2019年陕西省中考数学试卷（解析版）

2019年陕西省中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）（2019•陕西）计算：（-3）0=（）

A.1B.0C.3D.--

3

【考点】6E：零指数幕.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用零指数暴的性质计算得出答案.

【解答】解：（-3）0=1.

故选：A.

【点评】此题主要考查了零指数幕的性质，正确掌握零指数幕的性质是解题关键.

2.（3分）（2019•陕西）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.

【解答】解：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角.

故选：D.

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.（3分）（2019•陕西）如图，OC是/408的角平分线，/〃。2,若Nl=52°,则N2的

度数为（)

AC

------------O-----------B

A.52°B.54°C.64°D.69°

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NBOC=64°,再根据平行

线的性质，即可得出N2的度数.

【解答】解：

.•.Z1+ZAOB=180°,

，/AO8=128°,

VOCWZA0B,

：.ZBOC=64°,

又/〃。8,且/2与/80C为同位角，

；./2=64°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直

线平行，同旁内角互补.

4.（3分）（2019•陕西）若正比例函数y=-2元的图象经过点。（a-1,4）,则。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】由正比例函数图象过点。，可知点O的坐标满足正比例函数的关系式，由此可

得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：•.•正比例函数y=-2%的图象经过点O（a-1,4）,

.,.4=-2（a-1）,解得：a=-1.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点。的坐标代入正

比例函数关系得出关于a的一元一次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题

目时，将点的坐标代入函数解析式中找出方程是关键.

5.（3分）（2019•陕西）下列计算正确的是（）

A.2a2,3a2=6a2B.（-3a2b）2=6a4b2

C.（a-b）2=a2-b2D.-a2+2a2=a1

【考点】41：整式的混合运算.

【专题】11：计算题；512：整式.

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决.

【解答】解：：2a2・3/=6a4,故选项A错误，

：（-3/匕）2=9〃%2,故选项B错误，

,/（a-b）2=a2-lab+b2,故选项C错误，

-a2+2a2=a2,故选项。正确，

故选：D.

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法.

6.（3分）（2019•陕西）如图，在△ABC中，ZB=30°,NC=45°,4D平分N8AC交

BC于点D,DELAB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为（）

【考点】KF：角平分线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】过点D作DF±AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE=DF=1,解

直角三角形即可得到结论.

【解答】解：过点。作于尸如图所示，

为的平分线，且。于£,DF±ACF,

:.DE=DF=L

在Rtz\B即中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

在RtZ\C£）尸中，NC=45°,

...△CO尸为等腰直角三角形,

:.CD=4^DF=M，

：.BC=BD+CD=2+42>

故选：A.

【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.（3分）（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将函数y=3尤的图象向上平移6个单位长度,

则平移后的图象与x轴的交点坐标为（）

A.（2,0）B.（-2,0）C.（6,0）D.（-6,0）

【考点】F9：一次函数图象与几何变换.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y=0,解得即可.

【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=3尤的图象向上平移6个单位长度

所得函数的解析式为y=3x+6,

:此时与x轴相交，贝Uy=O,

；.3元+6=0,即x=-2,

...点坐标为（-2,0）,

故选：B.

【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此

题的关键.

8.（3分）（2019•陕西）如图，在矩形中，AB=3,BC=6,若点E,尸分别在AB,

CO上，且8E=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点，则四边形的面积

BC

A.1B.3C.2D.4

2

【考点】L7：平行四边形的判定与性质；LB：矩形的性质.

【专题】555：多边形与平行四边形；556：矩形菱形正方形.

【分析】由题意可证EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四边形为平行四

边形，即可求解.

【解答】解：,;BE=2AE,DF=2FC,岖』，空=工

BE2DF2

：G、H分别是AC的三等分点

.AG1CH=1

,•而记AH1

.AE_AG

"Bf=GC

：.EG//BC

：.EG=2,

同理可得HF=2

，四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1

••S四边形EHFG=2X1=2,

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，证明四边形EHFG为平行

四边形是本题的关键.

9.（3分）（2019•陕西）如图，AB是OO的直径，EF,EB是的弦，且EF=EB,EF

与AB交于点C,连接。凡若NAOF=40°,则NF的度数是（）

E

A.20°B.35°C.40°D.55°

【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】连接/3,得到NR95=140°,求出N瓦8NOb8即可.

