苏科版无锡市东湖塘中学九年级上月考数学试卷含解析初三数学试卷分析

20162017学年江苏省无锡市东湖塘中学九年级（上）月考数学

试卷（12月份）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母代号填在下表中相应的题号下）

1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

2.在同一坐标系中，作y=2x2、y=-2x22的图象，它们共同特点是（）

A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上

B.都是关于原点对称，顶点都是原点

C.都是关于y轴对称，抛物线开口向下

D.都是关于y轴对称，顶点都是原点

3.抛物线y=x2-mx-m2+l的图象过原点，则171为（）

A.0B.1C.-1D.±1

4.把二次函数y=x2-2x-l配方成顶点式为（）

A.y=（x-1）2B.y=（x+1）2-2C.y=（x+1）2+lD.y=（x-1）2-2

5.如图所示，^ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30。、45°,如果此时

热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离

是（）

A.200米B.200«米C.220A/3^D.100（遥+1）米

7.如图，在RtzMBC中，ZC=90°,AB=6,cosB=|>则BC的长为（）

Rl-----------'C

A.4B.2V5C.D.12a^

1313

8.已知二次函数y=ax2+bx+c,若a>0,cVO,那么它的图象大致是（）

9.如图，PA,PB切。。于A、B两点，CD切OO于点E,交PA,PB于C,D.若

。。的半径为r,4PCD的周长等于3r,则tanNAPB的值是（）

A-U万B.C.IV?3D.jV13

10.已知抛物线y=a（x+1）（x--）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则

a

能使4ABC为等腰三角形的a的值有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请

将答案直接填写在下面答题栏内的相应位置）

11.（2分）若锐角0满足2sin0-&=o,则9=

12.（2分）函数y=（m-1）x"1?*-2mx+l是抛物线，则m=.

13.（2分）抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为.

14.（2分）抛物线y=x2-x+m,若其顶点在x轴上，则m=.

15.（2分）抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是—.

16.（2分）如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都

在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P,则cosNAPD=.

17.（2分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,

为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,

现设计斜坡BC的坡度i=l：5,则AC的长度是cm.

18.（2分）如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一

个动点，连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在

点M运动过程中，线段HN长度的最小值是—.

三、解答题（本大题共有10小题，共84分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

19.(8分)解方程:

(1)x2-5x+6=0；

(2)x(x-6)=4.

20.（8分）求下列各式的值

(1)sin260o+cos60°tan45°；

cos300

(2)+tan60

l+sin30

21.（6分）如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m,站立在点F处的观察者从

点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求

树高CD.

22.（6分）根据条件求函数的关系式

（1）已知二次函数y=x2+bx+c经过（-2,5）和（2,-3）两点，求该函数的

关系式；

（2）已知二次函数的图象以A（-1,4）为顶点，且过点B（2,-5）,求该

函数的关系式.

23.（8分）如图，小岛A在港口P的南偏东45。方向，距离港口100海里处.甲

船从A出发，沿AP方向以10海里/小时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，

沿北偏东30。方向，以20海里/小时的速度驶离港口.现两船同时出发，出发后

几小时乙船在甲船的正北方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：加心1.41,

73^1.73）

24.（10分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销

产品.某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元.经过一段时

间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=-2X+1000.

（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；

（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？

（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高

利润和最低利润分别为多少？

25.（8分）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离

水面4m.

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

（2）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽

度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

26.（10分）如图，已知直线I的函数表达式为y=~1x+3,它与x轴、y轴的交点

分别为A、B两点.

（1）求点A、点B的坐标；

（2）设F是x轴上一动点，OP经过点B且与x轴相切于点F设。P的圆心坐标

为P（x,y）,求y与x的函数关系式；

（3）是否存在这样的。P,既与x轴相切又与直线I相切于点B?若存在，求出

27.（10分）如图1,在菱形ABCD中，AB=6泥，tanNABC=2,点E从点D出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t

（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBCD）,得到对应线段CF.

