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文档简介
江苏吴江青云中学2023-2024学年高三第六次模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数,如果为偶数就除以2,如果是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的()A.6 B.7 C.8 D.92.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()A. B. C.0 D.3.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间4.集合,,则=()A. B.C. D.5.若函数(其中,图象的一个对称中心为,,其相邻一条对称轴方程为,该对称轴处所对应的函数值为,为了得到的图象,则只要将的图象()A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度6.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.7.函数(,,)的部分图象如图所示,则的值分别为()A.2,0 B.2, C.2, D.2,8.若复数,其中为虚数单位,则下列结论正确的是()A.的虚部为 B. C.的共轭复数为 D.为纯虚数9.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()A. B.C. D.10.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.211.执行如下的程序框图,则输出的是()A. B.C. D.12.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为百分之________.“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:1.同意画“○”,不同意画“×”.2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.甲乙丙14.已知数列满足:点在直线上,若使、、构成等比数列,则______15.展开式中,含项的系数为______.16.已知数列的前项和为且满足,则数列的通项_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某中学准备组建“文科”兴趣特长社团,由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照,,,,分成5组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科方向”学生,低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面列联表,并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关?(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“文科方向”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、期望和方差.参考公式:,其中.参考临界值:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.19.(12分)已知数列满足,,,且.(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20.(12分)已知点是抛物线的顶点,,是上的两个动点,且.(1)判断点是否在直线上?说明理由;(2)设点是△的外接圆的圆心,点到轴的距离为,点,求的最大值.21.(12分)设函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
模拟程序运行,观察变量值可得结论.【详解】循环前,循环时:,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,满足条件,退出循环,输出.故选:B.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.2、C【解析】
先画出函数图像和圆,可知,若设,则,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若设圆的圆心为,则,所以只要取得最小值,若设,则,然后构造函数,利用导数求其最小值即可.【详解】记圆的圆心为,设,则,设,记,则,令,因为在上单调递增,且,所以当时,;当时,,则在上单调递减,在上单调递增,所以,即,所以(当时等号成立).故选:C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值,利用了导数求解,考查了转化思想和运算能力,属于难题.3、D【解析】
可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间.故选:D【点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题4、C【解析】
先化简集合A,B,结合并集计算方法,求解,即可.【详解】解得集合,所以,故选C.【点睛】本道题考查了集合的运算,考查了一元二次不等式解法,关键化简集合A,B,难度较小.5、B【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再根据函数的图象变换规律,诱导公式,得出结论.【详解】根据已知函数其中,的图象过点,,可得,,解得:.再根据五点法作图可得,可得:,可得函数解析式为:故把的图象向左平移个单位长度,可得的图象,故选B.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,函数的图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题.6、D【解析】
整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.7、D【解析】
由题意结合函数的图象,求出周期,根据周期公式求出,求出,根据函数的图象过点,求出,即可求得答案【详解】由函数图象可知:,函数的图象过点,,则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用,在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件,计算三角函数的周期、最值,代入已知点坐标求出结果8、D【解析】
将复数整理为的形式,分别判断四个选项即可得到结果.【详解】的虚部为,错误;,错误;,错误;,为纯虚数,正确本题正确选项:【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识,属于基础题.9、A【解析】
由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率:,(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则所以,,故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题.10、A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.11、A【解析】
列出每一步算法循环,可得出输出结果的值.【详解】满足,执行第一次循环,,;成立,执行第二次循环,,;成立,执行第三次循环,,;成立,执行第四次循环,,;成立,执行第五次循环,,;成立,执行第六次循环,,;成立,执行第七次循环,,;成立,执行第八次循环,,;不成立,跳出循环体,输出的值为,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算,解题时要根据算法框图计算出算法的每一步,考查分析问题和计算能力,属于中等题.12、B【解析】
过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、91【解析】
设共有选票张,且票对应张数为,由此可构造不等式组化简得到,由投票有效率越高越小,可知,由此计算可得投票有效率.【详解】不妨设共有选票张,投票的有,票的有,票的有,则由题意可得:,化简得:,即,投票有效率越高,越小,则,,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划的实际应用问题,关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.14、13【解析】
根据点在直线上可求得,由等比中项的定义可构造方程求得结果.【详解】在上,,成等比数列,,即,解得:.故答案为:.【点睛】本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题,涉及到等比中项的应用,属于基础题.15、2【解析】
变换得到,展开式的通项为,计算得到答案.【详解】,的展开式的通项为:.含项的系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解析】
先求得时;再由可得时,两式作差可得,进而求解.【详解】当时,,解得;由,可知当时,,两式相减,得,即,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故答案为:【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)列联表见解析,有;(2)分布列见解析,,.【解析】
(1)由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数,可得列联表.根据列联表计算的值,结合参考临界值表可得到结论;(2)从该校高一学生中随机抽取1人,求出该人为“文科方向”的概率.由题意,求出分布列,根据公式求出期望和方差.【详解】(1)由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为,在之间的学生人数为,所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又,所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人,则该人为“文科方向”的概率为.依题意知,所以(),所以的分布列为0123P所以期望,方差.【点睛】本题考查独立性检验,考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,属于中档题.18、(1);(2)从而的分布列为012;(3).【解析】
(1)运用概率的计算公式求概率分布,再运用数学期望公式进行求解;(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件,则,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.(2)由题,知的可能取值分别为0,1,2,,,从而的分布列为012.(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家,将频率视为概率,则从市中任取一家加入团购网站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为,所以,所以事件“”的概率为.19、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)根据题目所给递推关系式得到,由此证得数列为等比数列,并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列的前项和【详解】(1)已知,则,且,则为以3为首相,3为公比的等比数列,所以,.(2)由(1)得:,,①,②①-②可得,则即.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查累加法求数列的通项公式,考查错位相减求和法,属于中档题.20、(1)不在,证明见详解;(2)【解析】
(1)假设直线方程,并于抛物线方程联立,结合韦达定理,计算,可得,然后验证可得结果.(2)分别计算线段中垂线的方程,然后联立,根据(1)的条件可得点的轨迹方程,然后可得焦点,结合抛物线定义可得,计
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