【解答】解：连接尸丛

E

VZAOF=40°,

：.ZFOB=1SO°-40°=140°,

・•・ZFEB=^ZFOB=70°

2

9：EF=EB

:・/EFB=NEBF=55°,

■:FO=BO,

：・/OFB=NOBF=22°,

:./EFO=/EBO,

ZEFO=ZEFB-ZOFB=35°,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

10.（3分）（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=7+（2m-1）x+2m-4

与y=/-（3加+〃）x+几关于y轴对称，则符合条件的处〃的值为（）

A.m=—,n=-B.m=5,n=-6

77

C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2

【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】根据关于y轴对称，a,c不变，6变为相反数列出方程组，解方程组即可求得.

【解答】解：：抛物线y=/+（2相-1）x+2%-4与y=/-（3加+力）x+〃关于y轴对称，

...（2nrl=3"n,解之得［中1,

121rl-4=n〔n=-2

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键.

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

11.（3分）（2019•陕西）己知实数0.16,V3，n,每，编,其中为无理数的是

m编_•

【考点】22：算术平方根；24：立方根；26：无理数.

【专题】511：实数.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概

念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环

小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：体:5,J~、0.16是有理数；

2

无理数有“、it、起.

故答案为：M、m起.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：it,2TT等；

开方开不尽的数；以及像0.2020020002…相邻两个2之间0的个数逐次加1,等有这样规

律的数.

12.（3分）（2019•陕西）若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为

【考点】MM：正多边形和圆.

【专题】55B：正多边形与圆.

【分析】根据正六边形的性质即可得到结论.

【解答】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，

由正六边形性质可知，△A03,△C。。为两个边长相等的等边三角形，

：.AD=2AB=6,

故答案为6.

【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正

多边形和圆的性质来分析、判断、解答.

13.(3分)(2019•陕西)如图，D是矩形A02C的对称中心，A(0,4),B(6,0),若一

个反比例函数的图象经过点Q,交AC于点则点〃的坐标为(为，4).

一2

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性质；R4：中心对称.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】根据矩形的性质求得C(6,4),由。是矩形AO8C的对称中心，求得0(3,2),

设反比例函数的解析式为y=k，代入。点的坐标，即可求得上的值，然后根据反比例

x

函数图象上点的坐标特征即可求得M点的坐标.

【解答】解：(0,4),B(6,0),

：.C(6,4),

•/D是矩形AOBC的对称中心，

：.D(3,2),

设反比例函数的解析式为y=N,

X

：.k=3X2=6,

...反比例函数的解析式为y=2,

X

把y=4代入得4=旦，解得尸卷，

故M的坐标为(色，4).

2

故答案为(1,4).

2

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得。点的坐标是

解题的关键.

14.(3分)(2019•陕西)如图，在正方形A3C。中，AB=8,AC与2。交于点O,N是A。

的中点，点M在边上，且8M=6.尸为对角线上一点，则PM-PN的最大值为

2

BMC

【考点】LE：正方形的性质；PA：轴对称-最短路线问题.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】作以8。为对称轴作N的对称点N,连接PN,MN,依据PM-PN=PM-PN

WMN,可得当尸，M,N三点共线时，取“="，再求得空=里—=L，即可得出PM

BMAN'3

//AB//CD,/CMN=90°,再根据△NCM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN=2.

【解答】解：如图所示，作以8。为对称轴作N的对称点N,连接PN,MN,

根据轴对称性质可知，PN=PN,

：.PM-PN=PM-PNWMN,

当P,M,N三点共线时，取“=”，

•••正方形边长为8,

.-.AC=V2AB=哂，

为AC中点，

；.AO=OC=472，

■:N为OA中点，

：.0N=25

：.ON=CN=2V2，

；■•=672-

'：BM=6,

：.CM=AB-BM=8-6=2,

.CM_CN?_1

,,BMAN，¥

：.PM//AB//CD,NCMN=90°,

•：/NCM=45°,

/.△NCM为等腰直角三角形，

:.CM=MN=2,

即PM-PN的最大值为2,

故答案为:2.

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，

一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对

称点.

三、解答题（共78分）

15.（5分）（2019•陕西）计算：-2乂印南+|1-近|-（A-）2

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幕.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幕的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=-2X（-3）+V3-1-4

=1+V3.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

16.（5分）（2019•陕西）化简：（空2+Y5—）+廿2

22

a+2a-4a-2a

【考点】6C：分式的混合运算.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分即可得到结果.