(1)求证：BE=DF；

(2)当1=一秒时，DF的长度有最小值，最小值等于—；

(3)如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时，Z\EPQ是

直角三角形？

(4)如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a(a=/BCD),得到对应线

段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点

F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.

28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，己知点。(0,0),A(5,0),B

(4,4).

(1)求过0、B、A三点的抛物线的解析式.

(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以。、A、B、M为顶点的四边形面积

最大，求点M的坐标.

(3)作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当△PQB为等腰三角形

20162017学年江苏省无锡市东湖塘中学九年级（上）月

考数学试卷（12月份）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是正确的，请把正确选项的字母代号填在下表中相应的题号下）

1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）

A.y=ax2+bx+cB.x2+y-2=0C.y2-ax=-2D.x2-y2+l=0

【考点】二次函数的定义.

【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a

W0）的函数，叫做二次函数解答.

【解答】解:A、y=ax2+bx+c,应说明a#0,故此选项错误;

B、x2+y-2=0可变为y=-x2+2,是二次函数，故此选项正确；

C、y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；

D、x2-y2+i=o不是二次函数，故此选项错误；

故选:B.

【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数定义.

2.在同一坐标系中，作y=2x2、y=-2x22的图象，它们共同特点是（）

A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上

B.都是关于原点对称，顶点都是原点

C.都是关于y轴对称，抛物线开口向下

D.都是关于y轴对称，顶点都是原点

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据抛物线y=ax2的特征进行判断即可.

【解答】解：在二次函数y=ax2中，其图象关于y轴对称，顶点为原点，

Vy=2x\y=-2x22都是y=ax?类型的二次函数,

/.y=2x\y=-2x22的图象关于y轴对称，且顶点都是原点.

故选D.

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握y=ax2的图象关于y轴对称，顶点

为原点是解题的关键.

3.抛物线y=x2-mx-m2+l的图象过原点，则171为()

A.0B.1C.-1D.±1

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】把原点坐标代入抛物线y=x2-mx-m2+l,即可求出.

【解答】解：根据题意得：-m2+l=0,

所以m=±l.

故选D.

【点评】此题考查了点与函数的关系，点在图象上，将点代入函数解析式即可求

得.

4.把二次函数y=x2-2x-1配方成顶点式为()

A.y=(x-1)2B.y=(x+1)2-2C.y=(x+1)2+lD.y=(x-1)2-2

【考点】二次函数的三种形式.

【分析】利用配方法把一般式配成顶点式即可.

【解答】解:y=x2-2x+l-2

=(x-1)2-2.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常

数，aWO),该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是

(0,c)；顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，aWO),其中(h,k)

为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h,k)；

交点式：y=a(x-xi)(x-x2)(a,b,c是常数，aWO),该形式的优势是能

直接根据解析式得到抛物线与X轴的两个交点坐标(X1，0),(X2,0).

5.如图所示，^ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()

逗D.2^5

105

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理.

【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答.

【解答】解：如图：在B点正上方找一点D,使BD=BC,连接CD交AB于。,

根据网格的特点，CD±AB,

在RtAAOC中,

CO=V12+12=V2：

AC=J12+32=VT5；

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网

格构造直角三角形是解题的关键.

6.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30。、45°,如果此时

热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离

是（）

A.200米B.200«米C.220«米D.100（我+1）米

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题.

【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻

边后，相加求和即可.

【解答】解：由已知，得NA=30°,ZB=45",CD=100,

VCD±AB于点D.

.,.在Rt"CD中，ZCDA=90°,tanA=—,

AD

100

AD==100/3

tanA-r-

在RtZ\BCD中，ZCDB=90°,ZB=45°

.*.DB=CD=1OO米，

AAB=AD+DB=1OOV3+1OO=1OO(«+l)米.

故选D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△

ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解.分别在两三角形中求出

AD与BD的长.

7.如图，在RSABC中，ZC=90°,AB=6,cosB=-|,则BC的长为（）

o

-----lC__

A.4B.2V5C.18^D.12g

1313

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】根据cosB4，可得吟珞再把AB的长代入可以计算出CB的长.

