浅谈函数单调性的应用

浅谈函数单调性的应用贵州省习水县第一中学袁嗣林摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的单调性.同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题.关键词：函数单调性；判断方法；应用OntheapplicationofmonotonefunctionsAbstract：Monotonicityofthefunctionisanimportantfunctionofthenatureofthissum,summedupthefivemethodstodeterminethefunctionofthemonotony,whilethecharacteristicsofeachmethodandapplication,notetheusemadebywayofexamplethespecificintroduction,whichhelpreadersbetterunderstandandmasterthesemethods,whichcaneasilysolvetheproblemofmonotonefunctions。KedWord：Monotonicfunction;methodtojudge;application函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律.在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集.接下来我就来谈谈函数单调性的应用。一、函数单调性的判别单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种方法。．1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数）例1判断函数的单调性解因为==，显然当为正数且逐渐增加时,也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数在区间(0，+∞)上为减函数．2.函数变换法由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x)单调递减.例2判断函数的单调性.解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数.3.复合函数法设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g(x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推．例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围()(A)（０，+∞）(B)（0，1)U(1，2)(C)(D)解因为，所以-1取特殊值又显然=，所以方程=仅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．4.证明不等式在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷．例9已知a、b、c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证ab+bc+ca+1>0解构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，只需证x∈(-1，1)时f(x)>0恒成立．当b+c=时，=1一b2>O恒成立．当b+c≠0时，一次函数=(b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是单调的．因为=bc+b+c+1=(b+1)(c+1)>0，，f(-1)=bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，所以=(b+c)x+bc+1在x∈(-1，1)上恒大于零.综上，当|a|<1时，(b+c)a+bc+1>0恒成立，从而得证．例10已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围()ABCD解析借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C.5.求参数的取值范围例11已知f(x)是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且时求t的取值范围.分析：因已知函数f（x）是奇函数将已知不等式移项后可得根据是减函数脱去，然后由式子特征构造相应单调函数.解<设x=sin0<x<1化简：-3tx<-1解得t>.6.已知函数在某区间上单调求参数