【解答】解:

原式=售籍.喑

=(a+2)2.a(a-2)

(a+2)(a-2)a+2

=4.

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.（5分）（2019•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC,是边上的高.请用尺规作

图法，求作AABC的外接圆.（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】KH：等腰三角形的性质；MA：三角形的外接圆与外心；N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题.

【分析】作线段AB的垂直平分线，交AO于点。以。为圆心，为半径作。。OO

即为所求.

【解答】解：如图所示：即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

18.（5分）（2019•陕西）如图，点A,E,尸在直线/上，AE=BF,AC//BD,且AC=8O,

求证：CF=DE.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】553：图形的全等.

【分析】根据平行线的性质得到证明△ACP0ZXBOE,根据全等三角形

的性质证明结论.

【解答】证明：

：.AE+EF=BF+EF,即AF=BE,

,JAC//BD,

：.ZCAF=ZDBE,

在△ACP和△BOE中，

'AC=BD

<ZCAF=ZDBE.

,AF=BE

:.AACF注ABDE（SAS）

:.CF=DE.

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

19.（7分）（2019•陕西）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以

“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动.校德育处对本校七年级

学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调

（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为3.

（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；

（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”

为5本的学生人数.

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W2：加权平均数;

W5：众数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】（1）根据统计图可知众数为3；

(2)平均数—3X1+18X2+21X3+12X4+545

二3；

3+18+21+12+6

（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=1200义&=120（人）.

(2)平均数—3X1+18X2+21X3+12X4+545

二3；

3+18+21+12+6

（3）四月份“读书量”为5本的学生人数=1200X且=120（人）,

60

答：四月份“读书量”为5本的学生人数为120人.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

20.（7分）（2019•陕西）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天

下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法

到达古树的底部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,并在点D

处安装了测量器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G,

使。G=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当

移动带点/时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得打?=2米,

小明眼睛与地面的距离跖=1.6米，测倾器的高度。=0.5米.已知点尸、G、。、8在

同一水平直线上，且ERCD、42均垂直于EB,求这棵古树的高度（小平面镜的

大小忽略不计）

【考点】SA：相似三角形的应用；TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】过点C作CH1AB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5.解RtAAC/7,得出AH

=CH=BD,那么AB=A8+8H=3O+05再证明△EEGs△ABG,根据相似三角形对应

边成比例求出80=17.5,进而求出AB即可.

【解答】解：如图，过点C作于点"

则CH=BD,BH=CD=0.5.

在RtZ\AC”中，NACH=45°,

：.AH=CH=BD,

：.AB^AH+BH^BD+0.5.

:EFLFB,AB1FB,

:.NEFG=NABG=90°.

由题意，易知/EGP=/AG8,

:AEFGs丛ABG,

.EF_FG即1.6—2

"ABBGBD+0.55+BD'

解之，得BD=17.5,

17.5+0.5=18(m).

，这棵古树的高AB为18Ml.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的

关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般.

21.(7分)(2019•陕西)根据记录，从地面向上11加1以内，每升高气温降低6℃；

又知在距离地面11切2以上高空，气温几乎不变.若地面气温为相(°C),设距地面的高

度为尤(km)处的气温为y(℃)

(1)写出距地面的高度在11初7以内的y与尤之间的函数表达式；

(2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相

关数据得知，飞机外气温为-26℃时，飞机距离地面的高度为7km,求当时这架飞机下

方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12bw的高空，飞机外的气温是多少度

呢？请求出假如当时飞机距离地面12加时，飞机外的气温.

【考点】FH：-一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】(1)根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；

(2)根据(1)的结论解答即可.

【解答】解：⑴根据题意得：y=m-6x；

(2)将x=7,y—-26y—m-6x,得-26=/w-42,.'.m—16

.,.当时地面气温为16℃

Vx=12>ll,

；.y=16-6X11=-50(℃)

假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为-50℃.

【点评】本题考查了一次函数的应用以及函数值的求解，要注意自变量的取值范围和高

于11千米时的气温几乎不再变化的说明.

22.(7分)(2019•陕西)现有A、2两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小

球.其中，A袋装有2个白球，1个红球；8袋装有2个红球，1个白球.