5AD0

【解答】解：••,cosB哈

・.・CB=一2，

AB3

VAB=6,

2

.*.CB=-1X6=4,

故选：A.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边

b与斜边c的比叫做NA的余弦.

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据a的符号确定抛物线的开口方向，根据c的符号确定抛物线与y轴

的交点.

【解答】解：•.,二次函数y=ax2+bx+c,a>0,c<0,

二抛物线开口向上，与y轴交点在x轴的下方，

故选A.

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c

（aWO）来说，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开

口大小，|a|越大开口就越小；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴

的位置.

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,

对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物

线与y轴交于（0,C）；④抛物线与x轴交点个数.△=b2-4ac>0时，抛物线

与x轴有2个交点；442-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；442-4ac<

0时，抛物线与x轴没有交点.

9.如图，PA,PB切。。于A、B两点，CD切€）0于点E,交PA,PB于C,D.若

。。的半径为r,4PCD的周长等于3r,则tan/APB的值是（）

A

A-UTC-5D-3

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

【分析】（1）连接OA、OB、0P,延长B。交PA的延长线于点F.利用切线求

得CA=CE,DB=DE,PA=PB再得出PA=PB=1-r.利用RtABFP^RTAOAF得出

AFqFB,在RT^FBP中，利用勾股定理求出BF,再求tan/APB的值即可.

【解答】解：连接OA、OB、0P,延长B。交PA的延长线于点F.

VPA,PB切。0于A、B两点，CD切。。于点E

，NOAF=NPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

APCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

3

PA=PB==r-

2

在RtAPBF和RtAOAF中，

fZFAO=ZFBP

IZOFA=ZPFB，

RtAPBF^RtAOAF.

r

.AF_A0_v-_2

FBBPyr3

9

；.AF=yFB,

在RtAFBP中，

VPF2-PB2=FB2

，(PA+AF)2-PB2=FB2

A<fr+|BF>2-<|r)2=BF2,

解得BF=^r,

5

18

.*.tanZAPB=~——

PB35

*2r

故选：B.

【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题

的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系.

10.已知抛物线y=a(x+1)(x--)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则

a

能使AABC为等腰三角形的a的值有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】抛物线与x轴的交点；等腰三角形的判定.

【分析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C,

然后求出AC的长度，再分①a>0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、

AB=BC三种情况求解；②aVO时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的

左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可.

【解答】解：解法1：y=a(x+1)(x--)=(x+1)(ax-3),

a

所以，抛物线经过点A(-1,0),C(0,-3),

AC=VoA2+OC2=V1+32=V10J

点B坐标为(2,0),

a

①k>0时，点B在x正半轴上，

若AC=BC,则J(之)2+32=S"5,解得a=3,

若AC=AB,则工+1=技，解得a=»?+l,

a3

若AB=BC,则0+1=Jm）2+32,解得a=g；

②kVO时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，

只有AC=AB,则-1-3=«5,解得a=_伍一1,

a3

所以，能使^ABC为等腰三角形的a的值有4个.

解法2：易得抛物线一定过两个定点：（-1,0）,（0,-3）,连接这两个定

点，得到一条线段，以这条线段为底边可以在横轴上找一点构成等腰三角形，以

这条线段为腰，分别以两个定点为顶点可以在横轴上找到三个点构成等腰三角

形，所以共有四个点可以与定点构成等腰三角形，从而可以确定四个形状不同的

抛物线，所以a有四个值.

故选C.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物

线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论，此题有一定的难度.

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请

将答案直接填写在下面答题栏内的相应位置）

11.若锐角9满足2sin0~V2=0,则9=45°.

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】先根据题意得出sinQ的值，再由特殊角的三角函数值即可得出结论.

【解答】解：•"sin。-祗=0,

2sin0=</2»

.•.sin0=返.

2

•••0为锐角，

.,.0=45°.

故答案为：45.

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答

此题的关键.

12.函数y=(m-l)x^+1-2mx+l是抛物线，则m=-1.

