?log23?log34=log24=2；（2）∵an=logn+1（n+2），∴由a1?a2…ak为整数得1?log23?log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，设log2（k+2）=m，则k+2=2m，∴k=2m﹣2，∵211=2048＞2015，∴区间[3，2015]内所有和谐数为：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2，其和M=23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=23（1+2+22+…+27）﹣2×8=﹣16=2024．故答案为：2，2024．【点评】：本题以新定义“简易数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，注意解题方法的积累，属于中档题．13.已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，=3，若P是BC边上的动点，则?的取值范围是．参考答案：[﹣，]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】运图形得出=×4×（﹣）=﹣8，=，=，0≤λ≤1化简得出?=（+）=2+λ2+3×，运用数量积求解即可．【解答】解：∵三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°∴AB=，∠ABC=30°，求出=×4×（﹣）=﹣8，∵=3，∴=，=，0≤λ≤1∵?=（+）=2+λ2+3×∴?=﹣8λ+12λ×（﹣8）=4，0≤λ≤1根据单调性得出：?的取值范围，故答案为：[﹣，]

【点评】本题考查了平面向量的运用算，向量的分解合成，数量积的运用，属于中档题，关键是转化为统一的向量求解．14.定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应。若，，则

．

参考答案：15.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=2n－1+k，则f(x)=x3－kx2－2x+1的极大值

参考答案：

;

16.已知数列满足，则=_________；参考答案：217.如图所示，画中的一朵花有止片花瓣，规定要给每片花瓣涂一种颜色，有四种不同颜色可供选择.若恰有三片花瓣涂同一种颜色，则不同的涂色种数为__________.(用数字作答)

参考答案：答案：240三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的焦距与短轴长相等，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为椭圆C上异于左、右顶点A、B的任意一点，过原点O作直线PA的垂线交直线PB于点M，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为.①求证：与之积为常数；②求点M的轨迹方程.参考答案：（1）（2）①证明见解析，②【分析】（1）由已知条件求得椭圆的,可得出其标准方程;（2）①设，直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，可得出的值，可得证；②设直线OM的方程为：，联立，再由①的结论代入可得轨迹方程.【详解】（1）椭圆C的焦距与短轴长相等，，，点在椭圆C上，，又，，，椭圆C的标准方程为.（2）①证明：由（1）知，，，设，直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，则，为常数；②由题意知，直线OM的方程为：，由，得，，，点M的轨迹方程为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中的定值问题,以及求动点的轨迹方程,解决的关键在于设点,设直线的方程,联立得交点的坐标的关系,属于常考题,难度题.19.已知定点、，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于P、Q两点，若直线AP与AQ斜率之积为，求证：直线l过定点，并求定点坐标.参考答案：（Ⅰ）设动点，则，，即，化简得：，由已知，故曲线的方程为.（Ⅱ）由已知直线斜率为0时，显然不满足条件。当直线斜率不为0时，设的方程为，则联立方程组，消去得，设，则，直线与斜率分别为,，，由已知得，化简得，解得或，当时，直线的方程为过点A，显然不符合条件，故舍去；当时，直线的方程为.直线过定点.综上，直线过定点，定点坐标为.

20.（本小题满分14分）已知函数（其中为自然对数的底）．（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）若，证明：参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以．显然，当时，；当时，．因此，在上单调递减，在上单调递增．因此，当时，取得最小值；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：当时，有，即，故（），从而有w。w-w*k&s%5￥u．略21.已知数列的前项和，（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和参考答案：略22.已知直角梯形ABCD中，，∥，，，E为A