(1)将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；

(2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A,8两袋中随机摸出一个小球，摸

出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜.请用列表法或

画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平.

【考点】X6：列表法与树状图法；X7：游戏公平性.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）P（摸出白球）=2；

3

（2）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结

果有5种P（颜色不相同）=里，P（颜色相同）=$，这个游戏规则对双方不公

9999

平

【解答】解：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种

：.p（摸出白球）=2；

3

（2）根据题意，列表如下:

AB红1红2白

白1（白1,红1）（白1,红2）（白1，白）

白2（白2,红1）（白2,红2）（白2,白）

红（红，红1）（红，红2）（白1,白）

由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5

种

：.P（颜色不相同）=且，P（颜色相同）=$

99

.（.-4-々---5-

99

/.这个游戏规则对双方不公平

【点评】本题考查了概率，根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②

符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率

23.（8分）（2019•陕西）如图，AC是。。的一条弦，AP是O。的切线.作并与

AP交于点延长MB交AC于点E,交。。于点。，连接AD

（1）求证：AB=BE；

（2）若。。的半径R=5,AB=6,求的长.

【考点】MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）根据切线的性质得出NEAM=90°,等腰三角形的性质

根据等角的余角相等得出即可证得A2=BE；

（2）证得求得AM=毁，由ND=NC,求得/

5

AMD,即可证得4£>=AM=毁.

5

【解答】（1）证明：:AP是。。的切线，

：.ZEAM^9Q°,

：.ZBAE+ZMAB=90°,ZAEB+ZAMB=90°.

又,：AB=BM,

：.ZMAB=ZAMB,

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE

（2）解:连接BC

：AC是。。的直径，

ZABC=90°

在RSBC中，AC=10,AB=6,

:.BC=8,

；BE=AB=BM,

；.EM=12,

由（1）知，ZBAE=ZAEB,

：.AABCsAEAM

J.ZC^ZAME,典=图1,

ACBC

即丝=幽，

108

5

又：/D=/C,

J.ZD^ZAMD

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握性

质定理是解题的关键.

24.(10分)(2019•陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y=ax2+(c-a)尤+c经过

点A(-3,0)和点8(0,-6),L关于原点。堆成的抛物线为Z/.

(1)求抛物线L的表达式;

(2)点尸在抛物线17上，且位于第一象限，过点尸作尸轴，垂足为D若

与△AOB相似，求复合条件的点P的坐标.

VA

6-

5-

4

3

2

1

II1II1,

-6-5-4-3-2-If123456x

-2

-3

-4

-5

-6

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；41：待定系数法；55D：图形的相似；66：运算能力.

【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

(2)分△PODS^,BOA、两种情况，分别求解.

【解答】解：(1)将点42的坐标代入抛物线表达式得」9a-3"+a)+c=0,解得Ja=l

Ic=-6Ic=-6

••Lzy—~x-5%-6

(2);点A、B在L'上的对应点分别为A，(-3,0)、B'(0,-6),

设抛物线〃的表达式>=/+法+6,

将A，(-3,0)代入丫=/+汝+6,得b=-5,

抛物线Z/的表达式为y=/-5x+6,

A(-3,0),B(0,-6),

.,.AO=3,OB—6,

设：P(m,m2-5m+6)(m>0),

・・・PD，y轴，

.•.点。的坐标为(0,zn2-5m+6),

PD=m,OD=m2-5m+6,

RtAPOD与RtAAOB相似，

①△POOS/\BO4时，

即m=2(m2-5/71+6),

OB0A

解得：机=?■或4；

2

②当AOPOsAAOB时，

同理可得：机=1或6；

：尸1、尸2、尸3、尸4均在第一象限，

符合条件的点尸的坐标为(1,2)或(6,12)或(23,43)或(4,2).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等，其中(2),

要注意分类求解，避免遗漏.

25.(12分)(2019•陕西)问题提出：

(1)如图1,已知△ABC,试确定一点使得以A,B,C,。为顶点的四边形为平行

四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

(2)如图2,在矩形A3C。中，AB=4,BC=10,若要在该矩形中作出一个面积最大的

△BPC,且使/BPC=90°,求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

(3)如图3,有一座草根塔A,按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的

形状为平行四边形的草根景区2COE根据实际情况，要求顶点8是定点，点8到塔A

的距离为50米，ZCB£=120°,那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四

边形景区BCZJE?若可以，求出满足要求的平行四边形8CQE的最大面积；若不可以,

请说明理由.（塔A的占地面积忽略不计）

图1图2图3

【考点】LO：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可.