【考点】二次函数的定义.

【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可.

【解答】解：由y=(m-l)x^^+i-2mx+l是抛物线，得

'2+1=2

m-17t0

解得m=-l,m=l(不符合题意舍去)，

故答案为：-L

【点评】本题考查二次函数的定义，二次函数的二次项系数不能为零是解题关键.

13.抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为(-3,0),(1,0).

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】直接得出y=o时x的值，进而得出答案.

【解答］解:当y=0,则0=-x?-2x+3,

x2+2x-3=0,

则(x+3)(x-1)=0,

解得：X1=-3,X2=l,

故抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为：(-3,0),(1,0).

故答案为：(-3,0),(1,0).

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点求法，正确解方程是解题关键.

14.抛物线y=x2-x+m,若其顶点在x轴上，则m=云.

【考点】二次函数的性质.

【分析】把抛物线方程化为顶点式，令其纵坐标为。即可求得m.

【解答】解：Vy=x2-x+m=（x-2+m--7,

24

,其顶点坐标为（■!■,m-'，

•.•顶点在x轴上，

Am-^-=0,解得m=1.

44

故答案为：

【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关

键.

15.抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】先设出抛物线与X轴的交点，再根据根与系数的关系求出X1+X2及X1・X2

的值，再由完全平方公式求解即可.

【解答】解：设抛物线与X轴的交点为：（Xi，0）,（X2,0）,

'."X1+X2=-4,X1*X2=3,

IXi-x21=-^（X[+x2）2-4X1X2=202,

...抛物线y=x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2.

故答案为：2.

【点评】本题考查的是抛物线与X轴的交点问题，能由根与系数的关系得到X1+X2

及X1・X2的值是解答此题的关键.

16.如图，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小

正方形的顶点上，AB、CD相交于点P,则cosNAPD=曼^.

【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.

【分析】作AE1CD于E,由DB：AC=1：3,求出4APC的面积，线段AP、PC

的长，在RT/XAPE中可以求出cosNAPD.

【解答】解：如图作AE±CD交CD的延长线于E,

R/+3%伍，〃瓯方3・1号

广小平,APqX^=噂,

AP15

故答案为续t

15

【点评】本题考查了勾股定理、平行线性质、三角形的面积的计算、三角函数等

知识，构造直角三角形是解三角函数问题的常用方法，用面积法求高是解题的关

键.

17.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,为方

便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设

计斜坡BC的坡度i=l：5,则AC的长度是210cm.

【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题.

【分析】首先过点B作BD_LAC于D,根据题意即可求得AD与BD的长，然后由

斜坡BC的坡度i=l：5,求得CD的长，继而求得答案.

【解答】解：过点B作BD_LAC于D,

根据题意得：AD=2X30=60(cm),BD=18X3=54(cm),

•.•斜坡BC的坡度i=l：5,

ABD：CD=1：5,

/.CD=5BD=5X54=270(cm),

.\AC=CD-AD=270-60=210(cm).

AAC的长度是210cm.

故答案为:210.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题.此题难度适中，注意掌握

坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.

18.如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，

连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在点M运动

过程中，线段HN长度的最小值是1.25.

【考点】全等三角形的判定与性质；垂线段最短；等边三角形的性质.

【分析】取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BD=BG,再求

出NHBN=NMBG,根据旋转的性质可得MB=NB,然后利用“边角边”证明ZXMBG

gANRH,再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段最短可

得MG±CH时最短，再根据NBCH=30。求解即可.

【解答】解：如图，取BC的中点G,连接MG,

•••旋转角为60。，

；.NMBH+NHBN=60",

XVZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

，NHBN=NGBM,

VCH是等边4ABC的对称轴，

/.HB=—AB,

2

/.HB=BG,

XVMB旋转到BN,

，BM=BN,

在△MBG和△NBH中，

'BG=BH

<NMBG=/NBH,

JB=NB

.'.△MBG^ANBH(SAS),

；.MG=NH,

根据垂线段最短，MGLCH时，MG最短，即HN最短,

止匕时VZBCH=-1-X60°=30°,CG=yAB=yX5=2.5,

MG=—G==X2.5=1.25,

22

，HN=L25,

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

三、解答题（本大题共有10小题，共84分.解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

19.解方程:

（1）x2-5x+6=0；

（2）x（x-6）=4.

