江苏省无锡市凌霞实验中学高三数学理期末试卷含解析

江苏省无锡市凌霞实验中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.根据三角恒等变换，可得如下等式：

；

；

；

；

；依此规律，猜测，其中（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A.向左平移2个单位长度 B.向右平移2个单位长度C.向上平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度参考答案：C【分析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．【详解】解：，故只需将函数的图象向上平移1个单位长度，即可得到，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．3.如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3B．2 C．3 D．2参考答案：A【考点】复数求模．【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．4.设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知，则∠A的大小为（

）A.30°

B.60° C.120° D.150°参考答案：C∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=.故选C.

5.已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣参考答案：D【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MD|确定|KD|：|KM|的值，进而列方程求得m，再求出M的坐标【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MD|=1：2：则|KD|：|KM|=：1，kFD=，kFD==∴=，求得m=4∴直线FM的方程为y=（x﹣1），与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，∴y2=，解y=﹣或y=（舍去），故M的坐标为（，﹣），故选：D6.（00全国卷）函数的部分图象是参考答案：答案:D7.若满足约束条件，则的最大值为（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C8.已知变量满足约束条件，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B9.已知（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知定义在R上的偶函数，满足，且当时，，则的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

若是奇函数，则

．参考答案：解析：解法112.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职称90人，现采用分层抽样来抽取30人，各职称人数分别为________，________，________.参考答案：3，9，18略13.内角的对边分别是，若，,则 .参考答案：略14.函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】π

y=sin2x+2×=sin2x-cos2x+=2（sin2x-cos2x）+=2sin（2x-）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π【思路点拨】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．15.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A. B.C. D.参考答案：D令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选D．16.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，M、N分别是AB、A1D1的中点，则MN的长为

。

参考答案：答案:

17.设函数

,若,则实数=________________________

参考答案：-1本题主要考查了函数值的运算与参数的求解问题，难度较小。由于f（a）==2，可解得a=－1，故填－1；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知=曲直线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于两点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）直线绕点旋转后，与曲线分别交于两点，求．参考答案：（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为．（2）由得，即直线的斜率为，从而，，由已知，设，将代入，得，同理，将代入，得，所以，．19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求点A到平面BED的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，设E（x，y，z），通过，得E（0，2，1），求出平面BDE的法向量，通过，证明PC∥平面EBD．（Ⅱ）利用平面BED的法向量=（1，﹣1，2），，求解点A到平面BED的距离．【解答】（Ⅰ）证明：如图，根据题意，以BC为x轴，BA为y轴，BP为z轴建立空间直角坐标系．CD⊥⊥PD，CD⊥⊥PB，PD∩∩PB=P，∴CD⊥平面PDB，∴CD⊥DB．∵AD=AB=3，∠DAB=，∴DB=3，，∴DC=3，BC=6，∴B（0，0，0），A（0，3，0），C（6，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0）．设E（x，y，z），∵，∴（x，y，z﹣3）=2（﹣x，3﹣y，﹣z），得E（0，2，1），，．设平面BDE的法向量=（a，b，c），则，解得=（1，﹣1，2），=（6，0，﹣3），，∴PC∥平面EBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面BED的法向量=（1，﹣1，2），且，∴点A到平面BED的距离d==．20.已知是抛物线的焦点，关于轴的对称点为，曲线上任意一点满足；直线和直线的斜率之积为.（1）求曲线的方程；（2）过且斜率为正数的直线与抛物线交于两点，其中点在轴上方，与曲线交于点，若的面积为的面积为，当时，求直线的方程.参考答案：（1）由题意可知：，设曲线上任意一点坐标，则：，又，∴，整理得：，所以曲线的方程为：；（2）是抛物线的焦点，∴，则抛物线的方程为，设直线的方程为，将直线的方程代入曲线方程，整理得：，∴，∴，∴，又因为，可得：，∴，又因为在抛物线上，，整理得：，又，∴，∴直线的方程为：，注：如果设的方程为，计算量小21.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数.（1）解不等式：；（2）已知，求证：恒成立.参考答案：详见解析【知识点】绝对值不等式解：（1）解：，即，

①当时，不等式为，即，

是不等式的解；

②当时，不等式为，即恒成立，

是不等式的解；

③当时，不等式为，即，

是不等式的解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）证明：，

，

恒成立．22.在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=10cosθ．曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|．参考答案：【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】在ρ=10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=10x，由此能够求出|AB|．【解答】解：在ρ=10cosθ的两边同乘