（2）以点。为圆心，长为半径作OO,一定于相交于Pi,尸2两点，点P,

P2即为所求.

（3）可以，如图所示，连接8。，作△BOE的外接圆。。，则点E在优弧俞上，取血的

中点",连接E'B,E'D,四边形DE1即为所求.

【解答】解：（1）如图记为点。所在的位置.

（2）如图,

'：AB=4,BC=W,.•.取BC的中点则

，以点。为圆心，长为半径作OO,。。一定于AD相交于Pi,P2两点,

连接BP1,PiC,Pi。，：NBPC=90°,点尸不能再矩形外；

/.4BPC的顶点Pi或尸2位置时，ABPC的面积最大，

作垂足为E,则0E=3,

：.APi=BE=OB-OE=5-3=2,

由对称性得AP2=8.

(3)可以，如图所示，连接8。,

D

图3

为nBCDE的对称中心，BA=50,ZCBE=\2Q°,

：.BD=100,/BED=60°

作△BOE的外接圆O。，则点E在优弧俞上，取血的中点，连接E'B,E'D,

则戌B=E'D,5.ZBE'D=60°,：./\BE'。为正三角形.

连接/。并延长，经过点A至C',使E'A^AC,连接8C',DC,

'：E'A±BD,

，四边形E'。为菱形，且/C'BE'=120°,

作斯_LB。，垂足为R连接E。，则所WEO+OA-E'O+OA^E'A,

S^BDE—-,BD,EF^^-,BD,E'A—S/^E'BD,

22

s平行四边形BCDEWS平行四边形B<?DE，=2SAE，BD=10()2・sin60°=5000^3(m2)

所以符合要求的nBCDE的最大面积为500()7务/.

【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角

形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题.

考点卡片

1.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数尤的平方等于a,即/=a,那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为a.

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根a本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

2.立方根

(1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果4=a,那么x叫做。的立方根•记作：圾.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数.

注意：符号。3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

3.无理数

(I)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有TT的数，如分数712是无理数，因为TT是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如血,炳,相等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003-（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有n的绝大部分数，如2Tt.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如标是有理数，而不是

无理数.

4.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

5.整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地

解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

6.分式的混合运算

（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除,

然后加减，有括号的先算括号里面的.

（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运

算律进行灵活运算.

【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题

1.注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面

的.

2.注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式.分子、分母中有公因式的要进行约

分化为最简分式或整式.

3.注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特

点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程.

7.零指数累

零指数累：J=1（aWO）

由a-a，"=l,""~"，=产"=/可推出/=1（60）

注意：0°#l.

8.负整数指数塞

负整数指数哥：aP=lapQWO,p为正整数）

注意：①aWO；

②计算负整数指数嘉时，一定要根据负整数指数嘉的意义计算，避免出现（-3）一2=（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

9.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数〉=丘+6,（左W0,且左，b为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

（，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=fcc+b.

10.一次函数图象与几何变换

直线（ZWO,且左，匕为常数）

①关于x轴对称，就是x不变，y变成-y：-y=kx+b,即y=-"-Z?；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，x变成-尤：y—k（-x）+b,y—-kx+b；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是尤和y都变成相反数：-尸左（-无）+6,即〉=日-瓦

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

11.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

12.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y="x（人为常数，ZWO）的图象是双曲线，

①图象上的点（尤，y）的横纵坐标的积是定值公即冲=%

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=klx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值|川.

13.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

14.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系

式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即

为正确选项.

(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键

是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,

并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

(3)二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立

直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的

取值范围要使实际问题有意义.

15.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

16.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

17.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，在/AO8的平分线上，CD1OA,CE±OB：.CD=CE

0

18.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从

中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

19.平行四边形的判定与性质

平行四边形的判定与性质的作用

平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、

线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要

证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行

四边形达到上述目的.

运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定

义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单.

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四

边形的性质和判定去解决问题.

20.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所

在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

21.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，

有四条对称轴.

22.四边形综合题

四边形综合题.

23.圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对应的其余各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”

是指同为优弧或劣弧.

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等,

三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心

旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.