【考点】解一元二次方程因式分解法；解一元二次方程配方法.

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先利用配方法把方程变形为（x-3）2=13,然后利用直接开平方法解方程.

【解答】解：（1）（x-3）（x-2）=0,

x-3=0或x-2=0,

所以Xi=3,X2=2；

（2）x2-6x=4,

x2-6x+9=13,

（x-3）2=13,

x-3=±V13>

所以XI=3+VT^,X2=3-V13.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再

把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有

可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，

把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.也考查了

配方法解一元二次方程.

20.求下列各式的值

(1)sin260°+cos60°tan45°；

cos300

(2)+tan60

l+sin30

【考点】特殊角的三角函数值.

【分析】（1）、（2）直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【解答】解：（1）原式=（坐）

,3+1

42

--5-•

41

（2）原式=，—+«

%

,W3

3°

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答

此题的关键.

21.如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m,站立在点F处的观察者从点E处

看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD=8m,FB=2m,EF=1.6m,求树高CD.

【考点】相似三角形的应用.

【分析】延长CE交DF的延长线于点G,可证明△GFEs/^GBA,得GF的长；可

证明△GDCsaGBA,树高CD的长即可知.

【解答】解：延长CE交DF的延长线于点G,设GF为xm,

VEF//AB,

/.△GFE^AGBA,

...空口即^

GBABx+22.4

解得x=4,

VCD^AB,

AAGDC^AGBA,

.GDCD14CD

•.——-,Hn二J,

GBAB62.4

解得CD=5.6,

答：树图CD为5.6m.

【点评】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，解题的关键是正确作出辅

助线构造相似三角形.

22.根据条件求函数的关系式

(1)已知二次函数y=x2+bx+c经过(-2,5)和(2,-3)两点，求该函数的

关系式；

(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点，且过点B(2,-5),求该

函数的关系式.

【考点】待定系数法求二次函数解析式.

【分析】(1)直接把(-2,5)和(2,-3)代入y=x2+bx+c得到关于b、c的

方程组，然后解方程组求出b、c即可；

(2)已知抛物线的顶点坐标，设顶点式，将点B(2,-5)代入求a,即可确定

函数关系式.

(4-2b+c=5

【解答】解：根据题意得，E，

4+2b+c=-3

(b=-2

解得。，

[c=-3

所以该二次函数的解析式为y=x2-2x-3；

(2)由A(-1,4)为抛物线顶点，设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4,

将点B(2,-5)代入，得9a+4=-5,解得a=-1,

所以该函数的关系式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次

函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入

数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三

元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式

来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

23.如图，小岛A在港口P的南偏东45。方向，距离港口100海里处.甲船从A

出发，沿AP方向以10海里/小时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿北偏

东30。方向，以20海里/小时的速度驶离港口.现两船同时出发，出发后几小时

乙船在甲船的正北方向？（结果精确到0.1小时）（参考数据：血21.41,返心

1.73）

【考点】解直角三角形的应用方向角问题.

【分析】根据题意画出图形，过点P作PE_LCD,根据余弦的定义分别表示出PE,

列出方程，解方程即可.

【解答】解：设出发后x小时乙船在甲船的正北方向.

此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处.

连接CD,过点P作PELCD,垂足为E.则点E在点P的正东方向.

在RtaCEP中，NCPE=45°,

.,.PE=PC«cos45°,

在RtAPED中，ZEPD=60°,

，PE=PD・cos60°,

PC*cos45°=PD*cos60°,

•二(100-lOx)•cos45°=20x*cos60°.

解这个方程，得x-4.1,

答：出发后约4.1小时乙船在甲船的正东方向.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、灵

活运用锐角三角函数的概念是解题的关键.

24.（10分）（2015秋•无锡期末）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的

空气净化器成了热销产品.某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为

200元.经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）

的关系为y=-2X+1000.

（1）该公司每月的利润为W元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；

（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？

（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高

利润和最低利润分别为多少？

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）根据销售利润=每天的销售量X（销售单价-成本价），即可列出

函数关系式；

（2）令y=40000代入解析式，求出满足条件的x的值即可；

（3）根据（1）得到销售利润的关系式，利用配方法可求最大值.

【解答】解：（1）由题意得：w=（x-200）y=（x-200）（-2x+1000）=-2x2+1400x

-200000；

(2)令w=-2x2+1400x-200000=40000,

解得:x=300或x=400,

故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元;

（3）y=-2x2+1400x-200000=-2（x-350）2+45000,

当x=250时y=-2X2502+1400X250-200000=25000；

故最高利润为45000元，最低利润为25000元.

【点评】本题考查了二次函数的实际应用，难度适中，解答本题的关键是熟练掌

握利用配方法求二次函数的最大值.

25.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m.

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

（2）设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽

度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）设该抛物线的解析式是y=ax2,结合图象，只需把（10,-4）代

入求解；

（2）根据（1）中求得的函数解析式，把x=9代入求得y的值，再进一步求得水

深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

【解答】解：（1）设该抛物线的解析式是丫=2*2,

结合图象，把（10,-4）代入，得

100a=-4,

则该抛物线的解析式是y=-±x2.

（2）当x=9时，则有y=-2^X81=-3.24,

25

4+2-3.24=2.76（米）.

所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行.

【点评】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求

得二次函数的解析式.

26.（10分）（2015秋•无锡期末）如图，已知直线I的函数表达式为y=*+3,

它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点.

（1）求点A、点B的坐标；

（2）设F是x轴上一动点，OP经过点B且与x轴相切于点F设。P的圆心坐标

为P（x,y）,求y与x的函数关系式；

（3）是否存在这样的。P,既与x轴相切又与直线I相切于点B?若存在，求出

【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征易得以A点坐标为（-4,0）,B点

坐标为（0,3）；

（2）过点P作PD_Ly轴于D,则PD=|x|,BD=|3-y|,根据切线的性质得PF=y,

则PB=y,在RtABDP中，根据勾股定理得到y2=x2+（3-y）2,然后整理得到

（3）由于。P与x轴相切于点F,且与直线I相切于点B,根据切线长定理得到

AB=AF,而AB=5,所以AF=|x+4|=5,解得x=l或x=-9,再把x=l和x=-9分别

代入y=&<2+l■计算出对应的函数值，即可确定P点坐标.

【解答】解:⑴当x=0时，yfx+3=3；

4

当y=0时，-|-x+3=0,解得x=-4,

所以A点坐标为(-4,0),B点坐标为(0,3)；

(2)过点P作PD_Ly轴于D,如图1,则PD=|x|,BD=|3-y,

V0P经过点B且与x轴相切于点F

.-.PB=PF=y,

在RtABDP中，

/.PB2=PD2+BD2,

y2=x2+(3-y)2,

(3)存在.

•.'OP与x轴相切于点F,且与直线I相切于点B,

.\AB=AF

VAB2=OA2+OB2=52,

；.AF=5,

VAF=|x+4|,

|x+4=5,

x=l或x=-9,

当x=l时，.+=

bZb23

当x=-9时，y=-^-x2+-1-=4-X(-9)2+?=15,

6262

，点P的坐标为（1，斗或（-9,15）.

J

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质和切线长定理、一次函数

的性质；会利用坐标表示线段和运用勾股定理进行几何计算.

27.（10分）（2016•镇江）如图1,在菱形ABCD中,AB=6泥，tanZABC=2,

点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设

运动时间为t（秒）,将线段CE绕点C顺时针旋转一个角a（a=ZBCD）,得到

对应线段CF.

（1）求证:BE=DF；

（2）当1=6七+6秒时,DF的长度有最小值，最小值等于12；

（3）如图2,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q,当t为何值时，△EPQ是

直角三角形？

（4）如图3,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角a（a=NBCD）,得到对应线

段CG.在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点

F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式.

【考点】四边形综合题.

【分析】（1）由NECF=NBCD得NDCF=NBCE,结合DC=BC、CE=CF证4DCF组

△BCE即可得；

（2）当点E运动至点E，时，由DF=BE，知此时DF最小，求得BE\AE，即可得答案;

(3)①/EQP=90°时，由NECF=NBCD、BC=DC、EC=FC得NBCP=NEQP=90°,根

据AB=CD=6代，tanZABC=tanZADC=2即可求得DE；

②NEPQ=90。时，由菱形ABCD的对角线AC±BD知EC与AC重合，可得DE=6泥;

(4)连接GF分别交直线AD、BC于点M、N,过点F作FHLAD于点H,证4

DCEgz^GCF可得N3=N4=/1=N2,即GF〃CD,从而知四边形CDMN是平行四

边形，由平行四边形得MN=CD=6泥；再由NCGN=NDCN=NCNG知

CN=CG=CD=6泥，根据tanNABC=tan/CGN=2可得GM=6疾+12,由GF=DE=t得

FM=t-6泥-12,

利用tan/FMH=tanNABC=2即可得FH.

【解答】解：(1)VZECF=ZBCD,即NBCE+NDCE=NDCF+NDCE,

/.ZDCF=ZBCE,

•••四边形ABCD是菱形，

DC=BC,

在4DCF和4BCE中，

'CF=CE

VZDCF=ZBCE,

CD=CB

.'.△DCF^ABCE(SAS),

.*.DF=BE；

(2)如图1,

当点E运动至点E，时，DF=BE\此时DF最小，

在Rt^ABE'中，AB=64，tanNABC=tan/BAE'=2,

...设AE'=x,则BE'=2x,

AB=、/^x=6\/^,

则AE'=6

，DE'=6娓+6,DF=BE'=12,

故答案为：64+6,12；

(3)VCE=CF,

，/CEQV90°,

①当NEQP=90。时，如图2①,

.,.ZCBD=ZCEF,

VZBPC=ZEPQ,

，NBCP=NEQP=90°,

,.•AB=CD=6&,tanZABC=tanZADC=2,

，DE=6,

At=6秒；

②当NEPQ=90。时，如图2②，

•菱形ABCD的对角线AC±BD,

；.EC与AC重合，

,DE=6娓，

，t=6逐秒；

(4)y=^-t-12-

如图3,连接GF分别交直线AD、BC于点M、N,过点F作FH_LAD于点H,

由(1)知N1=N2,

又；Z1+ZDCE=Z2+ZGCF,

/.ZDCE=ZGCF,

在4DCE和aGCF中，

'EC=FC

；NDCE=NGCF,

DC=GC

/.△DCE^AGCF(SAS),

，N3=N4,

VZ1=Z3,Z1=Z2,

，Z2=Z4,

，GF〃CD,

又,.,AH〃BN,

四边形CDMN是平行四边形，

；.MN=CD=6&,

VZBCD=ZDCG,

/.ZCGN=ZDCN=ZCNG,

，CN=CG=CD=6泥，

tanZABC=tanZCGN=2,

AGN=12,

，GM=6泥+12,

VGF=DE=t,

.\FM=t-675-12,

VtanZFMH=tanZABC=2,

AFH=-^S（t-6娓-12）,

5

即丫=竿4-12-4区

【点评】本题主要考查菱形的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角

形及旋转的性质，熟练掌握灵活运用是解题的关键.

28.（10分）（2014•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点。（0,0）,

A（5,0）,B（4,4）.

（1）求过。、B、A三点的抛物线的解析式.

（2）在第一象限的抛物线上存在点M,使以0、A、B、M为顶点的四边形面积

最大，求点M的坐标.

（3）作直线x=m交抛物线于点P,交线段OB于点Q,当APCIB